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2025-2026学年安徽省太和中学高二上学期国庆假期数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 + 3 + 2 = 0 的倾斜角为( )
A. 150 B. 120 C. 60 D. 30
2.已知空间向量 = (1,2,3)，空间向量 满足 // 且 = 7，则 =( )
A. 1 , 1, 3 B. 1 , 1, 3 C. 3 12 2 2 2 2 , 1, 2 D.
3
2 , 1,
1
2
3.在下列条件中，使 与 ， ， 一定共面的是( )
A. = + 2 B. = 1 1 + 1 3 3 2
C. + = 0 D. + + + 2 = 0
4.已知 为实数，直线 1: ( + 2) + 2 = 0, 2: 5 + ( 2) + 1 = 0，则“ 1// 2”是“ = 3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若 < 0, > 0，在同一平面直角坐标系中作出直线 + = 0 与直线 = 0，则下列图
中能表示上述两条直线的位置的是( )
A. B. C. D.
6.已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2 , = 6，则当 取得最大值时，
的面积为( )
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 6
7.如图，边长为 2 的正方形 沿对角线 折叠，使 = 1，则三棱锥 的体积为( )
A. 4 23 B.
2 2 6
3 C. 3 D. 4
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8.在四面体 中， = = = 2, ⊥平面 ，∠ = 60°，点 , 分别为棱 , 上的点，且
= 3 ， = 3 ，则直线 与直线 夹角的余弦值为( )
A. 3 70 2 70 70 7035 B. 35 C. 35 D. 70
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线 1: + 2 + 3 = 0, 2: 3 + ( 1) + 3 = 0.以下说法正确的有( )
A. /\ !/ 21 2的充要条件是 = 3 B.当 = 5时， 1 ⊥ 2
C.直线 1一定经过点 (3,0) D.点 (1,3)到直线 1的距离的最大值为 5
10.(多选)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称
为阳马.如图，在阳马 中， ⊥平面 ，底面 是正方形，且 = = 2， ， 分别为 ，
的中点，则( )
A. ⊥平面 B. //平面
C.点 到直线 的距离为 6 D.点 4 11到平面 的距离为 11
11.在坐标系 (0 < < π)中， ， ， 轴两两之间的夹角均为 ，向量 ， ， 分别是与 ， ， 轴的
正方向同向的单位向量.空间向量 = + →+ , , ∈ R ，记 = ( , , )，则( )
A.若 = 1, 1, 1 ， = 2, 2, 2 ，则 + = 1 + 2, 1 + 2, 1 + 2
B.若 = 1, 1, 1 ， = 2, 2, 2 ，则 = 1 2 + 1 2 + 1 2
C.若 = (0,0,2)， = (0,2,0)， = (2,0,0) 2 2，则三棱锥 的体积为
3 3 3 3
D.若 π = ( , , 0) 3， π = (0,0, )，且 ≠ 0，则 ， 夹角的余弦值的最小值为
3 3 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设直线 的斜率为 ，且 1 < < 1，则直线的倾斜角 的取值范围是 ．
13.如图，两条异面直线 ， 所成角为 60°，在直线上 ， 分别取点 ′， 和点 ， ，
使 ′ ⊥ 且 ′ ⊥ .已知 ′ = 2， = 3， = 23.则线段 ′的长
为 ．
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14.如图，在菱形 中， = 2 3，∠ = 60°，沿对角线 将 折起，使点 ， 之间的距离为
3 2，若 ， 分别为线段 ， 上的动点，则线段 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知空间三点 (1,2,2)， (2,1,2)， (3,2,1)．
(1)若向量 分别与 ， 垂直，且 = 2 6，求向量 的坐标；
(2)求点 到直线 的距离．
16.(本小题 15 分)
已知直线 过点 (2,4)，且与 轴， 轴分别交于点 ( , 0), (0, )．
(1)当 = 2 时，求 的方程；
(2)若 > 0, > 0，求当 + 取最小值时， 的方程．
17.(本小题 15 分)
已知 的顶点 (1,2), 边上的中线 所在直线的方程为 + 2 1 = 0, ∠ 的平分线 所在直线的
方程为 = ．
(1)求直线 的方程和点 的坐标；
(2)求 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥ , ⊥ , = = = 12 = 1, = 2， = 5，点
为棱 上一点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)当点 为棱 的中点时，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3) 3 11 当二面角 的余弦值为 11 时，求 ．
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19.(本小题 17 分)
如图，已知四棱锥 的底面是平行四边形，侧面 是等边三角形， = 2 , ∠ = 60o, ⊥ ．
(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)设 为侧棱 上一点，四边形 是过 , 两点的截面，且 /\ !/平面 ，是否存在点 ，使得平
面 ⊥平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[0, ) ∪ ( 3 4 4 , )
13.4 或 2
14.3 22
15.【详解】(1) = (1, 1,0)， = (2,0, 1)，
设 = ( , , )，
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ = 0， = 0．
∴ = 0 = 2 = 0，整理得 = 2 ．
∵ = 2 + 2 + 2 = 6 2 = 2 6，
∴ =± 2．
∴ = (2,2,4)或 = ( 2, 2, 4)．
(2) =
= 2 , 2取
2 2
, 0 ， = = (2,0, 1)，
则 = 2， 2 = 5．
∴ 2到直线 的距离为 2 = 5 2 = 3．
16.【详解】(1)若 = 0，则 = 0，即 过点(0,0)，
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(2,4) 0 = 0且直线 过点 ，则 的方程为2 0 4 0，即 2 = 0；
若 ≠ 0，则 ≠ 0，设 的方程为 + = 1，即 + 2 = 1，
将 (2,4) 2 4代入方程，得 + 2 = 1，解得 = 4，

所以 的方程为4+ 8 = 1，即 2 + 8 = 0；
综上所述：直线 的方程为 2 = 0 或 2 + 8 = 0．
(2) 设直线 的方程为 + = 1，且 > 0, > 0，
由直线 经过点 (2,4) 2+ 4得 = 1，
2 4
则 + = ( + ) + = 6 +
2 + 4 ≥ 6 + 2 2 4 = 6 + 4 2，
2 4
当且仅当 = ，即 = 2 + 2 2, = 2 2 + 4 时取得等号，
2 4所以 的方程为2+2 2 2 = 0 4，即 2 + 4 2 2 = 0．
17.【详解】(1)由点 在 = 上，设点 +1 +2的坐标是( , )，则 的中点( 2 , 2 )在直线 上，
+1 + 2 × +2于是 2 2 1 = 0，解得 = 1，即点 ( 1, 1)，
0 2 = 1
设 关于直线 = 的对称点为 ′( 0, )
1 = 2
0 ，则有
0
+2 +1，解得
0 ′
0 = 0 0 = 1
，即 (2,1)，
2 2
1 ( 1) 2
显然点 ′(2,1)在直线 上，直线 的斜率为 = 2 ( 1) = 3，
因此直线 2的方程为 + 1 = 3 ( + 1)，即 2 3 1 = 0，
2 3 1 = 0 5 1 5 1
由 + 2 1 = 0，解得 = 7 , = 7，则点 ( 7 , 7 )，
所以直线 5 1的方程为 2 3 1 = 0，点 的坐标为( 7 , 7 )．
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(2) (1) | | = ( 5由 得 7 + 1)
2 + ( 17+ 1)
2 = 4 13 |2×1 3×2 1| 57 ，点 到直线 的距离 = = ，22+( 3)2 13
1
所以 的面积 = 2 | | =
10
7．
18.【详解】(1)证明：因为 = 1, = 2, = 5，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)因为 = 2, = = 1，所以 2 + 2 = 2，则 ⊥ ．
由(1)可知 , , 两两垂直，以 为原点，以 , , 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的
空间直角坐标系 ．
则 (0,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,2,0)，
当点 为棱 1的中点时， 0,1, , 2 = (1,1, 1),
= (1,1,0), = 0,1, 12 ．
设平面 的一个法向量 = 0, 0, 0 ，
= 0, 0 + 0 = 0,
则

即 + 1 = 0,令 0 = 1，解得 0 = 1, 0 = 2，故 = (1, 1,2)， = 0, 0 2 0
设直线 与平面 所成角为 ，

则 sin = cos ,

= = 2 = 2，
6× 3 3
2
故直线 与平面 所成角的正弦值为 3 ．
(3)由(2)可知 = (0,0,1), = (1,1,0)，
设 = = (0,2 , )(0 ≤ ≤ 1)，则 = + = (0,2 , 1 )，
→
设平面 的一个法向量 1 = 1, 1, 1 ，
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→

则 1
= 0,
即 1
+ 1 = 0,
→ 2
令 1 = 1 ，解得 1 = 1, 1 = 2 ，
1 + (1 ) 1 = 0,
1= 0,
→
故 1 = ( 1,1 , 2 )，
→
设平面 的一个法向量为 2 = 2, 2, 2 ，
→
2= 0, 2 + 2 = 0, →由 得 = 0,令 2 = 1，解得 2 = 1, 2 = 0，故 2 = (1, 1,0)， → 2
2= 0,
所以，
| 1| = 3 11即 11 ，整理，得 8
2 + 2 1 = 0，解得 = 14或 =
1
3 2 2 +1 2
(舍去)．
1
故 = 4．
19.【详解】(1)证明：取棱 长的一半为单位长度．
则在 中， = 2， = 4，∠ = 60°，根据余弦定理，
得 2 = 2 + 2 2 cos60o = 4 + 16 16 × 12 = 12
得 = 2 3，故 2 + 2 = 2 ⊥ ．
又 ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，故 ⊥平面 B.
又 平面 ， ⊥平面 ，则平面 ⊥平面 B.
取 中点 ，连接 ， ．
因 是等边三角形，则 ⊥ ，又 平面 ，
平面 ∩平面 = ，平面 ⊥平面 ，故 ⊥平面 ．
得∠ 是 与平面 所成的角．
在直角三角形 中， = 3，
= 2 + 2 = 1+ 12 = 13， = 4．
故 sin∠ = 3 = 4 ，即为所求．
(2)假设存在点 ，使得平面 ⊥平面 D.
如图，以 为原点，分别以 , 为 ， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0), (2,0,0), 2,2 3, 0 , 1,0, 3 ，
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= 2,2 3, 0 , = 1,0, 3 , = 4,2 3, 0 , = 3, 2 3, 3 ，
设 1 = 1, 1, 1 是平面 的法向量，则
1 = 2 1 + 2 3 1 = 0，取 = 3, 1, 1 ．
1 = + 3 = 0
1
1 1
设 = ，其中 0 ≤ ≤ 1．
则 = + = + = 3 4,2 3 2 3 , 3
连接 ，因 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
故 // ，则取与 同向的单位向量 = (0,1,0)．
设 2 = 2, 2, 2 是平面 的法向量，
2 = 2 = 0则 ,
2 = (3 4) 2 + 2 3(1 ) 2 + 3 2 = 0
取 2 = 3 , 0,4 3 ．
由平面 ⊥ 2平面 ，知 1 ⊥ 2，有 1 2 = 3 + 3 4 = 0，解得 = 3．
故在侧棱 上存在点 且当 = 23 时，使得平面 ⊥平面 D.
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