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2025-2026学年四川省广安友实学校高一上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∈ N| 1 ≤ < 2 ，则下列选项正确的是( )
A. 1 ∈ B. 0 C. 1 D. {0,1}
2.下列各组中 , 表示相同集合的是( )
A. = 3, 1 , = (3, 1)
B. = (3,1) , = (1,3)
C. = | = 2 + 1, ∈ R , = | = 2 + 1, ∈ R
D. = | = 2 1, ∈ R , = ( , )| = 2 1, ∈ R
3.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼
梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学
生共有 60 位，则阅读过《西游记》的学生人数为
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
4.若 ， ， ∈ ，且 > ，则下列不等式成立的是
A. > B. 1 1 1 1 < C. 2 > 2 D. 2+1 > 2+1
5.已知集合 满足 0,1,2,3 ，则满足条件的集合 的个数为( )
A. 8 B. 10 C. 14 D. 16
6.已知 ：0 < < 2，那么 的一个充分不必要条件是( )
A. 1 < < 3 B. 1 < < 1 C. 0 < < 1 D. 0 < < 3
7.已知 , > 0 且 = 1，则( + 1)( + 1)的最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 2 2 D. 8
8.若集合 = { |( + 2) 2 + 2 + 1 = 0}有且仅有 2 个子集，则满足条件的实数 的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合 = { | 2 1 = 0}，则下列式子正确的是( )
A. 1 ∈ B. { 1} ∈ C. D. { 1,1}
10.下列命题正确的是( )
A.命题“ ∈ R, 2 + + 1 ≥ 0”的否定是“ ∈ R, 2 + + 1 < 0”
B. + = 0 的充要条件是 = 1
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C. ∈ R, 2 > 0
D. > 1, > 1 是 > 1 的充分条件
11.已知 > 0, > 0, 2 + = 1，则下列结论正确的是( )
A. 0 < < 1 B. + 2 的最大值为 2
C. 1的最大值为2 D. + ≤ 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知集合 = < 2 ， = 1,0,2 ，则 ∩ = ．
13.已知 0 < < 2，1 < + < 3，则 3 + 的取值范围为 ．
14.已知非空集合 , 满足以下四个条件：
① ∪ = 1,2,3,4,5,6 ；
② ∩ = ；
③ 中的元素个数不是 中的元素；
④ 中的元素个数不是 中的元素．
则有序集合对( , )的个数是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)比较( 2)( 6)和( 3)( 5)的大小；
(2)已知 2 < < 3，2 < < 3，求 和 的取值范围；
16.(本小题 15 分)
已知全集 = R，集合 = 1 < < 2 , = 0 < ≤ 3 .求：
(1) ∩ 及 ∪ ；
(2) ( ∪ )及 ∩ B
17.(本小题 15 分)
已知集合 = 1 < < 3 ， = 2 < ≤ 1 ， = ．
(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中
一面可以利用原有的墙(足够长)，其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形 ．
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(1)若每块田地的面积为 24m2，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长 和宽 各为多
少？
(2)现有 40 长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长 和宽 各为多少？
19.(本小题 17 分)
法国数学家佛郎索瓦·韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于
韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于

一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)，它的两根 、 有如下关系： + = ， = .”韦达定理还有
逆定理，它的内容为：“如果两数 和 满足如下关系： + = ， = ，那么这两个数 和 是方程
2 +
+ = 0( ≠ 0)的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，
例如： + = 3， = 2，那么 和 是方程 2 + 3 + 2 = 0 的两根．请应用上述材料解决以下问题：
(1) 1 1已知 、 是两个不相等的实数，且满足 2 2 = 4， 2 2 = 4，求 + 的值；
(2)已知实数 、 满足 + ( + ) = 13， 2 + 2 = 42，求 2 + 2的值；
(3)已知 ， 21 2是关于 的一元二次方程 4 4 + + 1 = 0 的两个实根，且 ∈

，求使 1 2 +2
的值为整
1
数的所有 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1,0
13.(2,8)
14.10
15.【详解】(1)因为( 2)( 6) ( 3)( 5) = 2 8 + 12 2 8 + 15 = 3 < 0，
所以( 2)( 6) < ( 3)( 5)；
(2) ∵ 2 < < 3，∴ 3 < < 2，
又∵ 2 < < 3，∴ 1 < < 1，
∵ 2 < < 3 1 1 1，3 < < 2，
∵ 2 < < 3 ∴ 2 3又 ， 3 < < 2．
16.【详解】(1)因为 = 1 < < 2 , = 0 < ≤ 3 ，
所以 ∩ = 0 < < 2 ，
∪ = 1 < ≤ 3
(2)由(1)可得： ( ∪ ) = ≤ 1 或 > 3 ，
由 = 0 < ≤ 3 ，可得： = ≤ 0 或 > 3 ，
所以 ∩ B = 1 < ≤ 0
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17.【详解】(1)已知“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合 是集
合 的真子集．
已知 = 1 < < 3 ， = 2 < ≤ 1 2 ≤ 1，则 1 ≥ 3，解得 ≤ 2．
故实数 的取值范围为( ∞, 2]．
(2)当 = 时，因为 = 2 < ≤ 1 ，所以 2 ≥ 1 ，解得 ≥ 13，此时 ∩ = 成立；
当 ≠ 时，2 < 1 ，解得 < 13．
因为 ∩ = ， = 1 < < 3 ，则 1 ≤ 1 或 2 ≥ 3 3 1，解得 ≥ 0 或 ≥ 2，故此时 0 ≤ < 3．
综上，若 ∩ = ，则实数 的取值范围为[0, + ∞)．
18.【详解】(1)设长 为 m，宽 为 m，
则围成四块田地的篱笆总长为 4 + 6 , = 24，
所以 4 + 6 ≥ 2 4 6 = 2 24 × 24 = 48，
当且仅当 4 = 6 = 24，即 = 6, = 4 时等号成立，
故应设计田地的长 为 6 ，宽 为 4 时，可使围成四块田地的篱笆总长最小；
(2)设长 为 m，宽 为 m，则 4 + 6 = 40，即 2 + 3 = 20，
2
所以 = 16 2 3 ≤
1 2 +3 50 106 2 = 3，当且仅当 = 5, = 3时等号成立，
10
故应设计田地 的长为 5 ，宽 为 3 m 时，可使每块田地的面积最大．
19.【详解】(1)由已知 2 2 = 4， 2 2 = 4， ≠ ，
可将 ， 看作方程 2 2 4 = 0 的两个不相等的实数根，
由韦达定理可得， + = 2， = 4，
1 1 + 2 1
所以 + = = 4 = 2．
(2)由 + ( + ) = 13， 2 + 2 = ( + ) = 42，
可将 ， + 看作方程 2 13 + 42 = 0 的两个实数根，
则有 = 6， + = 7 或 = 7， + = 6，
①当 = 6， + = 7 时， 2 + 2 = ( + )2 2 = 49 12 = 37；
②当 = 7， + = 6 时， 2 + 2 = ( + )2 2 = 36 14 = 22，
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所以 2 + 2的值为 22 或 37．
(3) ≠ 0 + = 1 = +1由韦达定理，可得 ， 1 2 ， 1 2 4 ，
且 = (4 )2 4 × 4 ( + 1) = 16 > 0，解得 < 0，
2 2
故 2 + 1 = 1+ 2 = 1+ 2
2 2 1 2 4
1 2 1 2 1
= 2
2 +1
，
1 + 2 = 2 4因 +1 ∈ ，又 ∈ ，故 + 1 必为 4 的因数，2 1
则 + 1 的值可能为 4， 2， 1，1，2，4，
则实数 的值可能为 5， 3， 2，0，1，3，
又 < 0，故 的所有取值为 5， 3， 2．
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