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2025-2026学年云南省昆明市第八中学高一上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设命题，则的否定为( )
A. B.
C. D.
4.已知集合且，则集合中的元素个数为( )
A. B. C. D.
5.关于的不等式的解集是，那么不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.已知集合，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知实数集合，，若，则( )
A. B. C. D.
8.若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集，集合，若，则( )
A. B.
C. 的真子集个数为 D.
10.已知，则下列结论成立的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
11.设正数满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，，则 ．
13.已知对于任意，，则实数的取值范围为 ．
14.若正实数满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，，求：
；
；
．
16.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知集合，．
若，试求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
设矩形的周长为，如图所示，把它沿对角线对折后，交于，设，的面积为．

用表示长，并写出的范围；
求的最大值．
19.本小题分
设非空数集，对于任意，下列个条件：属于；属于；属于；分母不为零也属于，定义：满足条件的数集为数环即数环对于加、减、乘运算封闭；满足条件的数环为数域即数域对于加、减、乘、除运算封闭．
判断自然数集、整数集、有理数集、实数集是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域无需说明理由；
若是一个数环，是一个数域，证明：，；
设，证明：是数域．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或或
13.
14.
15.【详解】由，得，所以，．
由，得或，所以．
所以．
由知，所以．
由知．

16.【详解】不等式可化为，所以，
所以不等式的解集为，故，
由，可得，
因为，，
当时，，解得，符合题意；
当时，则，解得，
综上，，即实数的取值范围为．
由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集，
又，，
则，解得，
故实数的取值范围是．

17.【详解】因为，
当时，，
所以．
由，
因为方程的判别式，
所以当，即时，，符合题意；
当，即时，，不符合题意；
当，即时，有，则，无解，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．

18.【详解】解：因为矩形的周长为，由，则，
设，由，可得，
在直角中，可得，
又由，可得，整理得，
又因为，可得且且，解得，
所以的长为且．
解：由为直角三角形，可得：
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以面积的最大值为．

19.【详解】自然数集不是数环，例如；
整数集是数环，不是数域，例如
有理数集、实数集是数环也是数域．
若，则，即；
若，，则，即．
设，则，，
则，
因为，所以，，
所以，满足条件．
，
因为，
所以，，所以，满足条件．
，因为，
所以，，所以，满足条件．
，
因为，，所以，，
所以，满足条件综上所述，是数域．

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