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山东省实验中学2026届高三10月一诊数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知甲、乙两批袋装食盐的质量单位：分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.若函数且的值域是，则实数取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，，若，则( )
A. B.
C. D.
7.如图，，是半径为的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大小为图中阴影区域的面积的最大值为
A. B. C. D.
8.设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校举办“学党史守初心，践使命担责任”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩满分分，成绩取整数整理成如图所示的频率分布直方图，则( )
A. B. 估计成绩低于分的有人
C. 估计这组数据的众数为 D. 估计这组数据的第百分位数为
10.函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则( )
A. 的解集是
B.
C. 时，取得最大值
D. 解集是
11.对，不等式恒成立，则( )
A. 若，则的取值范围为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则 ．
13.现有名男生和名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则名女生有且仅有名相邻的站法总数为 结果用数字作答．
14.若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，为锐角，，．
求的值
求的值．
16.本小题分
某工厂的某生产车间年至年生产的年利润百万元，统计数据如表所示：
年份
年份代号
年利润
已知变量具有线性相关关系，求年利润百万元关于年份代号的经验回归方程，并预测年该车间的年利润；
已知该工厂共有个车间，根据每个车间的年利润分为“类车间”和“类车间”两类，其中“类车间”个，“类车间”个，现从这个车间中任取个车间，记随机变量为“类车间”的个数，求的分布列及其数学期望．
参考公式：，．
17.本小题分
已知函数，．
若在定义域上单调递增，求的取值范围；
若存在极大值点，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，，为的导函数．
若．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间和极值．
当时，证明：对于任意实数，且满足，则有不等式成立．
19.本小题分
某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立．
求两局后比赛终止的概率；
在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解 ：因为，，所以．
因为，所以，
即，
因此，．
因为，为锐角，所以．
又因为，
所以，
因此．
因为，
所以，
因此，
．

16.解：由题意，根据表格中的数据，可得：
，，
，可得．
所以，
故的线性回归方程，
令，得，故年该车间年利润约为百万元．
随机变量的可能值为，
可得，，，
所以的分布列为：
所以期望为：．

17.解：函数的定义域为，
可得，
由于在定义域上单调递增，所以在上恒成立，
令，所以，
因为时，，所以在单调递减，
时，，所以在单调递增，
所以，
所以，即；
由可知，当时，，
且时，时，
所以，则，，
其中，
因为时，，单调递增，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以为的极大值点，
，
令，则原式可化简为，
由对勾函数的性质可得，故，
所以的范围为．

18.解：当时，，．
可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
依题意，．
从而可得，
整理可得：，
令，解得或舍去．
当变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
的极小值为，无极大值．
由，得．
对任意的，且，令，
则
，
令．
当时，，
由此可得在单调递增，
所以，即．
因为，又因为，
所以，
令．
，
故单调递增，，
由可得．
所以，当时，任意的，且，
有．

19.解：设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，
设“两局后比赛终止”为事件，
因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止．
当棋手得分为分，则局均负，即；
当棋手得分为分，则局先平后胜，即．
因为、互斥，所以
．
所以两局后比赛终止的概率为．
设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．
因为
，
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．
因为局获奖励万元，说明甲共胜局．
当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，
当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，
则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率
，．
所以．
因为，所以，
所以，所以单调递减，
所以当时，取最大值为．

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