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北京市石景山区景山学校远洋分校 2025-2026 学年高三 10 月月
考数学试卷
一、单选题
1．已知集合M x Z 1 x 5 ， N x 1 x 3 ，则M N （ ）
A． x 1 x 5 B． x 1 x 3 C． 1,2,3 D． 2
2．设实数 a,b满足 a b，则（ ）
A． a2 b2 B． 2a 2b C． a b D． sina sinb
3．下列函数中，既是偶函数又在区间 , 0 上单调递增的是（ ）
x
2
A． y x 3 B． y
1 2
C． y x2 2x D． y log2 x
π
4．将函数 f x sin 2x图象上的所有点向左平移 个单位，得到函数 g x 的图象，g x （ ）
6
π π π π
A． sin 2x B． sin 2x C． sin 2x D． sin 2x
3 12 6 3
5．长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020 年 11 月 24 日它成功将嫦
娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v（单位：km/s）
和燃料的质量M （单位： kg ）、火箭（除燃料外）的质量m（单位： kg ）的函数关系是
v 2000ln 1 M ．若火箭的最大速度为11.2km/s ，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量
m
的比值约为（ ）（参考数据： e0.0056 1.0056）
A．1.0056 B．0.5028 C．0.0056 D．0.0028
6．设函数 f (x) sin

2x 的图象为C，下列结论中正确的是（ ）．
3
A．函数 f (x) 的最小正周期是2

B．图象C关于点 ,0 对称
6
C．图象C可由函数 g(x) sin 2x

的图象向右平移 个单位长度得到
3

D．函数 f x 在区间 , 上是增函数
12 2
试卷第 1页，共 4页
7 3 2．已知函数 f x x x mx 在定义域上不是单调函数，则实数m不可能是（ ）
A．0 B． 1 C．1 D． 2
π
8．“ 2kπ (k Z) ”是“函数 f (x) sin(2x )在[ π ,0]上单调递减”的（ ）
2 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
| log2 x ,x 0,9．已知函数 f (x) 函数 g(x) f (x) m 2 ．若 g (x) 有四个不同的零点
4x
2 4x, x 0,
x1, x2 , x3 , x4 ，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围为（ ）
3 3
A． (1, ) B． (1, 2) C． ( , 2) D． (2, )
2 2
10．对于函数① f (x) lg( x 2 1) ，② f (x) (x 2) 2 ，③ f (x) cos(x 2) ，判断如下三个
命题的真假：
命题甲： f (x 2)是偶函数；
命题乙： f (x) 在 ( ，2) 上是减函数，在 (2， )上是增函数；
命题丙： f (x 2) f (x)在 ( ， ) 上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．③ D．②
二、填空题
1
11．函数 f (x) lg(5 x) 的定义域为 .
x 3
2 6 7
12． sin 、 cos 、 tan ，从小到大的顺序是 ．
5 5 5
13 sin cos 2 3．如果已知 ，那么 sin 的值为 ， cos 2 的值为 .
2 2 3
π 1
14．已知函数 f x sin x （ 0， 2 ）部分图象如图所示.其中 A，B是直线 y 2
与曲线 y f x π π 相邻的两个交点.若 AB ，则 ， f .3 2
试卷第 2页，共 4页
15．已知函数 f x ex acos x .给出下列四个结论：
①当 a 1时， f x π在区间 ,0 2 上单调递增；
②对任意实数 a， f x 都没有最小值；
③当 a 0时，设 f x 的零点从大到小依次为x1，x2 ，x3 ，，则对任意正整数 i，都有 xi xi 1 π ；
④对任意实数 a，m，存在实数 x0 ，当 t x0 时，恒有 f t f t m .
其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题
16．已知函数 f (x) cos x( 3 sin x cos x)
1
.
2
(1)求曲线 y f (x) 的两条对称轴之间距离的最小值；
(2)若 f (x)
π
在区间 [a, ] 3上的最大值为 ，求 a的值.
2 2
1
17．如图，在 ABC中， B ， AB 8，点D在 BC边上，且CD 2 ， cos ADC .
3 7
（1）求 sin BAD；
（2）求 BD, AC的长.
x
18．已知函数 f x e
x2
．
x 1
(1)求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)求函数 f x 的单调区间．
19．在V ABC中， acosC ccosA 2bcosB .
(1)求 B；
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得V ABC存在，求V ABC
的面积.
条件①： a 8,b 6；
试卷第 3页，共 4页
条件②： a 8,cosA
1
；
7
3 3
条件③： csinB ,b 7 .
2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分.
x
20．已知函数 f (x) 1 kx x ln x(k R), g(x) e e 2 1 .
x 1
（1）若 x (0,1]时， f (x) 0 有解，求 k的取值范围；
（2）在（1）的条件下 k取最小值时，求证： f (x) g(x) 恒成立.
21．已知 an 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n项的最大值记为 An，第 n项之后
各项 an 1， an 2 …的最小值记为 Bn， dn An Bn .
(1)若 an 为 2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*，an 4 an )，
写出 d1,d2 ,d3 ,d4的值；
(2)设 d为非负整数，证明： dn d (n=1,2,3…)的充分必要条件为 an 为公差为 d的等差数
列；
(3)证明：若 a1 2，dn 1(n=1,2,3…)，则 an 的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为 1.
试卷第 4页，共 4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D C B C C A D
11． (3,5)
12． cos
6 sin 2 tan 7
5 5 5
1 7
13． ； .
3 9
1
14．2； .
2
15．②④
16 3．（1）函数 f (x) sin 2x cos 2x 1 3 1 π sin 2x cos 2x sin(2x )
2 2 2 2 6
由 2x
π π π kπ
kπ,k Z，解得 x ,k Z
6 2 6 2
所以曲线 y f (x)
π
的两条对称轴之间的距离最小值为 ．
2
x π（2）当 [a, ]时， 2x
π π 7π
[2a , ]，
2 6 6 6
由 f (x)在区间 [a,
π] 3 π π 7π上的最大值为 1，得 2a ，2 2 2 6 6
π 7π π
而正弦函数 y sin x在 ( , ]上单调递减，则 f (x) 在[a, ]上单调递减，
2 6 2
3
因此 f (a) ， 2a
π 2π π
，解得 a ，
2 6 3 4
π
所以 a的值是 .
4
1
17．（I）在 ADC中，∵ cos ADC sin ADC 4 3，∴7 7
sin 3 3∴ BAD sin ADC B
14
AB sin BAD
（II）在 ABD中，由正弦定理得： BD 3
sin ADB
在 ABC中，由余弦定理得： AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cosB 49
∴ AC 7
考点：正弦定理与余弦定理．
x 0
18．（1）因为 f x e f 0 e ，所以 1.
x2 x 1 0 0 1
答案第 1页，共 4页
ex x2 x 1 ex x
2 x 1
因为 f x
2x2 x 1
ex x2 x 1 ex 2x 1 ex x2 3x 2 ex x 1 x 2

2 2

2 2 2 2 ，x x 1 x x 1 x x 1
e0 0 1
f (0) 0 2 所以 2 ，
0 0 1 2
所以 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y 1 2 x 0 ，
即2x y 1 0；
2
（2）函数 f (x) 的定义域为R ，因为 ex 0恒成立， x2 x 1 0恒成立，
所以令 f (x) 0，解得 x 2或 x 1，令 f (x) 0 ，解得1 x 2，
所以函数 f x 的单调增区间为 ,1 和 2, ，单调递减区间为 1,2 .
a b c
19．（1）由正弦定理 ，
sinA sinB sinC
得 sinAcosC sinCcosA 2sinBcosB .
所以 sin A C 2sinBcosB .
所以 sinB 2sinBcosB .
因为 B 0, π ，所以 sinB 0 .
1
所以 cosB .
2
所以 B
π
.
3
π
（2）选条件①： a 8,b 6， B ，
3
由余弦定理b2 a2 c2 2accosB，得 c2 8c 28 0 .
64 4 28 0，V ABC不存在；
1
选条件②： a 8,cosA .
7
4
由 sin2A cos2A 1，可得sinA 3 .7
3
a b asinB 8
由正弦定理 ，得b 2 7 .
sinA sinB sinA 4 3
7
答案第 2页，共 4页
由余弦定理 a2 b2 c2 2accosA，得
64 49 c2 1 2 7 c

7
，整理得 c2 2c 15 0 .

解得 c 3，或 c 5（舍）.
1
所以V ABC的面积 S ABC acsinB 6 3 .2
条件③： csinB 3 3 ,b 7 .
2
π
因为 csinB 3 3 ，且 B ，所以 c 3 .
2 3
由余弦定理b2 a2 c2 2accosB，得 a2 3a 40 0 .
解得 a 8，或 a 5（舍）
1
所以V ABC的面积 S△ABC acsin B 6 3 .2
20．（1 f (x)= 0 k 1 x ln x）由 得 .
x
1 x ln x
令 F(x) ，
x
0 x 1, F (x) x 1 2 0.x
所以 F(x)在 (0, 1]上单调递减.
又当 x趋向于0时， F(x)趋向于正无穷大，
故 F (x) F (1) 1，即 k 1 .
（2）由（1）得 k 1， f (x) 1 x x ln x, x (0, ) .
f (x) ln x 2, x (0, ) .
2
因此，当 x 0,e 时， f (x) 0, f (x)单调递增； x e 2 , 时， f (x) 0, f (x)单调递减.
所以 f (x) 2的最大值为 f e e 2 1.
设 (x) ex (x 1)，
(x) ex 1，
x (0, ) 时 (x) 0, (x) 单调递增， (x) (0) 0 .
x
故 x (0, ) e时， (x) ex (x 1) 0，即 1 .
x 1
ex
所以1 x x ln x e 2 1 e 2 1 g(x) .
x 1
因此，对任意 x > 0, f (x)< g(x)恒成立.
答案第 3页，共 4页
21．（1）依题意，A1 2,B1 1，则 d1 1，A2 2,B2 1，则 d2 1，A3 4,B3 1，则 d3 3，
A4 4,B4 1，则 d4 3，
所以 d1 d2 1， d3 d4 3 .
（2）充分性：因为 an 是公差为 d的等差数列，且 d 0，则 a1 a2 an ，
因此 An an ,Bn an 1， dn an an 1 d (n 1,2,3 ) ，
必要性：因为 dn d 0(n 1, 2,3 )，则 An Bn dn Bn，又因为 an An ,an 1 Bn，所以
an an 1，
于是 An an ,Bn an 1，
因此， an 1 an Bn An dn d，即 an 是公差为 d的等差数列，
所以 dn d (n=1,2,3…)的充分必要条件为 an 为公差为 d的等差数列.
（3）因为 a1 2，dn 1(n=1,2,3…)，则 A1 a1=2 ，B1 A1 d1 1，即对任意 n 1，an B1 1，
假设 an (n 2)中存在大于 2 的项，
设 m为满足 am 2的最小正整数，则m≥ 2 ，并且对任意1 k m, ak 2 ，
又因为 a1 2，则有 Am 1 2，且 Am am 2，
于是 Bm Am dm 2 1 1,Bm 1 min am ,Bm 2，
因此 dm 1 Am 1 Bm 1 2 2 0 ，与 dm 1 1矛盾，
从而对于任意 n 1，都有an 2，即非负整数数列 an 的各项只能为 1 或 2，
因为对任意 n 1， an 2 a1，于是 An 2， Bn An dn 2 1 1，
假定 ap是无穷数列 an 中最后一个 1，则 Bp 2，而 Ap 2，于是 d p Ap Bp 0，矛盾，
所以数列 an 有无穷多项为 1.
答案第 4页，共 4页

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