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安徽省皖豫名校联盟 2026 届高三上学期 10 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题 : ∈ ( ∞,0]，sin > ，则 为( )
A. ∈ ( ∞,0]，sin ≤ B. ∈ (0, + ∞)，sin >
C. ∈ (0, + ∞)，sin > D. ∈ ( ∞,0]，sin ≤
2.已知集合 = { | +1 2 ≥ 0}， = { | > 1}，则 ∩ =( )
A. (1,2) B. (1,2] C. (2, + ∞) D. [2, + ∞)
+6
3.已知偶函数 ( ) = ( 2 3) 4 的图象过点(1,1)，则 =( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
4.已知函数 ( ) = 2 + + 2 与 ( ) = + 的图象在 = 1 处的切线重合，则 + =( )
A. 1 B. C. + 1 D. + 2
5.设函数 ( ) = 3 + 2 + ( , ∈ )，则“ 2 > 3 ”是“ ( )有三个不同的零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设 = log25， = log316， = log524，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.如图为函数 = (1 )的图象，则 = | ( + 1)|的图象是( )
A. B. C. D.
8.已知实数 ， ， 满足 5 2 + 2 + 2 = 4，则 (2 + )的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知 ， ， ∈ ，且 < < 0，则( )
A. 2 + < 2 + B. + 2 < + 2 C. 2 > 2 D. 2 < 2
10.已知函数 ( ) = ( )2( 2)的极小值点为 = 1，则( )
A. = 1
B. ( )在( ∞, 1)上单调递增
C.当 0 < < 1 时， 4 ≤ (3 1) < 0
D.当 1 < < 0 时， ( 2 ) < ( )
11.已知函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，满足 ( ) ( ) ( ) = ln ln 1，且 ( ) ≠ 0，则( )
A. ( ) = 0 B. ( 1 ) = 2 C. ( 2 )是偶函数 D. ( +1 )是奇函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.定义集合 与 的差集为 = { | ∈ ，且 }，已知集合 = { | 2 3 + 2 ≤ 0}， = { | < ≤
+ 4}，若 = ，则实数 的取值范围是 ．
13.若函数 ( ) = log (5 2 )( > 0 且 ≠ 1)的图象关于直线 = 对称，则 ( ) + ( )的最大值
为 ．
14.已知函数 ( ) = 1 + 存在零点，则 2 + 2的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
已知函数 ( ) = 2 +1， ( ) = + 2 3， ∈ .
(1)判断 ( )在[1,4]上的单调性，并求其在[1,4]上的最大值与最小值;
(2)若对任意的 1 ∈ [1,4]，总存在 2 ∈ [1,4]，满足 ( 1) ≥ ( 2)，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量 (单位：万个)与时间 (单

位：年， = 0 对应 2020 年) , 0 3,的函数关系式为 = ln + , > 3,其中 ， ， ， 为非零常数，假设该函
数的图象为连续的曲线，且已知该省 2020 年的充电桩数量为 10 万个，2023 年的充电桩数量为 30 万个．
(1)求 ， 的值;
(2)根据此模型，预计该省 2026 年的充电桩数量将增长到 40 万个，请你预测该省充电桩数量增长到 50 万
个的年份．
17.(本小题 15 分)
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已知函数 ( ) = 1 ln .
(1) 1若 = ，求 ( )的极值;
(2)若当 ≥ 1 时， ( ) ≤ ( 1 )，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ， ∈ .
(1)当 = 0 时，证明： ( )有且仅有一个零点．
(2)已知曲线 = ( )与直线 = 相切．
(ⅰ)求 ;
(ⅱ)证明：当 > 0 时， ( ) ≥ .
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin sin2 ．
(1)当 = 12时，求 ( )在[0, ]上的最大值;
(2)若 ( ) = ( ) + (2 1) 是 上的单调函数，求实数 的取值范围;
(3) 1 1+3 证明： 2(1 2 ) ≤ sin 4 + sin 8 + + sin 2 +1 <

7 ， ∈ ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2,1
13.4
14. 2
15. (1) ( ) = 2( +1) 2 2解： ′ ( +1)2 = ( +1)2，
当 ∈ [1,4]时， ′( ) > 0，故 ( )在[1,4]上单调递增，
( ) = (1) = 2×1 = 1 ( ) = (4) = 2×4 8所以 min 1+1 ， max 4+1 = 5．
(2)因为对任意的 1 ∈ [1,4]，总存在 2 ∈ [1,4]，满足 ( 1) ≥ ( 2)，所以 ( ) ≥ ( )min，
由(1)知 ( )min = 1，
( ) ≥ 1 4故 ，整理得 2 ≥ 2 + 4，因为 ∈ [1,4]，所以 2 ≥ + ，
4
该式对任意的 ∈ [1,4]恒成立，则 2 ≥ ( + )max， ∈ [1,4]，
设 ( ) = + 4 ，易知 ( )在[1,2)上单调递减，在(2,4]上单调递增，且 (1) = (4) = 5，
所以 ( )max = 5，
所以 2 ≥ 5，得 ≥ 5 52，即 的取值范围是[ 2 , + ∞).
16.解：(1)由题意知，当 = 0 时， 0 = = 10，
当 = 3 时， 3 = 30，所以 3 = 3，即 3 = ln3 ln3，得 = 3 ；
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(2)因为分段函数的图象在 = 3 处连续，又 = 3 时， = 30，故 30 = ln3 + ， ①
当 = 6 时， = 40，得 40 = ln6 + ． ②
10② ①，得 10 = ln2，得 = ln2，
10ln3
代入 ①，得 = 30 ln2 ．
10ln 10ln3
所以当 > 3 时， = + 30
ln 2 ln2
．
= 50 10ln + 30 10ln3令 ，得 ln2 ln2 = 50，整理得 ln

3 = 2ln2 = ln4，

则3 = 4，得 = 12，对应年份为 2032 年．
17.解：(1)函数 ( ) = 1 ln 的定义域为(0, + ∞)，
= 1 ( ) = 1 + 1当 时， ln ，
对 ( )求导得 1 1 ′( ) = 2 + = 2，
令 ′( ) = 0，即 2 = 0，解得 = ,
当 0 < < 时， < 0， 2 > 0，所以 ′( ) < 0， ( )在(0, )上单调递减;
当 > 时， > 0， 2 > 0，所以 ′( ) > 0， ( )在( , + ∞)上单调递增，
根据单调性可知， ( ) = 1 1 2在 处取得极小值， ( ) = + ln = ，无极大值，
2
因此， ( )的极小值为 ，无极大值；
(2)已知 ( ) = 1 ln ， (
1
) = + ln ，
1 1
由 ( ) ≤ ( )可得 ln ≤ + ln
1
，移项得 + 2 ln ≥ 0，
令 ( ) = 1 + 2 ln ， ≥ 1，则问题转化为 ( ) ≥ 0 在[1, + ∞)上恒成立，
1 2
对 ( )求导得 ′( ) = 1 + 2 +
2 +2 +1
= 2 ，
令 ( ) = 2 + 2 + 1，其对称轴为 = ，
①当 ≤ 1，即 ≥ 1 时， ( )在[1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1) = 2 + 2 。
若 2 + 2 ≥ 0，即 ≥ 1 时， ′( ) ≥ 0， ( )在[1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1) = 0，满足条件；
②当 > 1，即 < 1 时， ( )在[1, ]上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
( ) 2min = ( ) = 1 ．
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若 1 2 ≤ 0，即 ≤ 1 时，存在 0 ∈ [1, + ∞)，使得 ( 0) = 0，
此时 ( )在[1, 0]上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增， ( 0) < (1) = 0，不满足条件．
综上，实数 的取值范围是[ 1, + ∞).
18.解：(1)证明：当 = 0 时， ( ) = + ，显然 ( )是增函数，
而 ( 1) = 1 1 < 0， (0) = 1 > 0，故 ( )在区间( 1,0)上有零点，
结合 ( )的单调性可知其在 上有且仅有一个零点．
(2)( )解：不妨记切点为( 0, ( 2 0))，则 ( 0) = 0 0 + 0， ′( ) = 2 + 1， ′( 0) = 0
2 0 + 1，
故切线方程为 ( 0 20 + 0) = ( 0 2 0 + 1)( 0)，
即 = ( 0 2 20 + 1) ( 0 1) 0 + 0，
0 2 0 + 1 = 1,
令其与 = 重合，故 ( 0 1) 0 + 20 = 0,
则 0 = 2 0， 2 0( 0 1) + 20 = 0， 0( 0 2) = 0．
若 = 0，则显然有 ( ) > ，这与题设条件矛盾;
若 0 = 0，则由 (0) = 1， = 0 可知二者不在 = 0 处相切，矛盾.故 0 = 2，
2 2
于是 2 = 4 ， = 4 .经验证， =

4符合题意．
2
综上， = 4．
2 1 1
( )证明：设 ( ) = ( ) = 24 ，则 ( ) = ( 2
22 )( + 2 )，
1
由 > 0 可知 2 + 2 > 0，
设 ( ) = ， ′( ) = ．
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减;当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
1 1
故 F( ) ≥ (1) = 0 1 ，于是 ( ) ≥ 0，( 2 2 2 )( 2
+ 2 ) ≥ 0，
所以 ( ) ≥ .
19.解：(1)若 = 12，则 ( ) = sin
1
2 sin2 ，
则 ′( ) = cos cos2 = 2cos2 + cos + 1 = (1 cos )(2cos + 1)，
当 ∈ [0, ]时，1 cos ≥ 0，仅当 = 0 时等号成立，
当 ∈ (0, 2 3 )时，2cos + 1 > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增，
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2
当 ∈ ( 3 , )时，2cos + 1 < 0， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2 3 3
所以 ( )max = ( 3 ) = 4 ；
(2) ( ) = ( ) + (2 1) = sin sin2 + (2 1) ，
则 ′( ) = cos 2 cos2 + 2 1 = 4 cos2 + cos + 4 1 = (1 cos ) (4 cos + 4 1)，
1 cos ≥ 0，仅当 = 2 ( ∈ )时等号成立，
当 0 时，4 cos + 4 1 = 4 (cos + 1) 1 < 0，
此时 ′( ) ≤ 0 恒成立， ( )在 上单调递减，符合题意;
当 > 0 时，4 cos + 4 1 = 1 < 0，
要使 ( )为单调函数，必须 4 cos + 4 1 ≤ 0 恒成立，
1
即4 1 ≥ cos 恒成立，
1 1
所以4 1 ≥ 1，得 ≤ 8，
所以 0 < ≤ 18．
1
综上， 的取值范围是( ∞, 8 ]；
(3)证明：先证明左边：
由(1) 1 1 2 知 = 2时， ( ) = sin 2 sin2 在(0, 3 )上单调递增，
所以当 ∈ (0, 2 3 )时， ( ) > (0) = 0，即 sin >
1
2 sin2 ，
又 sin 4 =
2 1 2 1 2
2 ，所以 sin 8 > 2 sin 4 = 4 ，sin 16 > 2 sin 8 > 8 ， ，sin
2
2 +1 > 2 ，
sin 2 2 2累加得 4 + sin 8 + + sin 2 +1 ≥ 2 + 4 + + 2 = 2(1
1
2 )，得证；
再证明右边：
(2) = 1由 知 8时， ( ) = sin
1
8 sin2
3
4 在 上单调递减，
所以当 > 0 时， ( ) < (0) = 0，可得 8sin < sin2 + 6 ，

令 = 2 +1， = 1，2，3， ， ，
8 × (sin + sin + + sin 累加可得 4 8 2 +1 ) < sin 2 + sin 4 + + sin 2 + 3 × (
1 1 1
2+ 4 + + 2 )，所以 7 ×
(sin 4 + sin

8 + + sin

2 +1 ) < sin

2 sin

2 +1 + 3 × (1
1
2 ) < 1 + 3 ，
1+3
所以 sin 4 + sin 8 + + sin 2 +1 < 7 ，得证．
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