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湖北省腾云联盟 2026 届高三上学期 10 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 1 + 2i i，则其共轭复数 =( )
A. 2 i B. 2+ i C. 2 i D. 2 + i
2.已知实数集合 = {1, , }， = { 2, , }，若 = ，则( + )2025 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
3.已知抛物线 : 4 2 = 0 恰好经过圆 : ( 1)2 + ( 2)2 = 1 的圆心，则抛物线 的焦点坐标为( )
A. (0,1) B. (1,0) C. ( 1,0) D. (0, 1)
4.在等比数列{ }中， ， 是方程 2 6 10 + 6 + 2 = 0 的两个实数根，则 8的值为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
5.已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，若向量 在向量 上的投影向量为 3 ，则< ， >=( )
A. 7 B. 3 12 4 C.
2 5
3 D. 6
6 1 1.已知 ， 是样本空间 中的随机事件，0 < ( ) < 1，若 ( + ) = 2， ( | ) = 5，则 ( ) =( )
A. 1 B. 34 8 C.
1 2
5 D. 5
7 2 .如图，在扇形 中，半径| | = | | = 2，弧长为 3，点 是弧 上的动点，点 ， 分别是半径 ，
上的动点，则△ 周长的最小值是( )
A. 3 B. 4 C. 2 3 D. 2 2
8.已知随机变量 ~N(0,1),设函数 f(x)=P(-4x< <4-4x),则 f(x)的图象大致为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式恒成立的是( )
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A. 2 + 2
2
> 2 ( , ∈ ) B. + ≤ +
2
2 2 ( > 0, > 0)
C. + 1 1 ≥ 3( ≠ 1) D.
+
+ >

( > > 0, > 0)
10 .已知函数 ( ) = 2cos2( 8 ) 1，则( )
A. 2 是 ( )的一个周期
B. ( ) [ , 3 在区间 4 4 ]上单调递减
C. ( 3 8 )是偶函数
D.若 ( ) = 12在区间(0, )内有两个根 ， ，则 cos( ) =
1
2
11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 : 2 + ( | |)2 = 1 就是其中之一.设曲线 与 轴交于
， 两点，与 轴交于 ， 两点，点 是 上一个动点，以下说法正确的是( )
A.曲线 关于 轴对称
B.曲线 恰好经过 4 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)
C. △ 面积的最大值为 2
D.满足| | + | | = 2 3的点 有且只有 2 个
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在(2 1 )
5的展开式中 项的系数为 (用数字作答)
13.若 = 1 是函数 ( ) = ( 1)( 2)( )的极值点，则 (0) =
14.如图，圆台形容器内放进半径分别为 2 和 4 的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、
容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 + 3 ， ( )为数列{ }的前 项和．
(1)求{ }的通项公式;
(2)记数列{ 1 }的前 项和为 1，证明： < ．
( 1) ′( ) 6
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16.(本小题 15 分)
如图，已知 ( 2,0)， ( 1,0)， (1,0)，动圆 与 轴相切于点 ，过 ， 两点分别作圆 的非 轴的两条
切线，这两条切线的交点为 ．
(1)求证：| | + | |为定值，并写出点 的轨迹方程;
(2)记点 6 2的轨迹为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点， 为坐标原点，且△ 的面积为 7 ，求直线
的斜率．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， / / ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ;
(2)若 = 2， = 3， = = 4，且 ， ， ， 在同一个球面上，球心为 ．
(ⅰ) 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值;
(ⅱ)设球 的表面与线段 交于点 (异于点 )，求 的值．
18.(本小题 17 分)
某企业的生产设备控制系统由 2 1( ∈ )个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 (0 < <
1)，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记
设备正常运行的概率为 (例如： 2表示控制系统由 3 个元件组成时设备正常运行的概率， 3表示控制系统
由 5 个元件组成时设备正常运行的概率)．
(1)若 = 23，当 = 2 时，
(ⅰ)求控制系统中正常工作的元件个数 的分布列和数学期望;
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(ⅱ)求 2;
(2)讨论 与 +1( ∈ )的大小关系．
19.(本小题 17 分)
+ sinh
定义双曲正弦函数 sinh = 2 ，双曲余弦函数 cosh = 2 ，双曲正切函数 tanh = cosh ．
(1)证明：(tanh )′ = 1 (tan )2;
(2)若直线 = 与函数 = cosh 和 = sinh 的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为 1， 2， 3，
求 1 + 2 + 3的取值范围;
(3) 证明：ln(cosh ) > tanh 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.B
9.
10.
11.
12.80
13. 2
14.168
15.解：(1)由题意知，{ 2 }的前 项和 = + 3 ，
当 = 1 时， 1 = 1 = 1 + 3 = 4，
当 ≥ 2 时， = 2 1 = + 3 ( 1)2 3( 1) = 2 + 2，
经检验， 1 = 4 满足 = 2 + 2，
∴ { }的通项公式为 = 2 + 2;
(2)证：∵ ′( ) = 2 + 3，∴ ′( ) = 2 + 3，
∴ 1 = 1 1 1 1
( 1) ′( ) (2 +1)(2 +3)
= 2 ( 2 +1 2 +3 )，
∴ =
1 ( 1 1 + 1 1 1 1 12 3 5 5 7 + … + 2 +1 2 +3 ) = 2 (
1 1 13 2 +3 ) < 6．
16.解：(1)设过点 的切线与圆 相切于点 ，过点 的切线与圆 相切于点 ，
由切线长相等得| | = | |，| | = | |，| | = | |，
那么| | + | | = | | + | | + | |
= | | + | | + | | = | | + | |
= | | + | | = 4 > 2 = | |．
由椭圆的定义可知，点 在以 ， 为焦点的椭圆上，且 = 2， = 1，
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2 2
故点 的轨迹方程为
4 + 3 = 1( ≠ 0)．
(2)由题意知直线 的斜率存在且不为 0，
故设直线 : = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
由 4 + 3 = 1 ，可得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，
= + 1
+ 6 91 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
1 1
故 2 = 2 | 1 2| = 2 ( 1 + 2) 4 1 2
2
= 6 +1 = 6 23 2
，
+4 7
解得 =± 1，故直线 的斜率为±1.
17.解：(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面
(2) ( )在四边形 中，因为 ⊥ ， = 2， = 4，
故 AC= 2 2 = 42 22 = 12 = 2 3，∠ = 30
又 / / ， = 3，∠ = 30 ，所以 = 12 + 9 2 2 3 3 32 = 3
则 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，结合 / / ，则 ⊥ ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 (4,0,0)， (3, 3, 0)， (0,0,4)， (0, 3, 0)， (0,0,0)， ( 32 ,
3 ，
2 , 2)
= ( 3 , 3 ，2 2 , 2)
平面 的一个法向量为 = = ( 1, 3, 0)，
3+3+0
cos ， = · 2 2 3 7

= 2× 7 = 14 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为3 7；
14
( )由(1)知 ⊥平面 ， 平面 ，故 BC⊥ ，
因为 ， ， ， 在同一个球面，且∠ ，∠ 为直角，
即可得 的中点到 ， ， ， 的距离均相等，
故 为外接球直径，则球心 为 的中点．
设 = = (0, 3, 4) = (0, 3 , 4 )，
= + = ( 4, 3 , 4 4 )，
∵ 为外接球直径，且 在球的表面上，∴ ⊥ ，∴ = 0，
∵ = (0, 3, 4)，∴ = 19 16 = 0 16，得 = 19，

所以 =
3
16．
18.解：(1) ( )因为 = 2，所以控制系统中正常工作的元件个数 的可能取值为 0，1，2，3，
2
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为 = 3，
2
所以 ∽ (3, 3 )，
所以 ( = 0) = 0 2 0 1 3 13( 3 ) ( 3 ) = 27，
( = 1) = 1 2 1 1 2 23( 3 ) ( 3 ) = 9，
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( = 2) = 2( 2 2 1 1 43 3 ) ( 3 ) = 9，
( = 3) = 3( 2 )33 3 (
1
3 )
0 = 827，
所以控制系统中正常工作的元件个数 的分布列为：
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
2
控制系统中正常工作的元件个数 的数学期望为 ( ) = 3 × 3 = 2．
( ) 2 = ( = 2) + ( = 3) =
4
9 +
8 20
27 = 27．
(2) +1表示系统在原来 2 1 个元件增加 2 个元件，
则至少要有 + 1 个元件正常工作，
设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为 ，
第一类：原系统中至少有 + 1 个元件正常工作，
其概率为 ( ≥ + 1) = 1 2 1 (1 ) ;
第二类：原系统中恰好有 个元件正常工作，新增 2 个元件中至少有 1 个正常工作，
其概率为 ( = ) = (1 ) 1 [1 (1 )2] = +1 (1 ) 12 1 2 1 (2 );
第三类：原系统中恰好有 1 个元件正常工作，新增 2 个元件全部正常工作，
其概率为 ( = 1) = 1 12 1 (1 ) 2 = 1 +1 2 1 (1 ) ，
所以 = (1 ) 1 + +1 2 1 2 1 +1 (1 ) 1 (2 ) + 12 1 +1 (1 )
= + (1 ) 2 1 (2 1)，
所以 +1 = 2 1 (1 ) (2 1)，
1 1 1
所以当2 < < 1 时， +1 > ，当 0 < < 2时， +1 < ，当 = 2时， +1 = ．
19. ′ 解：(1 因为 sin = = + = cos ， cos = +
′
′ 2 2 ′ 2 = 2 = sin
所以
所以(tanh )′ = 1 (tan )2．
(2)因为直线 = 与函数 = cosh( )和 = sinh( )的图象共有三个交点，

= sinh( ) = 2 在 上单调递增，
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即直线 = 与函数 = sinh( )只有一个交点，
所以直线 = 与函数 = cosh( )有两个交点．
因为 = cosh( )为偶函数且在(0, + ∞)上单调递增，

= cosh( ) = + ≥ 2

2 2 = 1，
当且仅当 = 0 时，等号成立，

所以 > 1，即 1 + 2 = 0
3 3
，
2 > 1，解得
3 > 1 + 2，
所以 3 > ln(1 + 2)，
则 1 + 2 + 3 > ln(1 + 2).

(3) sinh = cosh =
+
因为 2 与 均为奇函数， 2 为偶函数，
所以 ( ) = ln(cosh )与 ( ) = tanh 1 都为偶函数，
则要证 ln(cosh ) > tanh 1，只需证当 > 0 时，ln(cosh ) >

tanh 1 即可．
当 > 0 时 tanh > 0，
即证 tanh ln(cosh ) + tanh > 0．
令 ( ) = tanh ln(cosh ) + tanh ( > 0)，
由于(tanh )′ = 1 (tan )2，
所以 ′( ) = [1 ( )2] ln(cosh ) + tanh · sinh 2cosh 1 + 1 ( )
= [1 ( )2] ln(cosh )．

因为 > 0，所以 2 <
+
2 ，即 ，则 1 ( )
2 > 0，cosh > 1，ln(cosh ) > 0，
则 ′( ) > 0，所以 ( )在(0, + ∞)单调递增，
则 ( ) > (0) = 0，所以 ln(cosh ) > tanh 1．
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