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高三10月检测
数 学
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则
A. B.
C. D.
2. 定义在上的奇函数满足：时，，则
A. B. C. D.
3. 已知函数，则“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4. 设椭圆的左右焦点为和，右顶点为，已知点在椭圆上。若，，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
5. 已知数列的前项和满足，则数列的前项和为
A. B. C. D.
6. 已知函数，若正数，满足，则 的最小值为
A. B. C. D.
7. 若是垂心，，，则的值为
A. B. C. D.
8. 设是关于的方程的一个实根，则常数的值为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，，，，点在边上，平分，为边上的中线，则
A. B.
C. D.外接圆的半径为
10. 已知，则
A. B.
C. D.
11. 设函数，则
A.有极大值
B.当时，
C.图象上任意一点处的切线与的图象恒有两个公共点
D.方程有且仅有个不同的实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 现有名男生和名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则名女生有且仅有名相邻的站法总数为 ▲ （结果用数字作答）.
13. 当时，函数取得最小值，则 ▲ .
14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，角，，对应的边为，，，且.
（1）求角；
（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
16.（15分）
某企业的生产设备控制系统由个相同的原件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立. 当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率）.
（1）若，当时，
（i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望；
（ii）求；
（2）讨论与的大小关系.
17.（15分）
梯形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设为直线与平面的交点，请直接写出点到平面的距离.
18.（17分）
过点作抛物线的两条切线，切点分别为和.
（1），求；
（2）求证：直线过定点；
（3）记的焦点为，求证：.
19.（17分）
已知函数有两个极值点和，.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.高三10月检测
数学试题参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 D D A B C D C A ABD BCD ABD
注意：第1—8题每小题5分，只要与参考答案不符均不得分. 第9—11题每小题6分，有错选不得分，选对一个得2分. 第12—14小题每小题5分，只要与参考答案不符均不得分.
15.（13分）
（1）在中，，
代入整理得，
又因为，，所以，
所以，解得，
因为，所以，解得.……………………（6分）
（2）因为是的中点，所以，
两边平方得，
所以，即，
由均值不等式可得，
当且仅当时取等号，所以，
所以，即面积的最大值为.……………………（13分）
16.（15分）
（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
所以，，
，，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为.……………………（6分）
（ii）.……………………（8分）
（2）由表示系统在原来个元件增加个元件，则至少要有个元件正常工作，
设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为，
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作，
其概率为，
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作，
其概率为，
所以
，
所以，
所以当时，，
当时，，
当时，.……………………（15分）
17.（15分）
（1）证明：因为，所以，
因为平面平面，平面 平面，平面，
所以，平面.……………………（4分）
（2）由（1）知平面，平面，所以，
因为，所以，，
所以，以点为坐标原点，如右图建系，
因为，，，，
所以，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令得，
所以，，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.（12分）
（3）点到平面的距离为.……………………（15分）
18.（17分）
答案请见专题练习册P15
19.（17分）
答案请见专题练习册P49

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