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湖北省鄂州市2026届高三第三届普通高中教师专业能力测试（解题大赛）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，且，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，则( )
A. B. C. D.
5.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为( )
A. B. C. D.
6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图风速的大小和向量的大小相同，单位，则真风为( )
等级 风速大小 名称
轻风
微风
和风
劲风
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
7.若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正三棱柱中，为中点，则( )
A. B. 平面
C. D. 平面
10.已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，是的一个零点，下列结论正确的是( )
A. 是奇函数
B. 的最大值为
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线是曲线的切线，则 ．
13.若一个等比数列的前项和为，前项和为，则该等比数列的公比为 ．
14.在平面直角坐标系中，斜率为的直线与圆交于两点，且点对应的角分别为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是等比数列，且，．
求数列的通项公式
求数列的前项和．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
求的方程；
若直线与交于两点，为坐标原点，的面积为，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，．
证明：平面平面；
设，且点，，，均在球的球面上．
证明：点在平面内；
(ⅱ)求直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
求的极值．
已知函数．
若没有零点，求的取值范围；
若有两个不同的零点，证明：．
19.本小题分
一个不透明的袋子中装有编号分别为，，，的个小球大小、质地均相同，每次从袋中随机摸出个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球的编号相同时，停止摸球设停止摸球时已摸球的次数为，第次摸到的小球编号为．
求与
设，求与
当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，，得，，
因为是等比数列，
设的公比为，
所以，得，
则，
则；
记的前项和为，
则
．
16.【详解】由题意，得，解得，
则椭圆的方程为．
设，
联立，得，
则，解得，
且，
所以，
点到直线的距离为，

则，解得或，满足，
则或．

17.解：由题意证明如下，
在四棱锥中，平面，，
平面，平面，
，，
平面，平面，，
平面，
平面，
平面平面．
由题意及证明如下，
法一：
在四棱锥中，，，，，
，，
建立空间直角坐标系如下图所示，
，
若，，，在同一个球面上，
则，
在平面中，
，
线段中点坐标，
直线的斜率：，
直线的垂直平分线斜率：，
直线的方程：，
即，
当时，，解得：，
在立体几何中，，
解得：，
点在平面上
法二：
，，，在同一个球面上，
球心到四个点的距离相等
在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出和的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
，，
，
，
点是的外心，
在中，，，
由勾股定理得，
，
点即为点，，，所在球的球心，
此时点在线段上，平面，
点在平面上
由题意，及图得，
，
设直线与直线所成角为，
．
法：
由几何知识得，，
，，
，
在中，，，由勾股定理得，
，
过点作的平行线，交的延长线为，连接，，
则，直线与直线所成角即为中或其补角．
平面，平面，，
，
在中，，，由勾股定理得，
，
在中，，由勾股定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
直线与直线所成角的余弦值为：．

18.函数定义域为，求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在取得极大值，无极小值．
函数，求导得，
令函数，求导得，
当时，，，，，
当时，，
则，
，
当时，，
则，，
因此当时，，
即，在上单调递减，
由，得当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
由没有零点，得，解得，所以的取值范围为．
由及有两个不同的零点，得，
不妨设，则，，而，
则，由函数在上单调递减，得，
所以．

19.解：，
．
因为，所以，则，
若，则且，
所以，即，
所以，
所以，即．
由可知，所以当时，．
又因为，所以，
所以
．
当时，设随机变量满足：
若是奇数，则，
若是偶数，则．
设．
当时，即为偶数，可得．
当时，即是偶数，可得．
当时，可分成两种情况：
当时，与同为奇数或同为偶数
当时，与一奇一偶．
所以，即
当且为奇数时，，即
当且为偶数时，，即．
当时，，．
当时，．
综上可得，当且为偶数时，
当且为奇数时，．
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