资源简介

2025学年复旦附中高二上学期10月阶段练习卷（A卷）
数学 试卷
（考试时间：120分钟 满分：150+18分）
考生注意：
本试卷的选择题均为单选题
解答题需要写出必要的计算说明过程
试卷共6页，答题纸共4页，满分150分，附加题18分
请自备科学计算器（卡西欧）并准确在答题纸上填写考号
一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 已知某个多边形的面积为2025，用“斜二测”法画出其直观图的面积为__________.
2. 已知数列满足，则__________.
3. 在空间中，设直线与平面所成角的取值集合为A，直线与直线所成角的取值集合为B，平面与平面所成角的取值集合为C，请用集合的符号语言联结A,B,C：__________.
4. 已知三条两两平行直线可确定a个平面，则过定点__________.
5. 三个不相交的平面把空间分成a+b部分，其中ab＞0，则的最小值为__________.
6. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E,F分别在棱AB与线段CD1上，CF=1，G在线段BC上，若BD1∥平面GEF，则CG=__________.
7. 已知数列对任意正整数n均满足，则数列的通项公式为__________.
8. 已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为，若，则q的取值范围为__________.
9. 已知在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，若EC⊥平面ABC，EC=1,则E到斜边AB的距离为__________.
10. 如图，为正方体，动点P在线段上，则∠APC的取值范围为 ．

①：若a∥b，b ，则a∥ ②：若a∥，b∥，则a∥b
③：若a∥，a∥b，b∩≠ ，则b ④：若A a，A b，则过点A一定存在一平面与a,b都平行
12. 已知异面直线a,b所成角为60°，过空间内一点P作直线l，使l与a,b所成角为，则直线l可能有条，则
二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13. 下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（ ）
A．这两条直线可能既共面，又共点
B．这两条直线可能既不共面，又不共点
C．这两条直线可能共面但不共点
D．这两条直线可能共点但不共面
14. 已知r,s,t,q均为正整数，这下列序号中，命题A是命题B的充要条件的有（ ）
①： 命题A：等差数列且r+s=t+q 命题B：
②： 命题A：等比数列且r+t=2s 命题B：
A．①② B．①②都不是 C．① D．②
15．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线MN∥平面
B．直线与直线平行，直线MN∥平面
C．直线与直线平行，直线MN⊥平面
D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面
16. 设正方体中，所有两条面对角线之间所成的角的所有不同正弦值组成的集合为A，所有不同余弦值组成的集合为B，所有不同正切值组成的集合为C，则下列说法中错误的是（ ）
A．集合B中元素按照一定顺序排列可以构成等差数列
B．集合A∩B的非空子集数与集合C的真子集数相同
C．任取A中一元素为某点横坐标，任取B中一元素为该点纵坐标，则该点可能在单位圆上
D．任取A∩B∩C中一元素为某点横坐标，任取A中一元素为该点纵坐标，则该点在复平面上一定表示纯虚数
三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17．（本题共14分，每小问均为7分）
在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD；
（1）若E,F分别是CD,AD的中点，求证：E,F,A,C四点共面；
（2）若M,N分别是CD,AD的中点，求：异面直线AM,BN所成角的大小．
18．（本题共14分，（1）为6分，（2）小问均为3分，（3）小问为5分）
《九章算术》中将四个面都为直角三角形的几何体称为鳖臑（biē nào）．如图，△ABC是直角三角形，，平面ABC．
（1）判断几何体是否为鳖臑并说明理由；
（2）若H是PB上的点，且，请直接写出图中所有和AH垂直的棱；
（3）求证：cos∠PCB不可能为cos∠PCA和cos∠ACB的等比中项．
19．（本题共14分，（1）为4分，（2）和（3）均为5分）
已知等比数列首项为a，公比为r，等比数列首项为b，公比为s
（1）若＜1且，求：数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和；
（2）若数列满足，且，求：的值；
（3）请直接写出： ．
20．（本题共18分，每小问均为6分）
如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜）．则下列结论：
（1）求：异面直线AM与NF所成的夹角；
（2）试判断MN与平面BCE的位置关系并说明理由；
（3）试判断“CN与ME相交”是“CN=ME”的什么条件并说明理由．
21．（本题共18分，（1）小问5分，（2）小问7分，（3）小问6分）
在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开。
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a
性质1：正方体的体积与表面积之比为________．
性质2：对角线A1B与BC所成夹角大小为________．
性质3：体对角线BD1的长度为________．
性质4：连接所有对角线后，图中有_____对互相垂直的线段
……
（1）请直接完成上方正方体性质卡片的填写；
（2）求证：线段被平面与平面三等分；
（3）若正方体ABCD-A1B1C1D1每条棱所在直线与平面所成的角都相等，求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出与正方体的截面．
四、附加题 （本大题共18分）
22．（本题共18分，（1）和（2）和（3）小问均为5分，（4）小问3分）
在同一平面内，设和夹角为，新定义运算：※＝||||sin，设当 与 值域相同时的取值集合为集合．
（1）若一个三角形的两边长分别为1,2；其三个内角均为集合中的元素，求：该三角形第三边的取值范围；
（2）判断“”是“以，，||||为三边可构成直角三角形”的什么条件并说明理由；
（3）类比研究的性质和应用的方法，设=(x,y)，=(m,n)；完成下列对的总结表；
性质或应用
=0 ___________
=±|||| ___________
坐标表示 =xm+yn ___________
几何意义 ||与||在方向上的数量投影的乘积
分配率 =+· 不存在分配率
齐次性 (k)·=k()
（4）将该定义从平面拓展至三维空间，则可在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
条件1：，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；
条件2：的模（表示向量、的夹角）．
在正方体中，有以下四个结论，其中正确的有____________．（直接写出结果即可）
①． ②．与共线
③． ④．与正方体表面积的数值相等2025学年复旦附中高二10月阶段练习试卷数学参考答案及评分标准
参考答案：
填空题（1~12题）
1.
2. 4100626
3. A=B C
4. (2,0)或(4,0)
5.
6.
7.
8. (0,﹢∞)
9.
10. [,] （提示：设腰长为x运用余弦定理或建系法利用向量夹角余弦公式求解）
11. ①②④
12.
选择题（13~16题）
13. D
14. B
15. A
16. D
解答题（17~21题）
17． （1）证明EF∥AC即可（7分） （2）arccos （7分）
18．（1）是；（6分） （2）PB,PC,BC （3分） （3）提示：依次在直角三角形中表示约分即可 （5分）
19． （1） 数列所有奇数项的和： （2分） ；数列所有偶数项的和： （2分）
（2） （5分）
（3） （5分）
20．（1）60° （6分） （提示：向量夹角公式）
（2）MN始终与平面BCE平行 （6分） （提示：借助法向量）
（3）充要条件 （6分） （提示：在两种情况下分别求得a）
21．（1） （1分） （1分） a （1分） 132 （2分）
性质4详解：
棱与棱垂直：任何两条不平行的棱（即沿不同坐标轴的棱）都垂直。有4条棱沿x轴、4条沿y轴、4条沿z轴，因此棱-棱垂直对数为4×4 + 4×4 + 4×4 = 48对。
棱与面对角线垂直：每条棱垂直于4条面对角线（位于与棱垂直的两个面上，每个面有2条面对角线）。因此棱-面对角线垂直对数为12条棱 × 4条面对角线 = 48对。
面对角线与面对角线垂直：包括同一面内的两条面对角线垂直（6个面，每面1对，共6对）和平行面上的面对角线垂直（3对平行面，每对2对，共6对），总12对。
面对角线与空间对角线垂直：每条面对角线垂直于2条空间对角线，因此面对角线-空间对角线垂直对数为12条面对角线 × 2条空间对角线 = 24对。
空间对角线与空间对角线垂直：无垂直对。
棱与空间对角线垂直：无垂直对。 共132对
（2）提示：等体积法 （7分） 参考过程如下：
（3） （4分） （2分） 提示：截面为正六边形
附加题 （22题 18分）
22． （1）[]；提示：由题意可知，※＝||||sin≥0，为满足值域相同，且为的夹角且为三角形内角，则一定是锐角或者直角，则该三角形的形状一定为锐角或直角三角形，三内角余弦值一定均≥0，利用余弦定理求解即可（5分）
（2）必要非充分（1分） 充分性：当=0时，※=0，不可构成三角形 （1分）
必要性：可证明()2+()2 =(||||)2，则只需满足三边均＞0即可，因为当三个正数满足时，有＜，一定能围成三角形且为直角三角形，则可解得的子集，故 Ω，必要性成立（3分） 本小题共5分
（3）每空均为1分，共5分
性质或应用
=0 ||||
=±|||| 0
坐标表示 =xm+yn |xn-ym|
几何意义 ||与||在方向上的数量投影的乘积 以，为邻边的平行四边形的面积
分配率 =+· 不存在分配率
齐次性 (k)·=k() (k)·=|k|()
（4） ①②④ （画出正方体利用图形直接判断即可） （3分）
对于①，设正方体的棱长为1，在正方体中，，
则．
因为，且，所以，
所以，
所以，所以①正确；
对于②，在正方形中，，又因为平面，平面，
所以．又，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，再由右手系知，与同向，所以②正确；
对于③，由、和构成右手系知，与方向相反，又由模的定义知，，
所以，则，所以③错误，
对于④，设正方体棱长为，，
正方体表面积为，所以④正确．

展开更多......

收起↑