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浙江省杭州第二中学 2026 届高三上学期 10 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 2i 1 的实部是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2i
1 32. 2 的展开式中 的系数是( )
A. 6 B. 6 C. 12 D. 12
3.“集合 、 满足： ∩ = ”的一个充要条件是( )
A. B. ( ∩ ) C. ∪ = D. ∪ =
4 π 3.已知 cos + 4 = 5，则 cos =( )
A. 2 B. 7 2 C. 2 7 2 D. 2 7 210 10 10或 10 10或 10
5.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且满足 ( + 2) + ( ) = 0.当 ∈ [ 2,0]时， ( ) = 2 2 ，则
当 ∈ [4,6]时， ( )的最大值为( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 0
6.已知圆 ： 2 + 2 = 16，直线 ：4 + 3 12 = 0，点 ( 3,0)，点 在圆 上运动，点 满足 = +
( 为坐标原点)，则点 到直线 距离的最大值为( )
A. 44 B. 8 C. 395 5 D.
24
5
7.某个圆锥容器的轴截面是边长为 4 4的等边三角形，一个表面积为3π的小球在该容器内自由运动，则小球
能接触到的圆锥容器内壁总面积为( )
A. 4π B. 5π C. 6π D. 7π
8.若 2 e 2 + ln + ≤ 0 对任意 > 0 均成立，则 的最大值为( )
A. 1 B. e2 C. e D.
1
e
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 2sin 2 π3 ，则( )
A. ( )的值域为[ 2,2]
B. ( ) π的图象关于点 3 , 0 对称
第 1页，共 10页
C. ( )在区间 0, π4 上单调递增
D. ( )的图象可由曲线 = 2sin2 π向右平移6个单位得到
10.已知首项为正数的等差数列 的前 项和为 ，若 25 21 25 22 < 0，则( )
A. 23 + 24 < 0
B. 21 < 25 < 22
C.当 < 0 时， 的最小值为 47
D. 1 + 2 + + 23 < 24 + 25 + + 46
11.已知平面上一点 到点 1( 1,0)， 2(1,0)的距离满足 1 2 = 2 1 2 ，设点 的运动轨迹
为曲线 ，则下列结论正确的是( )
A.曲线 关于原点对称
B. 1 2 ≤ 1
C.点 横坐标的取值范围是 2, 2
D.
2
当点 不在坐标轴上时，点 在椭圆 22 + = 1 内部
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (1,2)， = (3,1)，则∠ = ．
13.已知函数 ( ) = ′(0)e e2 ，则 (0) = ．
14.某班 5 位同学参加 3 项跑步比赛，要求每人报名 1 项或 2 项，且每个项目恰有 2 人报名，则不同的报
名方法有 种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某校倡导学生为特困生捐款，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计
了连续 5 天的售出和收益情况，如下表：
售出水量 (单位：箱) 7 6 6 5 6
收益 (单位：元) 165 142 148 125 150
(1)求收益 关于售出水量 的回归直线方程，并计算售出 8 箱水时的预计收益；
(2)学校决定将收益奖励给品学兼优的特困生，获奖学生每人奖励 300 元.已知甲、乙两名学生是否获奖是相
3 2
互独立的，甲获奖的概率为5，乙获奖的概率为3，求甲、乙两名学生获奖总金额 的分布列及数学期望．

附： = =1 2 2 ， = ， = 6， = 146，
5 5 2 =1 = 4420， =1 = 182． =1
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16.(本小题 15 分)
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 2 sin = 3 2 + 2 2 ．
(1)求 ；
(2)若 = 3，点 在边 上， = 2 ，求 面积的最大值．
17.(本小题 15 分)
已知正项数列 2 的前 项和为 ，且 4 = + 2 ．
(1)求 的通项公式；

(2) ( 1)若 = ，记数列 的前 项和为 ，求 120． +1
18.(本小题 17 分)
2 2 3 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)经过点 1, 2 和 3, 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的左焦点为 ，点 ， 是椭圆 上的两个动点，直线 的斜率存在并且不为 0．
( )若直线 ， 关于 轴对称，证明：直线 过定点；
( )若 为坐标原点， 为椭圆 的右顶点，直线 过点 ( 2,2)，直线 与直线 ， 分别交于点 ， ，
| |
求| |．
19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = tan sin 3．
(1)求曲线 ( )在 = 0 处的切线方程；
(2) π若对任意 ∈ 0, 2 ，都有 ( ) ≥ 0，求 的最大值；
(3) + 已知数列 满足：① 1 +1 = 1 ；② 1, 2, ,

9999均大于 0， 10000 < 0.设 = ，求证：
1 2 +1
3
1 + 2 + +
π
2025 > 4．
2
附：13 + 23 + + 3 = ( +1)2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.π4
13. 2
14.180
^ 5
15. (1) = =1 5 4420 5×6×146【详解】 依题意可得 5 2 2 = 182 5×62 = 20， = = 146 20 × 6 = 26， =1 5
所以回归直线方程为 = 20 + 26，
当 = 8 时， = 20 × 8 + 26 = 186(元)，
即某天售出 8 箱水的预计收益是 186 元．
(2)获奖总金额 的值为 0,300,600，
3 2
记甲获奖为事件 ，乙获奖为事件 ，根据题意可得 ( ) = 5 , ( ) = 3，
所以 ( = 0) = = 1 3 25 1 3 =
2
15，
( = 300) = ( ) + ( ) = 1 3 2 2 3 75 × 3+ 1 3 × 5 = 15，
( = 600) = ( ) ( ) = 3 × 2 = 6 = 25 3 15 5，
所以总金额 的分布列为：
0 300 600
2 7 2
15 15 5
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所以 ( ) = 0 × 215 + 300 ×
7
15 + 600 ×
2
5 = 380(元)．
16.【详解】(1)由余弦定理有： 2 + 2 2 = 2 cos ，
又由 2 sin = 3 2 + 2 2 有： sin = 3 cos ，
由正弦定理有：sin sin = 3sin cos ，
又 0 < < π，所以 sin > 0，
所以 sin = 3cos ，即 tan = 3，
又 0 < < π，
所以 = π3；
(2) 1 1 3 3由(1)有 = 2 sin = 2 × 2 = 4 ，
= 2 = 2 = 2 × 3 = 3由 有： 3 3 4 6 ，
又由余弦定理有： 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ≥ 2 = ，
当 = = 3 时，等号成立，
所以 ≤ 2 = 9，
3 3 3 3所以 = 6 ≤ 6 × 9 = 2 ，
所以 3 3面积的最大值为 2 ．
17.【详解】(1)由 4 = 2 + 2 ，①
当 = 1 时，4 21 = 4 1 = 1 + 2 1，即 1 = 2 或 1 = 0(舍去)；
当 ≥ 2 时，4 2 1 = 1 + 2 1，②
① ②得 4 = 2 2 1 + 2 2 1，
得到 2 2 1 2 2 1 = 0，
则 + 1 1 2 + 1 = 0，
因为 > 0，所以 + 1 > 0，
则 1 2 = 0，即 1 = 2，
所以数列 为 2 为首项，2 为公差的等差数列，
则 = 2 + ( 1) × 2 = 2 ．
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(2) = ( 1)
( 1) ( 1) 2( +1)+ 2
由 = = +1 2( +1) 2 2
，
= 4+ 2 + 6+ 4 8+ 6 + 240+ 238 + 242+ 240则 120 2
= 2+ 2422 = 5 2．
1 + 9 = 1
18. 2 2【详解】(1)将 1, 3 32 和 3, 2 代入可得
4
3 3 ,
2 + 4 2 = 1
2解得 = 4
2 2
，故椭圆 的方程为 + = 1；
2 = 3 4 3
(2)( )设直线 的方程为 = + ，
2 2
联立 4 + 3 = 1 得 3 + 4
2 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
= 64 2 2 4 3 + 4 2 4 2 12 > 0，故 4 2 2 + 3 > 0，
设 1, 1 , 2, 2 ，
2
故 1 + =
8 4 12
2 3+4 2 , 1 2 = 3+4 2，
直线 ， 关于 轴对称，设 关于 轴对称点为 ′，
则 ′ 2, 2 ，且 ′ 2, 2 在直线 上，
直线 的斜率存在并且不为 0，故直线 ′ 斜率存在且不为 0，
其中 ( 1,0) ， 1 2 = ′ ，即 = ，1+1 2+1
所以 2 + 1 1 = 2 1 + 1 ，其中 1 = 1 + , 2 = 2 + ，
所以 2 + 1 1 + = 2 + 1 + 1 ，2 1 2 + ( + ) 1 + 2 + 2 = 0，
2
将 8 4 121 + 2 = 3+4 2 , 1 2 = 3+4 2代入可得
2 4
2 12 8 2 2
3+4 2 ( + ) 3+4 2 + 2 = 0，化简得 = 4 ，代入 4 + 3 > 0 中，
2 < 14，即
1
2 < <
1
2且 ≠ 0，
所以直线 方程为 = + 4 = ( + 4)，
直线 过定点( 4,0)；
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( )由题意得 (2,0)，直线 过点 ( 2,2)，设直线 为 2 = ( + 2)，
2 +
2
联立 4 3 = 1 得 4
2 + 3 2 + 16 ( + 1) + 16 2 + 32 + 4 = 0，
= 256 2( + 1)2 4 4 2 + 3 16 2 + 32 + 4 > 0，
1
故 24 + 3 < 0，解得 < 8，
设 1, 1 , 2, 2 ，
+ = 16 ( +1)
2
则 1 2 4 2+3 , =
16 +32 +4
1 2 4 2+3 ，
直线 为 = ，直线 0 2为 1 0
= 1 2
，
= 2 联立直线 与直线 得 1 + 2，同理可得 =
2 2

1 1 2+ 2 2
，
2 1
| |
| | =
1+ 1 2
= 2 =
1 2+ 2 2
2
，
2 1+ 1 2
2+ 2 2
其中 1 = 1 + 2 + 2, 2 = 2 + 2 + 2，
| | 1+2 +2 ( +1) 2+2 故| | = 2+2 +2 ( +1) 1+2
( + 1) 2 21 2 +2 1 +2( + 1) 2 +4 2 +4 =
( + 1) 1 2 +2 2 2 22 +2( + 1) 1 +4 +4
( + 1) 21 2 +2 1 + 2 +(4 + 2) 2 +4 2 +4 =
( + 1) 21 2 +2 1 + 2 +(4 + 2) + 4 21 +4
+ = 16 ( +1) , = 16
2+32 +4
将 1 2 4 2+3 1 2 4 2+3 代入得
16 2 +32 + 4 2 16 ( + 1)
| | ( + 1) 2 2 2 + (4 + 2) 2 +4
2 +4
4 + 3 4 + 3
| | = 2
( + 1)16 + 32 + 42 2
2 16 ( + 1)
2 + (4 + 2) 1 +4
2 +4
4 + 3 4 + 3
16 ( +1)
2 +2 2 (2 +1)
16 ( +1)
2 +2 = 4 +3 = 4 +3
2
16 ( +1) ，(2 + 1 ≠ 0)，
2 +2
16 ( +1)
4 +3 1
(2 +1) 2 +2 4 +3 1
16 ( +1) | | +2 + 由于 1 + 2 = 4 2+3 ，所以 =
1 2 2 1 2
| | 1 2+2
= = 1，1 1 2
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当 2 + 1 = 0 时，直线 为 = 12 + 1，
2 +
2
联立 4 3 = 1 得 4
2 4 8 = 0，即 2 2 = 0，解得 = 1 或 2，
3
当 = 1 时， = 2，当 = 2 时， = 0，即 , 其中一个点坐标为(2,0)，
与 (2,0)重合，不合要求，
| |
综上，| | = 1．
19.【详解】(1) (0) = tan0 sin0 0 = 0， ( ) = sin cos sin
3，
2 2
′( ) = cos +sin cos2 cos 3
2 = 1cos2 cos 3
2，
故 ′(0) = 1cos20 cos0 0 = 1 1 = 0，
故曲线 ( )在 = 0 处的切线方程为 = 0；
(2)对任意 ∈ 0, π2 ，都有 ( ) ≥ 0，
其中 (0) = 0， ′(0) = 0，
令 ( ) = ′( ) = 1 2cos2 cos 3 ，
则 ′( ) = 2sin ′cos3 + sin 6 ， (0) = 0，
令 ( ) = ′( ) = 2sin cos3 + sin 6 ，
2
则 ′( ) = 2+4sin cos4 + cos 6 ，其中
′(0) = 2 + 1 6 = 3 6 ，
令 ′(0) ≥ 0，即 3 6 ≥ 0，解得 ≤ 12，
下面证明 ≤ 12时， ( ) ≥ 0
π
在 ∈ 0, 2 上恒成立，
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( ) = tan sin 3 ≥ tan sin 12
3，
令 ( ) = tan sin 1 32 ， ∈ 0,
π
2 ，注意到 (0) = 0，
则 ′( ) = 1 3 2cos2 cos 2 ，注意到
′(0) = 0，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 2sin + sin 3 ，注意到 ′cos3 (0) = 0，
2
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 6sin cos4 +
2
cos2 + cos 3，
6sin2 π 2
其中 cos4 > 0 在 ∈ 0, 2 上恒成立，令 = cos ∈ (0,1)， ( ) = 2 + 3，
3
故 ′( ) = 4 4 3 + 1 = 3 < 0，故 ( ) =
2
2 + 3 在 ∈ (0,1)上单调递减，
其中 (1) = 2 + 1 3 = 0，故 ( ) > 0 在 ∈ (0,1)上恒成立，
2 π
故cos2 + cos 3 > 0 在 ∈ 0, 2 上恒成立，
2
故 ′( ) = 6sin 2cos4 + cos2 + cos 3 > 0
π
在 ∈ 0, 2 上恒成立，
π
故 ( ) = ′( )在 ∈ 0, 2 上单调递增，
故 ′( ) > ′(0) = 0，故 ( ) = ′( )在 ∈ 0, π2 上单调递增，
′( ) > ′(0) = 0 ( ) = tan sin 1，故 32 在 ∈ 0,
π
2 上单调递增，
( ) > (0) = 0，故 ( ) ≥ ( ) > 0，
≤ 1 1所以 2， 的最大值为2；
(3)令 = tan ，则 1 = tan 1, +1 = tan +1，
1,
π
2, , 2025均大于 0，设 1, 2, , 2025 ∈ 0, 2 ，
+
因为 1 +1 = 1 ，1 ≤ ≤ 2025，1
tan tan 1+tan 所以 +1 = 1 tan tan = tan 1 + ，1 ≤ ≤ 2025，1
+ ∈ 0, π π显然 1 2 ，1 ≤ ≤ 2025，若 1 + ∈ 2 , π ，1 ≤ ≤ 2025，上式不成立，
π
由于 = tan 在 ∈ 0, 2 上单调递增，
故 +1 = 1 + ， +1 = 1，1 ≤ ≤ 2025，
故 为等差数列，首项和公差均为 1，故 = 1 + ( 1) 1 = 1，1 ≤ ≤ 2025，
故 = tan 1，1 ≤ ≤ 2025，
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=
= tan tan 11 = tan 1 sin 1，1 ≤ ≤ 2025
2+1 tan2 1+1
1
由(2)知，tan 1 sin 31 > 2 1 ，
所以 >
1
2
3
1 ，1 ≤ ≤ 2025，
1 1 1 1
1 + 3 32 + + 2025 > 2 1 + 2 2 1 + + 2 2025
3 = 3 13 31 2 1 + 2 + + 2025
3
= 1 3 2025×2026
2
2 1 2 ，
因为 9999 > 0, 10000 < 0，所以 tan9999 1 > 0, tan10000 1 < 0，
所以 9999 π π π π1 < 2 , 10000 1 > 2，20000 < 1 < 19998，
3 2 3 2
所以 1 + 2 + + >
1 π 2025×2026 π (2025×2026)
2025 2 200003 2 = 4 × 2×200003 ，
(2025×2026)2 > (2000×2000)
2
= 1.6×10
13
其中 2×200003 1.6×1013 1.6×1013 = 1，
3
所以 1 + 2 + +
π
2025 > 4．
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