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天津市新华中学2025-2026学年高二上第一次月考数学答案
一、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
&
B
D
C
B
9
A
1
二、填空题
12
13
14
15
16
0或2
2x+y+3=0或y=-
b
V3a2 +b2+2ab:
V3a +b2
三、解答题
17
解：(I)依题意，以A为原点，分别以AB,AD,AE的方向为x轴，y轴，z轴
正方向建立空间直角坐标系A一2（如图），
E
B
可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,40),D(0,2,0),E(0,0,4),，F(2,4,2)
因为AE⊥平面ABCD,且ABC平面ABCD,
所以AE⊥AB,
又AD⊥AB,且ADOAE=A,
所以AB⊥平面ADE,
故AB=(2,0,0)是平面ADE的一个法向量，
又BF=(0,4,2),
所以BF.AB=0,
又因为BF工平面ADE
所以BF∥平面ADE.
(注：其他方法平行给分)
(Ⅱ)设m=(xy,)为平面BDF的一个法向量，则
mBD=0
m·BF=0'
又BD=(-2,2,0),BF=(0,4,2)
-x+y=0
所以2y+:=0
不妨令y=1,可得m=(1,1,-2)
又因为AB=(2,0,O)是平面ADE的一个法向量
设平面ADE与平面BDF夹角为O
则cos0=lcos
AB.m
1×2
v6
AB×m
2×V12+12+(-2)2
6
所以平面ADE与平面BDF夹角的余弦值为
6
(Ⅲ)因为EB=(2,0,-4),m=(11,-2)
所以点E到平面BDF的距离d=
EB·m
1×2+4×25V6
m
√6
3
在△BDF中：BD=2V2,DF=2W5,BF=2V5
所以BD2+DF2=BF2
所以∠BDF=90
所以Sar=3BD-DF=26
所以四面体B-DEF体积s='-
0
3Swwpe'd=
3
18、
(1)证明：取BC的中点E,连接AE,由题意得EC=
AD,EC∥AD,
所以四边形AECD为平行四边形，结合AD⊥CD,可得
口AECD为矩形，故AE⊥AD,又PA⊥平面ABCD,所以如图建
立空间直角坐标系A-xy2,
则A(0,0,0),B(22,-22,0),C(22,22,0),D(0,22,
0),E(2W2,0,0),P(0,0,2),
则AB=(22,-22,0),PC=(22,22,-2),
因为AB.P元=0，所以AB⊥PC
B
(2)P=(22,-22,-2),D元=(2W2,0,0),
设异面直线BP与CD所成的角为a,
P.D元
√10
则cosa=
IPB1·IDCI
5
所以异面直线PB与DC所成角的余弦值为，
5

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