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福建省百校2026届高三上学期10月联合测评数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是( )
A. B. C. D.
3.以下函数是奇函数且在单调递减的是( )
A. B. C. D.
4.用可以组成个无重复数字的六位奇数，则( )
A. B. C. D.
5.已知为抛物线：的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知均为锐角，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. 与的实部相等 B. C. D.
10.已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为，与圆锥底面所成的角为，则下列说法不正确的是( )
A. 圆锥的高为 B. 圆锥的侧面积为
C. 二面角的大小为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为
11.设是函数的三个零点，则( )
A.
B.
C. 若成等差数列，则成等比数列
D. 若成等差数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.若事件与事件相互独立，，，则 ．
14.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于、两点，若，则双曲线的渐近线方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
证明：；
记的中点为，若，且，求的周长．
16.本小题分
记为等差数列的前项和，已知
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在多面体中，已知平面平面，其中四边形为矩形，底面四边形满足， ，
求证：平面平面
求三棱锥外接球的体积：
为的中点，点在线段上，若直线与平面所成角的大小为求的长．
19.本小题分
设函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若是增函数，求的值；
当时，设为的极大值点，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】在中利用正弦定理，化简，
得，即，
，，则，即，
利用正弦定理可得．
因，则，
在中由余弦定理推论，得，
在中由余弦定理推论，得，
因，得，即，
又，则，解得，，则，
则的周长为．

16.解：设等差数列的公差为，由题意可知，
，解得，，
故．
由得，，
所以，
数列的前项和为．
17.【详解】由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为．
法一：当直线斜率为时，，不符合题意．
当直线斜率不为时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则 ．
由题意，，
即，解得．
故直线的方程为：或．
法二：当直线斜率不存在时，，不符合题意．
设直线方程为，
联立，得，，
设，则，
由，得，
即，解得．
故直线的方程为或．

18.【详解】因为四边形为矩形，
所以，因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
由知平面，
平面，所以，
所以的外心为的中点，
所以，所以平面，
因为，所以的外心为的中点，
所以点为三棱锥外接球的球心，
，
所以外接球的半径，
则三棱锥外接球的体积为；
因为平面，
所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以
设线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为，
设，
则，
所以，
，
设平面的法向量为，
则
取，则，
则，因为与平面所成角的大小为，
所以，
即，整理得，
所以，此时点与点重合，
所以，则．

19.【详解】当时，，
易知，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
，不妨设，
若是增函数，即，则，解得，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，，
当时，单调递增，
当时，单调递增，
所以单调递增，所以．
，
因为在上单调递增，所以存在唯一，
使得，
所以，
不妨设，
所以单调递减，所以，
所以．

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