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西北工业大学附属中学2026届高三上学期第二次适应性训练
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
2.设公差的等差数列中，，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
3.已知为虚数单位，则“”是“为纯虚数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足对任意的，有若，则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若为锐角三角形，则
D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为
10.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是( )
A. 存在某个位置，使得
B. 翻折过程中，的长是定值
C. 若，则
D. 若，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
11.已知函数和的零点分别，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则 ．
13.已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 ．
14.现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是的中点．

证明：；
求直线与平面所成角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，．
讨论函数的极值点情况；
设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为．
求轨迹的方程；
设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
18.本小题分
随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取人的笔试成绩满分视为分作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩
人数
假定笔试成绩不低于分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于分的考生里随机抽取人，求至少有人笔试成绩为优秀的概率；
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为名样本考生笔试成绩的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代替，，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于的人数结果四舍五入精确到个位；
考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答道题，前两题是哲学知识，每道题答对得分，答错得分；最后一题是心理学知识，答对得分，答错得分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望．参考数据：；若，则，，
19.本小题分
意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．已知
证明：倍元关系：；平方关系：
对任意，恒有成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，且是的中点，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
可得：平面，且平面，所以．
在底面内作，以点为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系．

则，
可得，，，，
设平面的法向量为，则
令，则，可得平面的一个法向量为，
又因为，
设直线与平面所成角为，
可得，
可得，所以直线与平面所成角的余弦值为．

16.解：函数的定义域为，，
令，则或，
因为，所以，当，即时，，
所以在单调递增，无极值点，
当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减，
所以是极大值点，是极小值点，
当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减，
所以是极大值点，是极小值点，
综上，当时，无极值点，
当时，是极大值点，是极小值点，
当时，是极大值点，是极小值点，
当时，，
不妨设，则恒成立，等价于恒成立，
令，，则在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
由均值不等式当且仅当时取等号，
所以，则，故实数的取值范围是．

17.解：设圆的半径为，圆的半径为，，圆的半径为，
因为：，：
所以，，，，
所以，所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆，，
故轨迹的方程为；
设直线的方程为，，代入，得，恒成立，
设，，线段的中点为，
则，，
由，得，
所以直线的方程为，
令，点横坐标，
因为，所以，
所以，
所以线段上存在点，使得，其中。

18.解：由已知，样本中笔试成绩不低于分的考生共有人，其中成绩优秀的人．
故至少有人笔试成绩为优秀的概率为．
由表格中的数据可知，，
又，即，
，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于的人数为人．
考生甲的总得分的所有可能取值为，，，，，，
则， ， ，
， ， ，
故的分布列为：
．

19.解：证明：；
．
构造函数
当时，因为，当且仅当即时等号成立，
所以，故单调递增，
此时，故对任意恒成立，符合题意；
当时，令
则恒成立，故单调递增，
由与，
可知存在唯一，使得，
当时，，则在内单调递减，
故对任意，即，不合题意，舍去；
综上所述，实数的取值范围为．
由知：当时，，令，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，
所以，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，令，
所以
．

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