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1.3勾股定理的应用
【题型1】勾股定理与生活实际问题 2
【题型2】勾股定理与路径最短 4
【题型3】数学典籍中的勾股定理 6
【知识点1】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2023秋 新乡期末）如图是一个底面半径为5cm,高为24cm的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　）
A．24cmB．26cmC．28cmD．30cm
【题型1】勾股定理与生活实际问题
【典型例题】如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行　　
A.26米 B.30米 C.36米 D.40米
【举一反三1】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　
A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米
【举一反三2】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　
A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米
【举一反三3】如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为　　
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
【举一反三5】图中的两个滑块，由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块距点20厘米，滑块距点15厘米．问：当滑块向下滑到点时，滑块滑动了多少厘米？
【题型2】勾股定理与路径最短
【典型例题】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为　　
A.12 B.15 C.18 D.21
【举一反三1】将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是　　
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是　　
A. B. C. D.
【举一反三3】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为　　
A.12 B.15 C.18 D.21
【举一反三4】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是　　
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角处有一只蚂蚁要爬到右上角处搬运食物，则它爬行的最短路程为 　　．
【举一反三6】如图，圆柱形容器高为，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为　　（不计壁厚）．
【题型3】数学典籍中的勾股定理
【典型例题】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　　尺．
A.4 B.3.6 C.4.5 D.4.55
【举一反三1】《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为　　
A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.14尺
【举一反三2】在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　 　尺．
【举一反三3】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 　 　．
【举一反三4】《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有 亩（1亩=240平方步）．
【举一反三5】我国古代数学专著《九章算术》有这样一段文字“今有木长一丈，围之四尺，葛生其下，缠木六周，上与木齐，问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树，高为1丈，底面周长为4尺，葛就生长在树下，缠绕了大树6周，顶端与树一样齐，问葛有多长？葛为 　　尺（1丈=10尺）．1.3勾股定理的应用
【题型1】勾股定理与生活实际问题 3
【题型2】勾股定理与路径最短 6
【题型3】数学典籍中的勾股定理 11
【知识点1】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2023秋 新乡期末）如图是一个底面半径为5cm,高为24cm的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　）
A．24cmB．26cmC．28cmD．30cm
【答案】B 【分析】将圆柱沿母线切开得到一个长方形，该长方形的一边为圆柱形花器底面圆的直径，另一边为圆柱形花器高，对角线的长度就是圆柱形花器内所能龙虾的最长花茎的长度，然后根据勾股定理求出对角线的长度即可． 【解答】解：如图所示：AC为圆柱形花器底面圆的直径，BC为圆柱形花器高，

∴线段AB的长度就是圆柱形花器内所能龙虾的最长花茎的长度，
在Rt△ABC中，AC=5×2=10cm,BC=24cm,
由勾股定理得：AB==26（cm）．
答：需预留花茎最长为26cm.
故选：B．
【题型1】勾股定理与生活实际问题
【典型例题】如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行　　
A.26米 B.30米 C.36米 D.40米
【答案】A
【解析】解：建立数学模型，
两棵树的高度差：（米，
间距（米，
根据勾股定理可得：（米，
故选：．
【举一反三1】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　
A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米
【答案】C
【解析】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米．
在中，由勾股定理得到：（米，
故选：．
【举一反三2】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　
A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米
【答案】C
【解析】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米．
在中，由勾股定理得到：（米，
故选：．
【举一反三3】如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，
，
建好桥后从村到村比原来减少的路程为，
故选：．
【举一反三4】如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
【答案】解：（1）是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
（2），
，
．
答：修建的公路的长是．
【举一反三5】图中的两个滑块，由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块距点20厘米，滑块距点15厘米．问：当滑块向下滑到点时，滑块滑动了多少厘米？
【答案】解：由题意得：，
可知连杆的长度等于25厘米．
当滑块向下滑到点时，滑块距点的距离是25厘米，
故滑块滑动了厘米．
【题型2】勾股定理与路径最短
【典型例题】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为　　
A.12 B.15 C.18 D.21
【答案】B
【解析】解：如图所示：
连接，则即为所用的最短细线长，
，，
由勾股定理得：，
则，
故选：．
【举一反三1】将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
此时，
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
所以的取值范围是．
故选：．
【举一反三2】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：展开圆柱，侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即，矩形的宽是圆柱的高．
根据两点之间线段最短，
最短路程是矩形的对角线的长，
即，
故选：．
【举一反三3】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为　　
A.12 B.15 C.18 D.21
【答案】B
【解析】解：如图所示：
连接，则即为所用的最短细线长，
，，
由勾股定理得：，
则，
故选：．
【举一反三4】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：展开圆柱，侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即，矩形的宽是圆柱的高．
根据两点之间线段最短，
最短路程是矩形的对角线的长，
即，
故选：．
【举一反三5】如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角处有一只蚂蚁要爬到右上角处搬运食物，则它爬行的最短路程为 　　．
【答案】．
【解析】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示，
则的长即为它爬行的最短路程，
由勾股定理得，，
它爬行的最短路程为．
故答案为：．
【举一反三6】如图，圆柱形容器高为，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为　　（不计壁厚）．
【答案】13
【解析】解：如图：高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，
，，
将容器侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为．
故答案为：13．
【题型3】数学典籍中的勾股定理
【典型例题】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　　尺．
A.4 B.3.6 C.4.5 D.4.55
【答案】D
【解析】解：如图，由题意得：，尺，尺，
设折断处离地面尺，则尺，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即折断处离地面4.55尺．
故选：．
【举一反三1】《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为　　
A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.14尺
【答案】C
【解析】解：设这根芦苇的长度为尺，
由题意知，尺，尺，尺，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
这根芦苇的长度为13尺，
故选：．
【举一反三2】在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　 　尺．
【答案】14.5．
【解析】解：设秋千的绳索长为尺，
由题意知：尺，尺，尺，
在中，，
，
解得：，
答：绳索长为14.5尺．
故答案为：14.5．
【举一反三3】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 　 　．
【答案】解：设绳索长为尺，可列方程为，
故答案为：
【举一反三4】《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有 亩（1亩=240平方步）．
【答案】2
【解析】解：设该矩形的宽为步，则对角线为步，
由勾股定理，得，
解得
故该矩形的面积（平方步），
480平方步亩．
故答案为：2．
【举一反三5】我国古代数学专著《九章算术》有这样一段文字“今有木长一丈，围之四尺，葛生其下，缠木六周，上与木齐，问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树，高为1丈，底面周长为4尺，葛就生长在树下，缠绕了大树6周，顶端与树一样齐，问葛有多长？葛为 　　尺（1丈=10尺）．
【答案】26．
【解析】解：如图，
由题意可知，（即大树的高）长10尺，的长为（尺，
在中，由勾股定理得：（尺，
即葛为26尺，
故答案为：26．

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