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(共112张PPT)
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.2 空间中的平面与空间向量
探究点一 求平面的法向量
探究点二 利用空间向量证明平行关系
探究点三 利用空间向量证明垂直关系
探究点四 三垂线定理及其逆定理的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量;
2.会用平面的法向量证明有关平行与垂直问题;
3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题.
知识点一 平面的法向量
1.定义：如果 是空间中的一个平面， 是空间中的一个__________，
且表示的有向线段所在的直线与平面 ______，则称为平面 的
一个法向量，此时，也称与平面 垂直，记作 .
非零向量
垂直
2.性质：①如果直线垂直平面 ，则直线 的任意一个方向向量都是
平面 的一个法向量；
②如果是平面 的一个法向量，则对任意的实数 ，空间向量
也是平面 的一个法向量，而且平面 的任意两个法向量都平行；
③如果为平面 的一个法向量，为平面 上一个已知的点，则对
于平面 上任意一点，向量一定与向量垂直，即 ，
从而可知平面 的位置可由和 唯一确定.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若向量，为平面 的法向量，则以这两个向量为方向向
量的直线一定平行.( )
×
（2）如果是平面 的一个法向量，, 平面 ，那么一定有
.( )
√
（3）如果向量,与平面 共面且,，那么就是平面
的一个法向量.( )
×
（4）平面的法向量有无数个，且互相平行.( )
√
知识点二 直线与平面平行、垂直的判定
如图，如果是直线的一个方向向量，是平面 的一个法向量，则
______； ______，或______.
知识点三 两平面平行、垂直的判定
如图,如果，分别是平面，的一个法向量，则
_________； ________，或____________.
与重合
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若两个平面的法向量互相平行，则两个平面平行.( )
×
[解析] 两个平面还可能重合.
（2）若两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.( )
√
（3）已知两个不重合平面的一个法向量分别为,，直线 的一个
方向向量为，若满足且 ，则两个平面垂直.( )
√
知识点四 三垂线定理及其逆定理
（1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的__________在该
平面内的______垂直，则它也和这条______垂直.
（2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的__________和这个平面的
__________垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
一条斜线
射影
斜线
一条直线
一条斜线
探究点一 求平面的法向量
例1（1）已知,,，若平面 的一个法向量
为，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题得,，
若平面 的一个法向量为，
则即 解得所以 .故选C.
（2）已知正方体 的棱长为
2，为棱的中点，以 为坐标原点建立空
间直角坐标系（如图），则平面 的一个
法向量为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可得，， ，
所以，,
设平面 的一个法向量为，
则 即
令，得 ，所以平面的一个法向量为，
所以是平面 的一个法向量.故选C.
变式 ［2024·辽宁铁岭高二期中］如图，四边形 是直角梯形,
, 平面,, ,建立适当
的空间直角坐标系，求平面和平面 的法向量.
解：因为,,两两垂直,所以以 为原点,以
, ,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示,
则,,, ，所以
，， .
易知是平面 的一个法向量.
设平面的法向量为,则
即令，得 ,
故平面的一个法向量为 .
［素养小结］
利用待定系数法求平面的法向量的步骤:
（1）设向量：设平面的一个法向量为.
（2）选向量：在平面内选取两个不共线的向量，.
（3）列方程组：由列出方程组并解方程组.
（4）赋非零值：取其中一个为非零值常取,得到平面的一个法向量.
探究点二 利用空间向量证明平行关系
例2 ［2025·北京六十六中高二期末］如图所示,
在四棱柱中,侧棱 底面
,,, ,
,点,，分别为, ，
的中点.求证:
（1）平面 ;
证明：如图所示,以 为坐标原点建立空间直角
坐标系,依题意可得, ,
,,, .
因为,分别为, 的中点,
所以, .
易知为平面 的一个法向量,,
则 ,
因为直线 平面,所以平面 .
例2 ［2025·北京六十六中高二期末］如图所示,
在四棱柱中,侧棱 底面
,,, ,
,点,，分别为, ，
的中点.求证:
（2）平面平面 .
证明： 因为为的中点,所以 ,则
, .
设平面的法向量为 ,则
即则 ,
令,所以,
因为,所以, 所以平面 平面 .
变式 如图所示，在正方体
中，为底面的中心，是棱 的中点，
设是棱上的点，问：当点 在什么位置
时，平面平面 ？
解：如图所示，以为坐标原点，，，
的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立空间
直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则， ，
，， ，
设，所以， ，
, .
设平面的一个法向量为 ，
则令 ，得，
所以平面 的一个法向量为 .
因为平面平面 ，
所以解得 .
故当为棱的中点时，平面平面 .
［素养小结］
证明线面平行、面面平行的方法：
（1）用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某
一向量是共线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量可以
用平面内两个不共线向量表示；③证明直线的方向向量与平面的法
向量垂直且直线不在平面内.
（2）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
探究点三 利用空间向量证明垂直关系
例3 如图，在正三棱锥 中，三条侧棱两两垂直，是
的重心，，分别为棱， 上的点，且 .
求证：
（1）平面 平面 ；
证明：以三棱锥的顶点为坐标原点，，，
的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立空间直
角坐标系，如图所示.
不妨设，则， ，
，，，， ，
， .
设平面的一个法向量为 ，
则即
令 ，则 .
显然是平面 的一个法向量.
，， 平面 平面 .
（2）， .
证明： ，， ，
， ，
， .
例3 如图，在正三棱锥 中，三条侧棱两两垂直，是
的重心，，分别为棱， 上的点，且 .
求证：
变式 如图①，在边长为4的菱形中， ，
于点，将沿折起到 的位置，形成四棱锥
，使 ，如图②.
①
②
（1）求证： 平面 .
证明：，，，, 平面，
平面 ，又 平面， ，
又，，, 平面 ，
平面 .
①
②
（2）在棱上是否存在一点，使平面 平面 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
①
②
变式 如图①，在边长为4的菱形中， ，
于点，将沿折起到 的位置，形成四棱锥
，使 ，如图②.
解：以为坐标原点，，，的方向分别为，， 轴的正方
向，建立空间直角坐标系，
易知，则，， ，
，， .
设平面的一个法向量为 ，
则
令，则 .
设，则， ，
①
②
设平面的一个法向量为 ，
则令，则 .
假设平面 平面 ，
则，解得 ，
， 在棱上不存在一点，使平面 平面 .
①
②
［素养小结］
（1）用向量法证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面
内的两条相交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的
法向量平行.
（2）证明面面垂直的方法:①利用面面垂直的判定定理转化为线面
垂直、线线垂直去证明；②证明两个平面的法向量互相垂直.
探究点四 三垂线定理及其逆定理的应用
例4 如图，在正方体中，为底面的中心，
为 的中点.
求证： 平面 .
证明：方法一：如图，取，分别为 ，
的中点，连接，，， .
由正方体的性质知为在平面 上的
射影，为在平面 上的射影.
， ，
， .
又，， 平面 ，
平面 .
方法二：如图，连接，，， ，
设正方体的棱长为2，由正方体的性质知 为
在平面 上的射影，
， ，
又 ，
， ，
， ，
又 平面， 平面，且，
平面 .
变式 ［2024·江苏扬州大学附中高一月考］如图
所示，已知四棱锥 的底面是直角梯形，
，，
侧面 底面.求证： .
证明：如图，取的中点，连接交 于点，连接 .
因为，所以 .
又平面 平面，平面 平面
， 平面 ，
所以 平面，所以在平面 内的射影为 .
在直角梯形中，由 ，
易知 ，
所以 ，即 .
由三垂线定理，得 .
［素养小结］
利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本步骤:
（1）确定投影面：平面经过其中一条直线,并且和另一条直线斜交;
（2）确定射影：过斜线上一点找（作）一条直线和这个平面垂直,垂
足和斜足的连线为斜线在这个平面内的射影;
（3）证明：结合图形完成证明.
1.已知为平面 的一个法向量，为直线 的一个方向向量，则“
”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时, 或在平面 内,充分性不成立;
当 时,,必要性成立.
故“”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
2.已知平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量
为，若 ，则 ( )
A. B.2 C.1 D.
[解析] 因为 ，所以 ，所以
，解得 .故选D.
√
3.在空间直角坐标系中，，， ，
则平面 的一个法向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得,，设平面 的一个法
向量为，则取 ，得
.故选A.
√
4.已知平面 经过点，且平面 的一个法向量为 ,
是平面 内任意一点，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 依题意，，因为平面 的一个法向量为
，所以，即 .故选D.
√
5.已知点是平行四边形所在平面外一点， ，
， .给出下列结论：
① ；
② ；
③是平面 的一个法向量.
其中结论正确的是____.（填序号）
①
[解析] ， ，
，故①正确；
，与 不
垂直，故②不正确；
与不垂直，不是平面 的一个法向量，故③不正确.
故填①.
1.对于法向量的认识需要注意以下几点：
（1）一个平面 的法向量不唯一；
（2）平面 的一个法向量一般用非零向量 表示；
（3）若非零向量是平面 的一个法向量，则也是平面 的一
个法向量.
2.三垂线定理刻画的是平面内的一条直线、平面的一条斜线及其在平
面内的射影这三条直线的位置关系，需注意以下几个方面：
（1）三垂线定理及其逆定理中的“平面内”是不可缺少的，否则就不
一定成立，从证明过程可知，只有在平面内的直线与该平面的斜线
在平面内的射影（或该平面的斜线）垂直时，才能保证该直线垂直
于斜线与垂线所在的平面，从而由线面垂直推出线线垂直.
（2）对两个定理应用的选择：从条件上看，定理的条件是“和射影
垂直”，逆定理的条件是“和斜线垂直”；从作用上看，定理的作用是
“已知共面垂直，证明异面垂直”，逆定理的作用是“已知异面垂直，
证明共面垂直”.
（3）三垂线定理及其逆定理的应用是广泛的，可以使问题的解决得
以简化，如确定平面的法向量等.
1.求法向量的关键是转化为空间向量的数量积运算.
2.求平面法向量的三个注意点：
①选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量.
②取特值：在求法向量的坐标时，可令，， 中一个
为特殊值得另两个值，就可得平面的一个法向量.
③注意0：提前假定法向量 的某个坐标为某特殊值时一定
要注意这个坐标不为0.
例1（1）［2025·江苏南通海门中学高二月考］在正方体
中，是的中点，是棱 上一点，且平面
平面，则 ( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 如图，以为坐标原点，,, 的方向
分别为,, 轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则,, , , .
设,，所以, ，
,.
设平面 的一个法向量为，
则
令，得，，则 .
设平面 的一个法向量为，
则
令，则 ，，故 .
由题意得，解得 ，
故 ，故选D.
（2）如图所示，已知四棱锥 的底面是
直角梯形， ，， 平面
，， ，试建立空间
直角坐标系，求平面，平面 的一个法向量．
解： 四棱锥 的底面是直角梯形，
，， 平面 ，
,,两两垂直.以为原点，， ，
的方向分别为,, 轴的正方向，建立空间直
角坐标系，如图所示.
，， ，
，，， ，
显然，平面 的一个法向量为
， ，
设平面的一个法向量为 ，
则取 ，可得,,
故平面 的一个法向量为 ．
3.空间平行关系的解决策略.
几何法 向量法
线面 平行
几何法 向量法
面面 平行
续表
例2（1）（多选题）已知空间中两个正方形与正方形 有
一条公共边,设,分别是, 的中点,则下列结论正确的是
( )
A. B.平面
C. D., 异面
√
√
√
[解析] 如图所示,连接,易知与 的交点为,
设,, ,则
则 , 所以 ,故A正确;
, 故 ,
又 平面, 平面,所以平面 ,故B，C正确,
D不正确.故选 .
且
,
（2）如图，在正方体 中，
，分别为， 的中点，则( )
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面
√
[解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，， ，
，，， ，
，， .
设平面的一个法向量为，
因为 ， ，所以
取 ，可得 .设平面的一个法向量为 ，
因为， ，所以
取 ，则 .
对于A选项， ，故A错误；
对于B选项，，则，
又 平面，所以平面 ，故B正确；
对于C选项， ，故C错误；
对于D选项，，则 ，故D错误.故选B.
4.空间垂直关系的解决策略.
几何法 向量法
线面 垂直 （1）证明直线的方向向量
分别与平面内两条相交直
线的方向向量垂直；
（2）证明直线的方向向量
与平面的法向量是平行向
量
几何法 向量法
面面 垂直 证明两个平面的法向量互
相垂直
续表
例3 如图，四棱锥中， 平面
，四边形 是正方形，
，，分别是， 的中
点．求证：平面 平面 .
证明： 平面，， ，
，两两垂直.如图所示，以为原点， ，
，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立
空间直角坐标系，
可得，，， ，
，， ，
， .
设是平面 的一个法向量，
可得
取，得， ，
是平面 的一个法向量.
同理可得是平面 的一个法向量.
， ，
即平面的法向量与平面 的法向量互相垂直，
故平面 平面 .
练习册
一、选择题
1.已知平面 的一个法向量为，点 在平面
内，若点在平面 内，则 的值为( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 由题意，，
因为平面 的一个法向量为，所以 ，
所以，解得 .故选A.
√
2.下列说法中正确的是( )
A.如果直线与平面 外的一条直线在平面 内的射影垂直，则
B.如果直线与平面 外的一条直线垂直，则与在平面 内的射
影垂直
C.如果向量与直线在平面 内的射影垂直，则
D.如果非零向量和平面 平行，且和直线垂直，直线不与平面
垂直，则垂直于在平面 内的射影
[解析] 由三垂线定理的逆定理知D正确.
√
3.在空间直角坐标系中，，，，则，，
三点所在平面的一个法向量的坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知,，设平面 的一个
法向量为，则即
令 ，则 .故选B.
√
4.［2025·北京海淀区高二期中］已知不重合的平面 与平面 ，
若平面 的一个法向量为， ，
，则( )
A.平面平面
B.平面 平面
C.平面 、平面 相交但不垂直
D.以上均有可能
√
[解析] 设平面的一个法向量为 ，则
令，可得， ,
故.
易知向量,既不垂直也不平行，
所以平面 、平面 相交但不垂直.故选C.
5.如图所示，已知 平面，且为
的垂心，则与 的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定
[解析] 连接并延长，交于,为的垂心， .
又为在平面内的射影， 由三垂线定理知 .
√
6.［2024·湖北武汉华中师范大学第一附属中学高二月考］在正方体
中，，，分别是，， 的中点，
则( )
A.平面 B.平面
C. 平面 D. 平面
√
[解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐
标系，设正方体的棱长为2，取,, 的中点
分别为,,，则平面即为平面 ,故
与平面相交，故A错误.
, ,,,, ,
,则,, ,因为
,，所以是平面 的一个法
向量，故 平面，故D正确.
由正方体的性质可得与 不平行，所以
不垂直于平面 ，故C错误.
，因为 ，
所以与不垂直，故 与平面
不平行，故B错误. 故选D.
7.如图所示,在正方体中, 是
的中点,点在棱上，且 ,若
平面，则 ( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 如图所示,以为坐标原点,,, 的方向
分别为轴、轴、 轴的正方向,建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则, ,
,,,所以 ,
.
设是平面 的一个法向量,
则即
取 , 得平面的一个法向量为 .
设,因为 ,所以
,所以 ,
易知，所以,故，
又 , 所以.
因为平面 ,所以,
即,解得 .故选C.
8.（多选题）给出下列命题，其中是真命题的是( )
A.若直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为
，则
B.若平面 ， 的一个法向量分别为， ，
则
C.若平面 经过，， 三点，向量
是平面 的一个法向量，则
D.已知，，若点是点关于平面 的对称点，
则与两点间的距离为
√
√
√
[解析] 对于A， 不存在实数 ，使得，与 不共线，故
A是假命题；
对于B，， ，故B是真命题；
对于C，， ，
向量是平面 的一个法向量， ，
，，，解得 ，
，，故C是真命题；
对于D， 点是点 关于平面的对称点，，
与 两点间的距离为，
故D是真命题.故选 .
9.（多选题）在长方体中， ，
，，，分别是，， 上的动点，则下列
结论正确的是( )
A.对于任意给定的点，存在点使得
B.对于任意给定的点，存在点使得
C.当时，
D.当时，与平面 的法向量垂直
√
√
√
[解析] 如图所示，以为原点，以 ，
，的方向分别为轴、轴、 轴
的正方向，建立空间直角坐标系，则
，， ，
，，，， ，
设，，，，设 ，
，得， ，
，，当时， ，故A正确；
， ，
当时，，故B正确；
若，则
，解得 ，此时 ，故C错误；
若 ，则， ，又，，
设平面 的一个法向量为，则
即取 ，则，，
所以平面的一个法向量为 ，
则，故D正确.故选 .
二、填空题
10.［2024·黑龙江哈尔滨六中高二月考］在空间直角坐标系中，平面
与平面 的一个法向量分别为， ，若
，则直线 的一个方向向量为________________________
（写出一个方向向量的坐标即可）.
（答案不唯一）
[解析] 设直线的方向向量为，依题意可知 所以
令，则，，所以
（答案不唯一）.
11.已知直线的一个方向向量为，直线 的一个方向
向量为，平面 的一个法向量为 ，
， ，则 ， ， 的值依次为___________.
2，4，
[解析] 因为，所以，所以 ，
即，解得.
因为 ，所以 ，所以，即，
所以 解得
故 ， ， 的值依次为2，4， .
12.已知点，，， ，若在平面
内存在点，使得 平面，则点 的坐标是________.
[解析] 设点的坐标为，平面 的一个法向量为
.因为，，， ，所以
，， ，.
因为 平面，所以 ，，
所以即 .
因为 所以令，则.
由 ，得.
由①②可得，，，，故点 的坐标为 .
三、解答题
13.（13分）［2025·广东佛山高二期末］ 如图，在棱长为2的正方体
中，为棱的中点，为棱 上一点.请用向量
方法解决以下问题：
（1）证明：直线 平面 .
证明：在棱长为2的正方体 中，
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,, , ，
所以,, ，
则, ，
即,，
又 ,, 平面 ，
所以直线 平面 .
（2）是否存在点，使直线平面
若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由.
解：由（1）知, ，
设平面的一个法向量为 ，
则取 ，得 .
13.（13分）［2025·广东佛山高二期末］ 如图，在棱长为2的正方体
中，为棱的中点，为棱 上一点.请用向量
方法解决以下问题：
假设存在点，使直线平面，设点
的坐标为 , ，则，
由 ，得，解得 ，
而 平面，所以平面 ，
所以存在点，使直线平面 ，此时 .
14.（15分）如图，在直三棱柱中， ,
,,，垂足为，点为线段 上的一点.
（1）若为线段的中点，证明： 平面 ；
证明：连接，则 ， .
,为 的中点，又为的中点， ，
又， ，又 平面, 平面 ，
平面 .
（2）若平面 平面，求 的值.
14.（15分）如图，在直三棱柱中， ,
,,，垂足为，点为线段 上的一点.
解：以为坐标原点，，， 的方向分
别为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，,, ,
，所以, , ，
设, ，
则,所以 .
设平面的一个法向量为 ，
则即
取，得 .
设平面的一个法向量为 ，
则即
取 ，得, , .
平面 平面 ，，解得 ，
当平面 平面时， .
15.如图，在正方体中，， ，
则下列说法不正确的是( )
A.若平面平面，则
B.若平面 平面，则
C.的面积最大时，
D.的面积最小时，
√
[解析] 设为的中点，连接.以点 为坐标
原点，，，的方向分别为轴、轴、 轴
正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，， ，
，，，， ，所以
，，所以 ，
所以，，线段
的中点为，则 ，
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
则
取 ，则 .
对于A，设平面的一个法向量为 ，因为
， ，所以
取 ，可得，若平面平面 ，则 ，
则，解得 ，故A中说法正确；
对于B，设平面的一个法向量为 ，
因为， ，
所以 取 ，可得，
若平面 平面 ， 则，即 ，解得 ，故B中说法正确；
对于C，D，，则 ，
故 ，
因为，，所以当时， 取得最小值，则的面积最小，故D中说法错误，
当 时，取得最大值，则 的面积最大，故C中说法正确.
故选D.
16.（15分）在如图所示的几何体中，面
为正方形，面为等腰梯形，且 ，
， ， .
（1）求证： 平面 .
证明：， ，
在 中，由余弦定理可得
，
， ， ，
又，， 平面 .
（2）棱上是否存在点，使平面 平面 ？证明你的结论.
16.（15分）在如图所示的几何体中，面
为正方形，面为等腰梯形，且 ，
， ， .
解：棱上不存在点，使平面 平面 .证明如下：
因为 平面， 平面，所以 .
因为，，所以 平面，
所以 ，， 两两垂直. 以为原点，,,的
方向分别为,, 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
在等腰梯形中，可得 .设，则，，
， ， ，所以，
， .
设平面的一个法向量为，则
即取，得 .
不妨设 ，所以 .
设平面的一个法向量为，则
即取，得 .
要使平面 平面，只需 ，
即，此方程无解，
所以棱上不存在点 ，使平面 平面 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.非零向量 垂直 【诊断分析】（1）×（2）√（3）×（4）√
知识点二 知识点三 m> 与重合
【诊断分析】（1）× （2）√ （3）√
知识点四 （1）一条斜线 射影 斜线 （2）一条直线 一条斜线
课中探究
例1（1）C （2）C
变式 是平面的一个法向量，平面的一个法向量为
例2 证明略 变式 当为棱的中点时，平面平面
例3 证明略 变式（1）证明略
（2）在棱上不存在一点，使平面 平面
例4 证明略 变式 证明略
课堂评价 1.B 2.D 3.A 4.D 5.①
快速核答案（练习册）
一、选择题
1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.C 8.BCD 9.ABD
二、填空题
10.（答案不唯一） 11.2，4， 12.
三、解答题
13.（1）证明略（2）存在点，使直线平面，此时
14.（1）证明略（2）m>思维探索
15.D 16.（1）证明略（2）棱上不存在点，使平面 平面.证明略1.2.2　空间中的平面与空间向量
【课前预习】
知识点一
1.非零向量　垂直
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
知识点二
l⊥α　l∥α　l α
知识点三
α1⊥α2　α1∥α2　α1与α2重合
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)两个平面还可能重合.
知识点四
(1)一条斜线　射影　斜线　(2)一条直线　一条斜线
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)由题得=(-1,-1,1),=(2,-1,0),若平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),则即解得所以n=.故选C.
(2)由题意可得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0),所以=(0,2,1),=(2,0,0),设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z),则即令y=1,得m=(0,1,-2),所以平面ABE的一个法向量为m=(0,1,-2),所以2m=(0,2,-4)是平面ABE的一个法向量.故选C.
变式　解:因为AD,AB,AS两两垂直,所以以A为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),所以=(1,0,0),=(1,2,0),=(-1,0,2).
易知=(1,0,0)是平面SAB的一个法向量.
设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),则即令x=2,得n=(2,-1,1),
故平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1).
探究点二
例2　证明:如图所示,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2),C1(2,0,2).
因为M,N分别为B1C,D1D的中点,所以M,N(1,-2,1).
(1)易知n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,=,则·n=0,因为直线MN 平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.
(2)因为P为CC1的中点,所以P(2,0,1),则=,=(-1,-2,0).
设平面PMN的法向量为m=(x,y,z),则即则x=y=0,令z=2,所以m=(0,0,2),因为m=2n,所以m∥n,所以平面PMN∥平面ABCD.
变式　解:如图所示,以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),
设Q(0,1,t)(0≤t≤1),所以=,=,=(-1,-1,1),=(-1,0,t).
设平面PAO的一个法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,得n=(1,1,2),所以平面PAO的一个法向量为n=(1,1,2).
因为平面D1BQ∥平面PAO,
所以解得t=.
故当Q为棱CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
探究点三
例3　证明:(1)以三棱锥的顶点P为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设PA=PB=PC=3,则P(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),∴=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).
设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),
则即令y=1,则n=(0,1,-1).
显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.
∵n·=0,∴n⊥,∴平面EFG⊥平面PBC.
(2)∵=(1,-1,-1),=(0,-3,3),=(1,1,0),
∴·=3-3=0,·=1-1=0,
∴EG⊥BC,PG⊥EG.
变式　解:(1)证明:∵DE⊥DC,A1D⊥DC,A1D∩DE=D,A1D,DE 平面A1DE,∴DC⊥平面A1DE,
又A1E 平面A1DE,∴DC⊥A1E,
又A1E⊥DE,DC∩DE=D,DC,DE 平面BCDE,
∴A1E⊥平面BCDE.
(2)以E为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
易知DE=2,则A1(0,0,2),B(2,0,0),C(4,2,0),D(0,2,0), ∴=(-2,0,2),=(2,2,0).
设平面A1BC的一个法向量为m=(x,y,z),
则
令x=-,则m=(-,1,-).
设P(t,0,0)(0≤t≤2),则=(t,0,-2),=(0,2,-2),
设平面A1DP的一个法向量为n=(a,b,c),
则令a=2,则n=.
假设平面A1DP⊥平面A1 BC,
则n·m=-2+-t=0,解得t=-3,
∵0≤t≤2,∴在棱EB上不存在一点P,使平面A1DP⊥平面A1BC.
探究点四
例4　证明:方法一:如图,取F,G分别为DD1,AD的中点,连接EF,FG,GO,AC.
由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1上的射影,OC为OE在平面ABCD上的射影.
∵A1D⊥FG,∴A1D⊥EO,∵OC⊥BD,∴EO⊥BD.
又A1D∩BD=D,A1D,BD 平面A1DB,∴EO⊥平面A1DB.
方法二:如图,连接A1O,A1E,A1C1,AC,设正方体的棱长为2,由正方体的性质知OC为OE在平面ABCD上的射影,
∵OC⊥BD,∴BD⊥EO,又EO2=()2+12=3,A1O2=22+()2=6,A1E2=(2)2+12=9,
∴A1E2=EO2+A1O2,∴A1O⊥EO,
又A1O 平面A1DB,BD 平面A1DB,且A1O∩BD=O,∴EO⊥平面A1DB.
变式　证明:如图,取BC的中点O,连接AO交BD于点E,连接PO.
因为PB=PC,所以PO⊥BC.
又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO 平面PBC,
所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD内的射影为AO.
在直角梯形ABCD中,由AB=BC=2CD,
易知Rt△ABO≌Rt△BCD,所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,即AO⊥BD.
由三垂线定理,得PA⊥BD.
【课堂评价】
1.B　[解析] 当a⊥n时,l∥α或l在平面α内,充分性不成立;当l∥α时,a⊥n,必要性成立.故“a⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B.
2.D　[解析] 因为α⊥β,所以a⊥b,所以3×(-1)+1×1+(-2)×k=0,解得k=-1.故选D.
3.A　[解析] 由题得=(2,2,-2),=(3,3,-2),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,-1,0).故选A.
4.D　[解析] 依题意,=(x,y-1,z-2),因为平面α的一个法向量为(-2,1,-1),所以(x,y-1,z-2)·(-2,1,-1)=-2x+y-1-(z-2)=-2x+y-z+1=0,即2x-y+z=1.故选D.
5.①　[解析] ∵·=2×4+2×(-4)+2×0=0,∴⊥,∴AP⊥AB,故①正确;∵·=2×(-1)+2×0+2×(-1)=-4≠0,∴与不垂直,故②不正确;∵与不垂直,∴不是平面ABCD的一个法向量,故③不正确.故填①.1.2.2　空间中的平面与空间向量
1.A　[解析] 由题意,=(m+1,3,2-m),因为平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以n⊥,所以n·=-2×(m+1)-2×3+2-m=0,解得m=-2.故选A.
2.D　[解析] 由三垂线定理的逆定理知D正确.
3.B　[解析] 由题知=(-1,-2,1),=(1,-1,2),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-1,-1).故选B.
4.C　[解析] 设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,z),则令x=2,可得z=1,y=-3,故m=(2,-3,1).易知向量m,n既不垂直也不平行,所以平面α、平面ABC相交但不垂直.故选C.
5.B　[解析] 连接CO并延长,交AB于D,∵O为△ABC的垂心,∴CD⊥AB.又OC为PC在平面ABC内的射影,∴由三垂线定理知AB⊥PC.
6.D　[解析] 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,取CC1,BC,AB的中点分别为M,N,Q,则平面EFG即为平面EGFMNQ,故AB与平面EGFMNQ相交,故A错误.E(2,0,1),G(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),则=(-1,0,1),=(-2,1,1),=(2,2,2),因为·=0,·=0,所以=(2,2,2)是平面EFG的一个法向量,故B1D⊥平面EFG,故D正确.由正方体的性质可得B1C与B1D不平行,所以B1C不垂直于平面EFG,故C错误.=(-2,2,-2),因为·=-4≠0,所以=(-2,2,-2)与不垂直,故A1C与平面EFG不平行,故B错误.故选D.
7.C　[解析] 如图所示,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,0,0),E,A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),所以=(-1,0,1),=.设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量,则即取z=2,得平面A1BE的一个法向量为n=(2,1,2).设F(a,1,1)(0≤a≤1),因为=λ,所以(a-1,0,0)=λ(-a,0,0),所以a-1=-aλ,易知λ≠-1,所以a=,故F,又B1(1,0,1),所以=.因为B1F∥平面A1BE,所以·n=0,即2+1=0,解得λ=1.故选C.
8.BCD　[解析] 对于A,∵不存在实数λ,使得a=λn,∴a与n不共线,故A是假命题;对于B,∵n1·n2=0+6-6=0,∴n1⊥n2,∴α⊥β,故B是真命题;对于C,=(-1,1,1),=(-2,2,1),∵向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,∴n·=0,n·=0,∴-1+u+t=0,-2+2u+t=0,解得u=1,t=0,∴u+t=1,故C是真命题;对于D,∵点C是点A关于平面yOz的对称点,∴C(-1,2,3),∴B与C两点间的距离为=,故D是真命题.故选BCD.
9.ABD　[解析] 如图所示,以D为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系
则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),=(-2,2,-2),设P(2,a,0),a∈[0,2],Q(2,2,b),b∈[0,2],设=λ,λ∈[0,1],得R(2-2λ,2λ,2-2λ),=(2,a,-2),=(2,0,b),·=4-2b,当b=2时,D1P⊥CQ,故A正确;=(2-2λ,2λ,-2λ),·=2(2-2λ)-2λb,当λ=时,D1R⊥CQ,故B正确;若AR⊥A1C,则·=(-2λ,2λ,2-2λ)·(-2,2,-2)=4λ+12λ-4+4λ=0,解得λ=,此时·=·=-≠0,故C错误;若A1C=3A1R,则R,=,又=(-2,-2,0),=(0,2,2),设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),则即取x=,则y=-1,z=,所以平面BDC1的一个法向量为n=(,-1,),则·n=0,故D正确.故选ABD.
10.(答案不唯一)　[解析] 设直线l的方向向量为d=(x,y,z),依题意可知所以令y=1,则z=-2,x=,所以d=(答案不唯一).
11.2,4,-10　 [解析] 因为m⊥n,所以m⊥n,所以m·n=0,即-2×1+4×(-2)+5λ=0,解得λ=2.因为n⊥α,所以k∥n,所以k=tn,即(μ,-8,γ)=t(-2,4,5),所以解得故λ,μ,γ的值依次为2,4,-10.
12.　[解析] 设点E的坐标为(x0,y0,z0),平面AB1D1的一个法向量为n=(x1,y1,z1).因为A(1,0,0),B1(1,1,2),D1(0,0,2),C(0,1,0),所以=(0,1,2),=(-1,0,2),=(x0,y0-1,z0),=(x0-1,y0,z0).因为CE⊥平面AB1D1,所以CE⊥AB1,CE⊥AD1,所以即①.因为
所以令z1=1,则n=(2,-2,1).由·n=0,得2x0-2y0+z0=2②.由①②可得,x0=,y0=,z0=,故点E的坐标为.
13.解:(1)证明:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2),E(2,1,0),
所以=(2,0,2),=(0,2,0),=(2,1,-2),则·=0,·=0,
即AB1⊥A1D1,AB1⊥A1E,又A1D1∩A1E=A1,A1D1,A1E 平面A1ED1,
所以直线AB1⊥平面A1ED1.
(2)由(1)知=(2,2,0),=(0,1,2),设平面A1EC1的一个法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,得n=(2,-2,1).
假设存在点F,使直线D1F∥平面A1EC1,设点F的坐标为(t,2,0),0≤t≤2,
则=(-t,0,2),由⊥n,得n·=-2t+2=0,解得t=1,
而D1F 平面A1EC1,所以D1F∥平面A1EC1,
所以存在点F,使直线D1F∥平面A1EC1,此时DF=1.
14.解:(1)证明:连接AC1,则AC1==4,∴AC1=AB.∵AD⊥BC1,∴D为BC1的中点,
又E为A1B的中点,∴DE∥A1C1,又AC∥A1C1,∴DE∥AC,
又DE 平面ABC,AC 平面ABC,∴DE∥平面ABC.
(2)以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C1(2,0,2),A1(0,0,2),B(0,4,0),D(1,2,),所以=(2,0,0),=(0,4,-2),=(1,2,),
设=λ=(0,4λ,-2λ),0≤λ≤1,
则E(0,4λ,2-2λ),所以=(0,4λ,2-2λ).
设平面A1BC1的一个法向量为n=(x1,y1,z1),
则即
取z1=2,得n=(0,,2).
设平面ADE的一个法向量为m=(x2,y2,z2),
则即取z2=-2λ,得m=(4λ-2,-λ,-2λ).
∵平面ADE⊥平面A1BC1,∴n·m=3-3λ-4λ=0,解得λ=,
∴当平面ADE⊥平面A1BC1时,=.
15.D　[解析] 设O为AD1的中点,连接OM.以点D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
设AB=1,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),D(0,0,0),D1(0,0,1),所以=(0,0,1),=(-1,1,-1),所以=λ=(-λ,λ,-λ),所以=+=(-λ,λ,1-λ),=(-1,0,1),线段AD1的中点为O,则=,所以=-=.设平面AD1M的一个法向量为n=(x,y,z),则
取x=λ,则n=(λ,2λ-1,λ).对于A,设平面BC1D的一个法向量为u=(x1,y1,z1),因为=(1,1,0),=(0,1,1),所以取x1=1,可得u=(1,-1,1),若平面AMD1∥平面BC1D,则n∥u,则==,解得λ=,故A中说法正确;对于B,设平面B1CD1的一个法向量为v=(x2,y2,z2),因为=(1,0,1),=(0,-1,1),所以取x2=1,可得v=(1,-1,-1),若平面AMD1⊥平面B1CD1,则n⊥v,即n·v=λ-(2λ-1)-λ=1-2λ=0,解得λ=,故B中说法正确;对于C,D,·=λ-+-λ=0,则OM⊥AD1,故=·||·||=||,因为||===,λ∈[0,1],所以当λ=时,||取得最小值,则△AMD1的面积最小,故D中说法错误,当λ=1时,||取得最大值,则△AMD1的面积最大,故C中说法正确.故选D.
16.解:(1)证明:∵AB=2BC,∠ABC=60°,
∴在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3BC2,
∴AC2+BC2=4BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC,
又AC⊥FB,FB∩BC=B,∴AC⊥平面FBC.
(2)棱ED上不存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC.证明如下:
因为AC⊥平面FBC,FC 平面FBC,所以AC⊥FC.
因为CD⊥FC,AC∩CD=C,所以FC⊥平面ABCD,所以CA,CF,CB两两垂直.
以C为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
在等腰梯形ABCD中,可得CB=CD.
设BC=1,则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),D,E,
所以=,=(,0,0),=(0,1,0).
设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z),则
即取z=1,得n=(0,2,1).不妨设Q(0≤t≤1),
所以=.设平面QBC的一个法向量为m=(a,b,c),则
即取c=1,得m=.
要使平面EAC⊥平面QBC,只需m·n=0,即-×0+0×2+1×1=0,此方程无解,所以棱ED上不存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC.1.2.2　空间中的平面与空间向量
【学习目标】
1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量;
2.会用平面的法向量证明有关平行与垂直问题;
3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题.
◆ 知识点一　平面的法向量
1.定义:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个　　　　　　,且表示n的有向线段所在的直线与平面α　　　　,则称n为平面α的一个法向量,此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α.
2.性质:①如果直线l垂直平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量;
②如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量都平行;
③如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量一定与向量n垂直,即n·=0,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量n1,n2为平面α的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.(　 )
(2)如果n是平面α的一个法向量,A,B∈平面α,那么一定有n⊥. (　 )
(3)如果向量a,b与平面α共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量 (　 )
(4)平面的法向量有无数个,且互相平行. (　 )
◆ 知识点二　直线与平面平行、垂直的判定
如图,如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v 　　　　;n⊥v 　　　　,或　　　　.
◆ 知识点三　两平面平行、垂直的判定
如图,如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,则n1⊥n2 　　　　;n1∥n2 　　　　,或　　　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两个平面的法向量互相平行,则两个平面平行. (　 )
(2)若两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. (　 )
(3)已知两个不重合平面的一个法向量分别为n1,n2,直线l的一个方向向量为v,若满足n1∥v且n2·v=0,则两个平面垂直. (　 )
◆ 知识点四　三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的　　　　　　在该平面内的　　　　垂直,则它也和这条　　　　垂直.
(2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的　　　　　和这个平面的　　　　　　垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
◆ 探究点一　求平面的法向量
例1 (1)已知A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1),若平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),则n=(　 )
A. B. C. D.
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),则平面ABE的一个法向量为 (　 )
A.(1,0,-2) B.(0,1,2)
C.(0,2,-4) D.(-2,1,4)
变式 [2024·辽宁铁岭高二期中] 如图,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD和平面SAB的法向量.
[素养小结]
利用待定系数法求平面的法向量的步骤:
(1)设向量:设平面的一个法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两个不共线的向量,.
(3)列方程组:由列出方程组并解方程组.
(4)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1),得到平面的一个法向量.
◆ 探究点二　利用空间向量证明平行关系
例2 [2025·北京六十六中高二期末] 如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,点P,M,N分别为CC1,B1C,D1D的中点.求证:
(1)MN∥平面ABCD;
(2)平面PMN∥平面ABCD.
变式 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是棱DD1的中点,设Q是棱CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO
[素养小结]
证明线面平行、面面平行的方法:
(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.
◆ 探究点三　利用空间向量证明垂直关系
例3 如图,在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为棱BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证:
(1)平面EFG⊥平面PBC;
(2)EG⊥BC,PG⊥EG.
变式 如图①,在边长为4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,形成四棱锥A1-BCDE,使A1D⊥DC,如图②.
(1)求证:A1E⊥平面BCDE.
(2)在棱EB上是否存在一点P,使平面A1DP⊥平面A1BC 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
① ②
[素养小结]
(1)用向量法证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
(2)证明面面垂直的方法:①利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明;②证明两个平面的法向量互相垂直.
◆ 探究点四　三垂线定理及其逆定理的应用
例4 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E为CC1的中点.
求证:EO⊥平面A1DB.
变式 [2024·江苏扬州大学附中高一月考] 如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
[素养小结]
利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本步骤:
(1)确定投影面:平面经过其中一条直线,并且和另一条直线斜交;
(2)确定射影:过斜线上一点找(作)一条直线和这个平面垂直,垂足和斜足的连线为斜线在这个平面内的射影;
(3)证明:结合图形完成证明.
1.已知n为平面α的一个法向量,a为直线l的一个方向向量,则“a⊥n”是“l∥α”的(　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知平面α的一个法向量为a=(3,1,-2),平面β的一个法向量为b=(-1,1,k),若α⊥β,则k= (　 )
A.-2 B.2
C.1 D.-1
3.在空间直角坐标系Oxyz中,A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(2,3,-2),则平面ABC的一个法向量为(　 )
A.(1,-1,0) B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1) D.(0,1,1)
4.已知平面α经过点A(0,1,2),且平面α的一个法向量为(-2,1,-1),P(x,y,z)是平面α内任意一点,则 (　 )
A.x+y-z=0 B.x+y-z=-1
C.2x-y+z=0 D.2x-y+z=1
5.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,=(4,-4,0),=(-1,0,-1),=(2,2,2).给出下列结论:
①AP⊥AB;
②AP⊥AD;
③是平面ABCD的一个法向量.
其中结论正确的是　　　　.(填序号) 1.2.2　空间中的平面与空间向量
一、选择题
1.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,-3,0)在平面α内,若点B(m,0,2-m)在平面α内,则m的值为 (　 )
A.-2 B.0 C.1 D.2
2.下列说法中正确的是 (　 )
A.如果直线l与平面α外的一条直线l'在平面α内的射影垂直,则l⊥l'
B.如果直线l与平面α外的一条直线l'垂直,则l与l'在平面α内的射影垂直
C.如果向量a与直线l在平面α内的射影垂直,则a⊥l
D.如果非零向量a和平面α平行,且和直线l垂直,直线l不与平面α垂直,则a垂直于l在平面α内的射影
3.在空间直角坐标系中,A(1,2,1),B(0,0,2),C(2,1,3),则A,B,C三点所在平面的一个法向量的坐标是 (　 )
A.(1,1,-1) B.(1,-1,-1)
C.(2,1,-1) D.(2,-1,-1)
4.[2025·北京海淀区高二期中] 已知不重合的平面α与平面ABC,若平面α的一个法向量为n=(-3,-1,2),=(1,0,-2),=(1,1,1),则 (　 )
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α、平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
5.如图所示,已知PO⊥平面ABC,且O为△ABC的垂心,则AB与PC的位置关系是(　 )
A.平行 B.垂直
C.相交 D.不确定
6.[2024·湖北武汉华中师范大学第一附属中学高二月考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1A,C1D1,A1D1的中点,则 (　 )
A.AB∥平面EFG B.A1C∥平面EFG
C.B1C⊥平面EFG D.B1D⊥平面EFG
7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,点F在棱C1D1上,且=λ,若B1F∥平面A1BE,则λ= (　 )
A. B. C.1 D.
8.(多选题)给出下列命题,其中是真命题的是(　 )
A.若直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α
B.若平面α,β的一个法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,6,-2),则α⊥β
C.若平面α经过A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0)三点,向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1
D.已知A(1,2,3),B(1,-1,4),若点C是点A关于平面yOz的对称点,则B与C两点间的距离为
9.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=2,P,Q,R分别是AB,BB1,A1C上的动点,则下列结论正确的是 (　 )
A.对于任意给定的点P,存在点Q使得D1P⊥CQ
B.对于任意给定的点Q,存在点R使得D1R⊥CQ
C.当AR⊥A1C时,AR⊥D1R
D.当A1C=3A1R时,D1R与平面BDC1的法向量垂直
二、填空题
10.[2024·黑龙江哈尔滨六中高二月考] 在空间直角坐标系中,平面α与平面β的一个法向量分别为n1=(2,1,1),n2=(0,2,1),若α∩β=l,则直线l的一个方向向量为　　　　(写出一个方向向量的坐标即可).
11.已知直线m的一个方向向量为m=(1,-2,λ),直线n的一个方向向量为n=(-2,4,5),平面α的一个法向量为k=(μ,-8,γ),m⊥n,n⊥α,则λ,μ,γ的值依次为　　　　　　.
12.已知点A(1,0,0),B1(1,1,2),D1(0,0,2),C(0,1,0),若在平面AB1D1内存在点E,使得CE⊥平面AB1D1,则点E的坐标是　　　　.
三、解答题
13.(13分)[2025·广东佛山高二期末] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BC的中点,F为棱CD上一点.请用向量方法解决以下问题:
(1)证明:直线AB1⊥平面A1ED1.
(2)是否存在点F,使直线D1F∥平面A1EC1 若存在,求出DF的长度;若不存在,请说明理由.
14.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AC=4,AA1=2,AB⊥AC,AD⊥BC1,垂足为D,点E为线段A1B上的一点.
(1)若E为线段A1B的中点,证明:DE∥平面ABC;
(2)若平面ADE⊥平面A1BC1,求的值.
15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=λ,λ∈[0,1],则下列说法不正确的是(　 )
A.若平面AMD1∥平面BC1D,则λ=
B.若平面AMD1⊥平面B1CD1,则λ=
C.△AMD1的面积最大时,λ=1
D.△AMD1的面积最小时,λ=
16.(15分)在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,面ABCD为等腰梯形,且AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB.
(1)求证:AC⊥平面FBC.
(2)棱ED上是否存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC 证明你的结论.

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