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章节巩固练2 有理数的运算
时间：60分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共60分）
1．（2024·广东·中考真题）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东清远·三模）的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．
4．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）已知，则在数轴上与a的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·广东广州·期末）据统计，2024年前三季度广州市国民生产总值为亿元，用四舍五入法对数据精确到十分位是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）有理数a，b在数轴上的位置如题图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级上·广东深圳·期末）某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为，记录装载卸载货物的数据如下：，，，，，（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：）．模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·广东佛山·期末）若a是最小的正整数，b是最大的负整数，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
10．（24-25七年级上·广东东莞·期中）已知，则的值为（ ）
A．25 B． C．10 D．
11．（24-25七年级上·广东广州·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·广东深圳·三模）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　）
转账——来自小明 微信红包——发给小红
A． B． C． D．
13．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如果在数轴上点表示，那么在数轴上与点距离个单位长度的点所表示的数是（ ）
A． B．和 C．和 D．
14．（24-25七年级上·广东中山·期末）若，， 且，则的值是（ ）
A． B．15 C．1或15 D．或
15．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果应是（　　）
A． B． C． D．
16．（23-24七年级上·广东东莞·期中）现规定一种运算“*”：，如，则（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25七年级上·广东佛山·期末）从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）数轴上点表示的数是，点与点在数轴上相距4个单位长度．则点表示的数是（ ）
A． B．1 C．或1 D．或7
19．（24-25七年级下·广东佛山·期末）设，，则选项中最接近的整数为（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（ ）个
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
21．（24-25七年级上·广东深圳·期末）“一个数与相加，和是负数”，请写出一个满足上述条件的数： ．
22．（24-25七年级上·广东广州·期末）某地区的气温受冷空气的影响产生变化，当天早上的气温是，中午的气温升高，晚上的气温又降低了，则晚上的气温为 ．
23．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ．
24．（23-24七年级上·广东东莞·期中）已知点A，B，C是数轴上的三个点，点A，B表示的数分别是1，3，若，则点C表示的数是 ．
25．（24-25七年级上·广东湛江·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数应为：；，则将换算成十进制数的结果是 ．
三、解答题（共45分）
26．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习，12分）计算，能用简便方法用简便方法计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
27．（24-25七年级上·广东广州·期末，8分）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了千米到达小明家，继续走了千米到达小红家，又向西走了千米到达小刚家，最后回到百货大楼．
(1)以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置．
(2)小明家与小刚家相距多远？
(3)若货车每千米耗油升，那么这辆货车共耗油多少升？
28．（23-24七年级上·广东东莞·期中，8分）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（） 0
(1)这7天里路程最多的一天比最少的一多走_________．
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.5元，请估计小明家这7天的行驶费用是多少钱？
29．（24-25七年级上·广东深圳·期末，8分）【定义】有理数的“加乘”运算，记作．
有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0．
例如：；；；；；
【应用】
（1） ； ； ．
（2）计算：．
【拓展】
（3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明．
30．（24-25七年级上·广东深圳·期中，9分）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值．
【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为．
“破浪”小组是这样思考的：设，
将等式两边同时乘以得：，
将上式减去下式得，即，即．
【过程思考】
(1)图1中阴影部分的面积是 ，= ．
(2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可）
(3)根据以上规律，
① ．（为正整数）
② ．（为正整数）
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B B A D A A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 A B B D B A C C B B
1．B
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的加法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
2．D
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解．
【详解】解：3000亿．
故选：D．
3．C
【知识点】有理数加法运算、倒数
【分析】本题考查了有理数的加减，倒数的定义．先计算，再利用“乘积为的两个数互为倒数”求解即可．
【详解】解：∵，，
∴的倒数是．
故选：C．
4．C
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法计算是解题的关键．根据有理数加法的计算得出结论即可．
【详解】解：由题意知，白色列数表示正数，黑色列数表示负数，
图2表示的过程应是在计算，
故选：C．
5．B
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离等于数轴右边的数减去数轴左边的数可得到答案．
【详解】解：数轴上的两个数与a，并且，
∴在a的右边，
∴与a的距离为即．
故选：B．
6．B
【知识点】求一个数的近似数
【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可．
本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
【详解】解：；
故选：B
7．A
【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、有理数的减法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题主要考查了数轴上的点，有理数的运算，先根据数轴上点的大小关系得出，，再根据有理数的运算法则逐项判断即可．
【详解】由数轴可得，且，
A．，原结论正确，故此选项符合题意；
B．，原结论错误，故此选项不符合题意；
C．，原结论错误，故此选项不符合题意；
D．，原结论错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
8．D
【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用
【分析】本题主要考查正数和负数及有理数加减混合运算，熟练掌握正数和负数是表示一对相反意义的量是解题的关键．根据题意列式计算即可．
【详解】解：，
即模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是．
故选：D．
9．A
【知识点】有理数加法运算、有理数的定义
【分析】本题考查了有理数的定义，有理数的加法运算，根据题意，最小的正整数是1，最大的负整数是-1，代入计算即可．
【详解】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，
∴，，
∴，
故选：A．
10．A
【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算
【分析】本题主要考查非负数的性质，有理数的乘方，根据相关运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
．
故选：
11．A
【知识点】相反数的定义、有理数的减法运算、绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，相反数，有理数的减法．根据一对相反数在数轴上的位置特点，可知，再由数轴上的点右边的数总是大于左边的数，有理数减法法则逐一判断即可得解．
【详解】解：根据数轴可得：，且，
∴，，，，
则四个选项，选项A符合题意．
故选：A．
12．B
【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用
【分析】本题主要考查了正负数的实际意义以及有理数加法运算．根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可．
【详解】解：根据题意可知，收入为正，支出为负，且（元）
则最终结果收入6元应表示为，
故选：B
13．B
【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查了有理数与数轴，根据两点间距离公式计算即可求解，掌握两点间距离公式是解题的关键．
【详解】解：∵点表示，
∴与点距离个单位长度的点所表示的数是或，
故选：．
14．D
【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、绝对值的几何意义
【分析】本题主要考查了有理数的加减运算和绝对值，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和绝对值的性质．先根据绝对值的性质求出p，q，再结合，选取满足条件的p，q的值，再分别代入，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，；，；
当，时，；
当，时，；
综上可知：的值为或，
故选：D．
15．B
【知识点】程序流程图与有理数计算
【分析】本题考查代数式求值及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据题意列式计算即可．
【详解】解：若输入a的值为3，
则，
故选：B．
16．A
【知识点】有理数的减法运算
【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的加减运算，根据的含义，以及有理数的加减运算法则，求出即可.
【详解】解：
故选：A.
17．C
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
分类讨论，分别算出所有人的爬楼距离，再比较即可．
【详解】解：若在1层，则所有参会人员爬楼距离之和为；
若在2层，则所有参会人员爬楼距离之和为；
若在3层，则所有参会人员爬楼距离之和为；
若在4层，则所有参会人员爬楼距离之和为，
∵，
∴会议室地点应设在3层，
故选：C．
18．C
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减，关键是分点B在点A的左侧和右侧分别求解．
分点B在点A的左侧和右侧求解即可．
【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B表示的数是，
当点B在点A的右侧时，点B表示的数是，
故选：C．
19．B
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握利用加法的运算律进行简便运算．把已知条件中，的值代入，再利用去括号法则、加法的交换律和结合律进行简便运算即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
最接近的整数为．
故选：．
20．B
【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算
【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确．
【详解】解：根据题意可得：，故正确；
根据题意可得：，故正确；
当时，有， 不成立，故错误；
当时，有， 不成立，故错误；
当时，，若，则的值可以是，故正确，
综上所述，正确的结论共有个．
故选：B ．
21．（答案不唯一）
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．写出一个数与相加，再根据有理数的加法法则进行计算，从而解答即可．
【详解】解：∵，
∴满足条件的数是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
22．
【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用
【分析】本题考查了题有理数的加减混合运算、正数和负数的应用，解决本题的关键是运用有理数的混合运算的计算法则计算．根据题意，当天早上的气温是，中午的气温升高，中午气温是,晚上的气温又降低了，晚上气温是，据此解答．
【详解】解：
．
答：晚上的气温为．
故答案为：．
23．或或（答案不唯一，任选一个）
【知识点】算“24”点
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：符合规则的算式为或或，
故答案为：或或．
24．或7/7或
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，先求出，进而得到，再分点C在点B右侧，点C在点B左侧两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴，
∵，
∴，
∴当点C在点B右侧时，则点C表示的数为，
当点C在点B左侧时，则点C表示的数为；
综上所述，点C表示的数为或7，
故答案为：或7．
25．29
【知识点】乘方的应用
【分析】本题考查了乘方的应用，理解题意，弄清二进制数换算成十进制数的计算方法是解题的关键．仿照题意的换算公式，将换算成十进制数即可解答．
【详解】解：由题意得，．
故答案为：29．
26．(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（1）先化简，再计算加减，即可解答；
（2）先把小数化为分数，再算同分母分数，最后相加即可求解；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（4）先算乘方，再算乘除，再利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
27．(1)见解析
(2)千米
(3)1升
【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用
【分析】本题考查了数轴的实际应用、有理数的加减法运算以及路程与耗油量的计算．解题的关键是明确正负数在数轴上表示的方向意义，准确计算各点的位置坐标，进而求出距离和总路程．
（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，根据货车行驶距离确定各点坐标：小明家为，小红家为，小刚家为，再在数轴上标注．
（2）利用数轴上两点间距离公式（两点坐标差的绝对值），计算小明家与小刚家的距离．
（3）先求出货车行驶的总路程（各段路程绝对值之和），再根据每千米耗油量计算总耗油量．
【详解】（1）解：以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米．
小明家：向东走4千米，位置为；
小红家：从小明家继续向东走1千米，位置为；
小刚家：从小红家向西走千米，位置为．
如图表示小明家、小红家、小刚家：
．
（2）解：由（1）可知，小明家位置为，小刚家位置为．
两家相距为（千米）．
答：小明家与小刚家相距9千米．
（3）解：货车行驶的各段路程依次为：从百货大楼到小明家：4千米；
从小明家到小红家：1千米；
从小红家到小刚家：千米；
从小刚家回到百货大楼：千米．
总路程为（千米）．
共耗油（升）．
答：这辆货车共耗油1升．
28．(1)49
(2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米
(3)估计小明家这7天的行驶费用是30元．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加减混合运算的应用
【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用．
（1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案；
（2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解；
（3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：由表格得：（），
即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 ，
故答案为：；
（2）解：
，
；
答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了；
（3）解：用电的费用：（元），
答：估计小明家这7天的行驶费用是30元．
29．（1）0，，20；（2）；（3）不成立，举例见解析
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解新定义的含义．
（1）根据已知条件中的新定义，根据有理数的乘法法则计算即可得；
（2）按照混合运算顺序和新定义，先算括号里面的，再算括号外面的即可得；
（3）举出例子，根据新定义分别算出和的值，进行判断即可．
【详解】解：（1），
，
，
故答案为：0，，20．
（2）
．
（3）不成立，举例如下：
当时，
，
，
所以不成立．
30．(1)，
(2)如图所示（标序号部分）即为所求：
(3)①；②
【知识点】图形类规律探索、乘方的应用
【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积；
（2）依照题目的示范作图即可；
（3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案．
【详解】（1）由题知，
正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，
所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等．
又因为部分①的面积为：，
部分②的面积为：，
部分③的面积为：，
…，
依次类图，部分n的面积为．
当时，
．
所以阴影部分的面积为．
∵，
∴．
故答案为：；．
（2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形
（3）①根据（2）中的发现可知，
．
故答案为：．
②令
将等式两边同时乘以得：，
将②式减去①式得，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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