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15.2 二次根式的乘除运算
第十五章 二次根式
1.了解二次根式乘除法法则，能够熟练应用二次根式乘除法法则进行运算.
2.经历由特殊到一般地探究过程，归纳二次根式的乘除法法则.
3.会逆用二次根式乘法、除法法则，熟练的将二次根式化简.
4.会将分母中含有简单二次根式的式子进行分母有理化.
同学们还记得二次根式的性质吗？
计算下列各式：
1.两个非负数的算术平方根的乘积等于这两个非负数的乘积的算术平方根；
2.二次根式运算的结果，应化为最简二次根式.
解：
活动1. 独立完成下列计算，理解二次根式的乘法法则.
探究一：二次根式的乘法法则.
思考：1.上述运算的原理是什么？用自己的话说说根式的乘法运算法则.
2.根据运算结果，说说对于根式的乘法，要注意什么？
二次根式的乘法法则:
注意：二次根式运算的结果，应化为最简二次根式.
　计算：
解：
1. 两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一
定要开方；
2. 当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，如 (b≥0，d≥0)，即将根号外的因数(式)与根号外的因数(式)相乘的积作为积的系数，被开方数与被开方数相乘的积作为积的被开方数.
根据上题计算结果，用“＞”、“＜”或“＝”填空：
＝
＝
＝
活动2. 完成下列问题，理解二次根式的除法法则.
思考：1.上述式子左边是什么运算？它与右边为什么相等？
2.用自己的话说说根式的除法运算法则.
(a≥0，b＞0).
二次根式的除法法则：
注意：1.利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．
2.分式运算的结果一定要是最简分式.
1.计算:
解：
活动. 阅读教材P108例2的解答过程，分析其运算结果特点.
探究二：二次根式的分母有理化.
1.上述根式的运算结果有什么共同特点？
分母中不含二次根式；分子不含开得尽方的因数.
把分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子.像这样，把分母中的二次根式化去的过程，叫作分母有理化.
1.去掉下列各式分母中的二次根式：
解：
思考：分母有理化的思路和步骤是什么？
1.分母有理化思路：
要想将分母有理化，其实质是将分子、分母同乘一个适当的数(式)，使分母转化为(????)2或????2的形式．例如 (1)分子、分母同乘3(2)有多种方法：可以先运用二次根式的除法法则，再把被开方数进行化简，最后进行开方运算，也可以先分别把分子、分母进行化简，再将分子、分母同乘一个适当的数(式)，化去分母中的根式；(3)分子、分母同乘2????????.
?
2.分母有理化的一般步骤：
　　“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数
(式)开方后移到根号外；
　　“ 二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因
数(式)；
　　“ 三化”，即化简计算．
小明的做法(先运算后化简)
解：
大刚的做法(先化简后运算)
解：
活动. 评价小明和大刚分别计算2×18与273的做法，并由此说说你的想法.
?
探究三：分式乘除运算思路和技巧.
二次根式运算思路及技巧：
一般情况下，先化简再运算，尤其是在计算一道比较复杂的算式时，先化简尤为重要，这样计算过程清楚，减小运算量，节省运算时间.
计算下列各式：
解：
1.对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ???? · ???? ＝ ???????? .该运算法则成立的条件是(　D　)
?
A. a ＞0， b ＞0
B. a ＜0， b ＜0
C. a ≤0， b ≤0
D. a ≥0， b ≥0
D
2. 计算： 20 × 5 ＝ ?.
?
10　
3.小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
∵2 3 ＝ 22 × 3 ＝ 22×3 ＝ 12 ，①
－2 3 ＝ (?2)2 × 3 ＝ (?2)2×3 ＝ 12 ，②
∴2 3 ＝－2 3 ，③
∴2＝－2.④
(1)上面的推导过程中，从第 步开始出现错误(填序号)；
(2)写出该步的正确结果.
?
解：－2 3 ＝－ 22 × 3 ＝－ 22×3 ＝－ 12 .
?
②　
4.计算下列各式：
解：
解：(1)原式=20.27×500=2135=232×15=615；
(2)原式=(2×3÷2)3×2÷8=334=323.
?
二次根式的乘除运算
乘法法则
除法法则
?
?
(a≥0，b＞0).
分母有理化
?
?
把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.

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