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15.1 课时1 二次根式的概念
第十五章 二次根式
1.了解二次根式的概念；
2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围；
3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学校要修建一个占地面积为???? ????2的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为????????2 的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
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1. (1) 2，18，815，310的算术平方根是怎样表示的?
(2) 非负数????，????＋????，????2－1的算术平方根又是怎样表示的?
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活动1. 求出下列具体的数和字母的算术平方根.
探究一：二次根式的概念.
(1)2，18，815 ，310；
(2)????，????＋????，????2－1.
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学校要修建一个占地面积为???? ????2的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为????????2 的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
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解：（1）设喷水池的半径为???? ????.
所以????=????????；
（2）设喷大圆的半径为???? ????.
所以????=????+????????.
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活动2. 将导入中的情境问题用数学符号表示.
思考1：观察下列式子，说说它们有什么共同特征？
1.根指数为2；
2.被开方数为非负数.
2，18，815 ，310 ，????，????＋????，????2－1，????????，????+????????
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思考2：如果我们将上述式子定义为二次根式，同学们类比整式、分式，说说二次根式的定义？
被开方数????≥0
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根指数为2
（省略不写）
二次根式：形如????(????≥0)的式子.
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????
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解：(1)∵364根指数是3，∴364不是二次根式；
(2)不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴????2+1是二次根式；
(3)当－5????≥0，即????≤0时，?5????是二次根式；当????＞0时，－5????＜0，则?5????不是二次根式．∴?5????不一定是二次根式．
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1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1)364；(2)????2+1； (3)?5????； (4)????+1(????≥0); (5)1(????+3)2；(6)?(?????4)2
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(4)????+1(????≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式；
(5)当x＝－3时，1(????+3)2无意义，∴1(????+3)2也无意义；当x≠－3时，1(????+3)2>0，
∴ 1(????+3)2是二次根式．∴1(????+3)2不一定是二次根式．
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1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1)364；(2)????2+1； (3)?5????； (4)????+1(????≥0); (5)1(????+3)2；(6)?(?????4)2
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(6)当????＝4，即????－4＝0时，?(?????4)2是二次根式；
当????≠4时，－(????－4)2＜0，∴?(?????4)2不是二次根式．
∴?(?????4)2不一定是二次根式．
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1.判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1)364；(2)????2+1； (3)?5????； (4)????+1(????≥0); (5)1(????+3)2；(6)?(?????4)2
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概念解析：
(1)二次根式的定义是从代数式的形式上界定的，必须含有二次
根号“”；
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的代数式，
但是a必须大于或等于0；
(3)在具体问题中，已知二次根式????，就有了????≥0这一隐含条件；
(4)形如????????(????≥0)的式子也是二次根式．????与????是相乘的关系，
若b为带分数，则要写成假分数的形式．
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易错提示：
(1)二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断，
如：9是二次根式．
(2)像????+1(????≥0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子，
不能称为二次根式．
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活动1. 分析下列小亮和小颖的观点，并对此谈谈你的看法.
探究二：二次根式的“双重”非负性.
1.小亮和小颖对二次根式“????(????≥0)”分别有如下的观点.
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小亮的观点
　　因为????表示的是非负数????的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有????≥0.
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小颖的观点
　　因为????表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有(????)2=????.
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问题1.对于小亮和小颖对二次根式“????(????≥0)”的观点你怎么看待？
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活动2. 计算????2.
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解：当????≥0时，????2=|????|=????；
当????<0时，????2=|????|=?????；
即：????2=????(????>0)；0(????=0)；?????(????<0).
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二次根式????(????≥0)的“双重”非负性：
1.被开方数非负：????≥0；
2.二次根式的值非负：????≥0.
比如，(1)(????)2=????(????≥0)，????2=????(????≥0)；（2）若????+????=0，则 ????＝0，????＝0.
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化简：
(1)0.04； (2)(319)2.
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解：0.04=0.22=0.2；
(319)2=[3×(13)2] 2=(3×13)2=12=1.
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2.为要使二次根式?????2?2?????1有意义，x应取 （ ）
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????. ????>1 ????. ????<1 ????. ????=1 ????. ????=?1
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D
1.下列各式中：①3，②33，③ ????4，④????2+1，⑤?15，⑥????2?1，一定是二次根式的有(　 　)
A．1个 B .2个 C．3个 D．4个
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C
????≥?2且????≠1
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3.若????+2?????1有意义，则????的取值范围是____________________________.
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4.已知????=1?????+?????1+2019，试求????+2????的值.
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解：由题意知1?????≥0?????1≥0，
解得????=1，
所以????=2019，
所以????+2????=1+2×2019=4035.
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二次根式
即????≥0, ????≥0
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二次根式的“双重”非负性
概念
二次根式(????)2与????2
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(????)2=????(????≥0)
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????2=|????|=????(????≥0)；?????(????<0).
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形如????(????≥0)的式子叫做二次根式

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