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第３节：二次根式练习题
第 1 课时 二次根式的概念及乘除运算
１．若在实数范围内有意义，则实数 ｘ的取值范围为（ ）
Ａ．ｘ≥０ Ｂ．ｘ≤０ Ｃ．ｘ＞０ Ｄ．ｘ＜０
２．下列四个数中，二次根式中 ｘ 不可取的数是（ ）
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
３．当 ｘ＝ ２ 时，二次根式 的值是 ．
４．下列各式是不是二次根式？ 说明理由．
（１） （２） （３） （４）（ｘ＜０）．
５．对于二次根式的除法运算，一般地，有＝．该运算法则成立的条件是（ ）
Ａ．ａ≥０，ｂ≥０ Ｂ．ａ≤０，ｂ≤０ Ｃ．ａ≥０，ｂ＞０ Ｄ．ａ≤０，ｂ＜０
６．计算 ×的结果是（ ）
Ａ．９ Ｂ．３ Ｃ．３ Ｄ．
７．下列各数中，与相乘的积仍为无理数的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
８．下列计算正确的是（ ）
Ａ．３×４＝ ３６ Ｂ．３ ×４＝ ７
Ｃ．３×４＝ １２ Ｄ．３×４＝ ９×１２＝ １０８
９．计算：＝ ．
１０．已知一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为 ．
１１．计算：
（１）× （２） （３）
（４）（２－３）2． （５）（－）×（ +）． （６）（－）×
１２．用 乘 法 公 式 计 算：①（ｘ－）（－ｘ＋）；②（ｘ＋） （ －ｘ＋），下列说法正确的是（ ）
Ａ．①②都可以用平方差公式计算
Ｂ．①②都可以用完全平方公式计算
Ｃ．①用平方差公式计算，②用完全平方公式计算
Ｄ．①用完全平方公式计算，②用平方差公式计算
１３．如图，正方形 Ｍ 的边长为 ｍ，面积为 ８；正方形 Ｎ 的边长为 ｎ，面积为３２．计算的结果为（ ）
Ａ．１ Ｂ．－２ Ｃ． Ｄ．－
１４．已知 ｋ＝（＋）×（﹣），则与 ｋ 最接近的整数为（ ）
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
１５．计算：（－ ２）２０２４ ×（＋２）２０２５ ＝ ．
１６．已知 ａ ＝－ ２，ｂ ＝＋２．
（１）求ａ２＋３ａｂ 的值．
（２）若ｃ ＝ ２，试判断以 ａ，ｂ，ｃ 为三边长的三角形的形状，并说明理由．
１７．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ３＋２＝（１＋）２．善于思考的小明进行了以下探索：设 ａ＋ｂ ＝ （ｍ＋ｎ）２（ａ，ｂ，ｍ，ｎ 均为整数），则有 ａ＋ ｂ ＝ｍ２＋２ｎ２＋２ｍｎ，所以 ａ＝ｍ２＋２ｎ２，ｂ＝２ｍｎ．这样小明就找到了一种把类似于 ａ＋ｂ 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（１）当 ａ，ｂ，ｍ，ｎ 均为正整数时，若 ａ＋ｂ ＝ （ｍ＋
ｎ）２，用含 ｍ，ｎ 的式子分别表示 ａ，ｂ，得 ａ ＝ ，ｂ＝ ．
（２）利用所探索的结论，找一组正整数 ａ，ｂ，ｍ，ｎ 填空： ＋ ＝（ ＋ ）２．
（３）若 ａ＋４＝ （ｍ＋ｎ）２，且 ａ，ｍ，ｎ 均为正整数，求 ａ 的值．
第 2 课时 二次根式的化简及加减运算
１．与计算结果相同的是（ ）
Ａ．４÷５ Ｂ．４×５ Ｃ．４－５ Ｄ．４＋５
２．若＝成立，则 ｘ 的值可以是（ ）
Ａ．－２ Ｂ．０ Ｃ．２ Ｄ．３
３．化简：
（１） （２） （３）
４．下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５．写出一个正整数 ｎ，使 是最简二次根式，ｎ 可以是 （答案不唯一） ．
６．已知≈１.４１４，则的近似值为 （结果保留小数点后两位）．
７．比较下列两个数的大小：５ ６．（填“＞”或“＜”）
８．下列各式中，哪些是最简二次根式，哪些不是？ 对不是最简二次根式的进行化简．
（１） （２） （３） （４） （５）
９．下列计算正确的是（ ）
Ａ．＋＝ ２ Ｂ．＋＝
Ｃ．４－２＝ ２ Ｄ． － ＝ ２
１０．若＋＝，则 ｎ＝（ ）
Ａ．２５ Ｂ．２０ Ｃ．２４ Ｄ．３０
１１．计 算－的 结果是 ．
１２．某一长方形纸片的长为６ｃｍ，宽为３ｃｍ，则此长方形纸片的周长为 cm。
１３．计算：
（１）＋－． （２）－＋
（３）－１０＋． （４）(﹣)×．
１４．设 ｍ ＝，ｎ＝，则＝（ ）
Ａ．３ Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．２
１５若 ｍ＋－ｎ＝ ５，则 ｍ，ｎ 的取值可以是（ ）
Ａ．ｍ＝ ０，ｎ＝ １ Ｂ．ｍ＝ １，ｎ＝ １
Ｃ．ｍ＝ －１，ｎ＝ ０ Ｄ．ｍ＝ ２，ｎ＝ ４
１６．若与最简二次根式 可以合并，则 ｍ 的值为（ ）
Ａ． Ｂ．４ Ｃ． Ｄ．１１
１７．我们规定运算符号“△”的意义是：当 ａ＞ｂ 时，ａ△ｂ＝ａ＋ｂ；当 ａ≤ｂ 时，ａ△ｂ＝ａ－ｂ，其他运算符号的意义不变，计算：（△ ）－（２△３）＝ ．
１８．古希腊数学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是 ａ，ｂ，ｃ，记ｐ＝ ，那么这个三角形的面积 Ｓ＝ ．若 ａ＝ ５，ｂ＝ ８，ｃ＝ ７，三角形面积 Ｓ 的整数部分为 ｍ，则ｍ 的值为 ．
１９．为打造莱西人“家门口的好去处”“城市新空间”，园林部门计划将两块正方形小绿地整合成一“口袋公园”．如图，已知正方形 ＡＢＣＤ 和正方形 ＣＥＦＧ 的面积分别为４５ ｍ２，２０ ｍ２，则长方形口袋公园 ＡＢＥＨ 的面积为 ｍ２．
２０．如图，每个小正方形的边长都为 １，求四边形 ＡＢＣＤ 的面积与周长．
21.已知 Ａ ＝ ５，Ｂ＝ ３，Ｃ ＝，其中 Ａ，Ｂ 为最简二次根式，且 Ａ＋Ｂ＝Ｃ，求 的值．
２２． 二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象．
（１）具体运算，发现规律：
（２）观察、归纳，得出猜想：如果 ｎ 为正整数（ｎ≥２），用含 ｎ 的式子表示上述运算规律（提醒：注意带分数的表达规范）．
（３）证明你的猜想．
第 3 课时 二次根式的混合运算
１．计算 ×（+）的结果是（ ）
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ． Ｄ．１＋
２．计算 ２－ ×（＋４）的结果为（ ）
Ａ．－２ Ｂ．－４ Ｃ．－４ Ｄ．８－４
３．如图，甲、乙、丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式．这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）
Ａ．０ 张 Ｂ．１ 张 Ｃ．２ 张 Ｄ．３ 张
４．计算：（2﹣6）÷2＝ ．
５．计算：
（１）（﹣）÷ （２）＋－
（２＋）（－３） （４）÷＋（－）2
６．先化简，再求值：（ａ－ ）·（ａ＋）－ａ（ａ－），其中 ａ＝＋．
７．如图，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 在数轴上，则可以近似表示×－÷２的运算结果的点是（ ）
Ａ．点 Ａ Ｂ．点 Ｂ Ｃ．点 Ｃ Ｄ．点 Ｄ
８．设 Ｍ ＝（﹣）·，其中 ａ＝ －３，ｂ＝ －２，则 Ｍ 的值为（ ）
Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．１ Ｄ．－１
９．若 ６－的整数部分为 ｘ，小数部分为 ｙ，则（２ｘ＋）ｙ 的值是（ ）
Ａ．５－３ Ｂ．３ Ｃ．３－５ Ｄ．－３
１０．计 算÷（+）的结果是 。
１１．阅读与计算：斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等） 的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第ｎ（ｎ 为整数且 ｎ＞０）个数用代数式表示为[（）n﹣（）n]，这是用无理数表示有理数的一个范例．请计算斐波那契数列中的第 ２ 个数是 ．
１２．△ＡＢＣ 的三边长分别为，ａ，（ａ＞０），若ａ＝２，求△ABC的周长．
１３．我 们 知 道（＋ ３） （－ ３） ＝ ４， 因 此 在 计 算时，分子和分母同时乘（＋３），从而将分母中的二次根式通过化简去掉，这就是分母有理化．
（１）化简：．
（２）若 ａ＝，求 ４ａ２－１２ａ＋５ 的值．
（３）若 ａ＝，ｂ＝，比较 ａ 和 ｂ 的大小．
１４．阅读下面
材料：将边长分别为 ａ，ａ＋，ａ＋２，ａ＋３的正方形面积分别记为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，
则 Ｓ２－Ｓ１ ＝（ａ＋）２－ａ２
＝［（ａ＋）＋ａ］·［（ａ＋）－ａ］
＝（２ａ＋）·
＝ ２ａ＋ｂ．
例如：当 ａ＝ １，ｂ＝ ３ 时，Ｓ２－Ｓ１ ＝ ３＋２．
根据以上材料，解答下列问题：
（１）当 ａ＝１，ｂ＝３ 时，Ｓ３－Ｓ２ ＝ ，Ｓ４－Ｓ３ ＝ ．
（２）当ａ＝１，ｂ＝3时，把边长为 ａ＋ｎ的正方形面积记为Ｓｎ＋１，其中 ｎ 是正整数，根据（１） 中的计算结果，你能猜出 Ｓｎ＋１－Ｓｎ 等于多少吗？ 并证明你的猜想．
（３）当 ａ＝ １，ｂ＝ ３ 时，令 ｔ１ ＝Ｓ２－Ｓ１，ｔ２ ＝Ｓ３－Ｓ２，ｔ３ ＝Ｓ４－Ｓ３，……，ｔｎ ＝Ｓｎ＋１－Ｓｎ，且 Ｔ ＝ ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋…＋ｔ５０，求 Ｔ 的值．
答案
３ 二次根式
第 1 课时 二次根式的概念及乘除运算
１．Ａ
２．Ａ
３．２
４．（１）是二次根式． （２）二次根式．
（３）不一定是二次根式． （４）二次根式．
５．Ｃ
６．Ｂ
７．Ｄ
８．Ａ
９．２
１０．4
１１．（1）1 （2）8 （3）3 （4）11﹣4 （5）﹣9 （6）1
１２．Ｄ
１３．Ｂ
１４．Ｂ
１５．＋２
１６．（１）１６－４．
（２）以 ａ，ｂ，ｃ 为三边长的三角形是直角三角形．
１７．（1）ａ＝ｍ２＋３ｎ２，ｂ＝ ２ｍｎ．
（2）略
（3）ａ 的值是 １３ 或 ７
第 2 课时 二次根式的化简及加减运算
１．Ｂ
２．Ｂ
３．（１）０.２ （２）７ （３）
４．Ａ
５．１（答案不唯一） ．
６．２.８３
７．＜
８．（１） ＝ ３． （２） ＝ （３）是最简二次根式．
（４）＝ （５）＝
９．Ｄ
１０．Ｂ
１１．
１２．１８ ．
１３．（1） （2） （3）3 （4）7.5
１４．Ｂ
１５.Ｂ
１６．Ｂ
１７．－＋４
１８．１７
１９．７５
２０．四边形ＡＢＣＤ 的周长为 ＋３ ＋
四边形 ＡＢＣＤ 的面积为１４.５．
21.=１４．
２２．
第 3 课时 二次根式的混合运算
１．Ｂ
２．Ａ
３．Ｂ
４．１
５．（１）14 （２） （３）７－． （４）５－．
６．化简结果﹣3+a 代入结果2+
７．Ｃ
８．Ｂ
９．Ｂ
１０．0.5
１１．１
１２．当 ａ＝ ２ 时，△ＡＢＣ 的周长为
１３．（１）4﹣ （２）４ａ２－１２ａ＋５=3
（3）a＞b
１４．（1）9+2 15+2 （2）6n﹣3+2 （3）7500+100

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