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【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第13~14题
一、原题13
1．（2025·青海）在平面直角坐标系中，点 )在第三象限，则a的取值范围是　 　.
二、变式1基础
2．在平面直角坐标系中，点A(a，2)在第二象限内，则a的取值可以是　 　.
3．（2025·浙江模拟）已知点位于第三象限，则a的取值范围是　 　．
4．（2025八上·苍南期末）在平面直角坐标系中，若点（-1，3）在第　 　象限.
三、变式2巩固
5．（2024八上·宁波月考）已知点关于y轴的对称点在第三象限，则m的取值范围是．
6．已知点A（2m-5，6-2m）在第四象限，则m的取值范围是　 　.
7．若点M（m＋3，m-1）在第四象限，则m的取值范围是　 　.
四、变式3提高
8．（2024八上·南湖月考）若点向右平移2个单位后所得的点位于第一象限，且点A关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是　 　．
9．（2023八上·海曙月考）点P的坐标是，把点P向左平移2m个单位，向上平移m个单位后，得到的点Q在第三象限，则m的取值范围为　 　．
10．（2023八上·江北期末）若是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是　 　.
五、原题14
11．（2025·青海） 如图， 在菱形ABCD中， ， E， F分别为AB， BC的中点， 且. 则菱形 ABCD的面积为　 　.
六、变式1（基础）
12．（2024·萧山模拟）菱形的对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为　 　．
13．若菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为　 　.
14．（2024八下·路桥期末）如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为　 　．
七、变式2（巩固）
15．（2025八下·椒江期末） 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作，垂足为E，连接OE，若，，则OE=　 　.
16．（2025·浙江模拟）如图，在菱形ABCD中，，点为AB中点，将菱形沿FG折叠，使点与点重合，连结EF，~EG，则　 　．
17．（2025八下·路桥期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边AD的中点，OE＝3，则菱形ABCD的边长为　 　．
八、变式3（提高）
18．如图，四边形ABCD是边长为8 的菱形，∠ABC=60°，M是对角线 BD上的一个动点.
（1）若N是AB 边上一点，AN=2，连结AM，MN，则AM+MN的最小值为　 　；
（2）变式：若 N是AB 边上一个动点，连结AM，MN，则AM+MN的最小值为　 　.
19． 如图，在菱形 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点 A 作AE⊥BC，垂足为 E，交 BD 于点F.若AC=6，BD=8.
（1）菱形 ABCD 的面积为　 　；
（2）AB=　 　，AE= ；
（3）BF=　 　.
20．如图， 在菱形 中， ． 折叠该菱形， 使点 落在边 上的点 处， 折痕分别与边 交于点 ． 当点 与点 重合时， 的长为　 　； 当点 的位置变化时， 长的最大值为　 　
答案解析部分
1．【答案】a＜-1
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意知，解得，故a<-1.
故填 ：a<-1.
【分析】根据第三象限的点横纵坐标负号可得关于a的不等式组，求解不等式组即可.
2．【答案】-1(答案不唯一)
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，
因为点A(a，2)在第二象限内，
所以a<0，
故a的取值可以是：-1(答案不唯一)，
故应填：-1(答案不唯一).
【分析】由点A在第二象限，故点A的横坐标为负，纵坐标为正，据此可得a的取值范围，进而可以确定a的取值.
3．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点位于第三象限，
∴，解得：.
故答案为：.
【分析】根据在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，列出不等式求解．
4．【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵第二象限的点的特征是横坐标为负，纵坐标为正
∴这与点（-1，3）的坐标特征相匹配。
∴ 点（-1，3）在 第二象限
故答案为：二.
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的象限确定。在坐标系中，各象限内点的坐标特征是确定点所在象限的关键。第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）。通过比较点的坐标特征与各象限点的坐标特征，可以确定点的位置。
5．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
6．【答案】m＞3
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A（2m-5，6-2m）在第四象限，
∴，
解得m＞3，
故答案为：m＞3.
【分析】根据第四象限点的坐标特征得出，解不等式组求出m的取值范围，即可得出答案.
7．【答案】-3【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点M（m＋3，m-1）在第四象限，
∴m+3＞0，m-1＜0，
解得-3故答案为：-3【分析】第四象限内点的符号为正、负，据此建立不等式组并解之即可.
8．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵向右平移2个单位后所得的点位于第一象限，且点关于轴的对称点在第三象限，
∴平移后的点坐标为，对称点坐标为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据平移以及轴对称的性质得到平移后的点坐标以及对称点坐标，再根据象限内点的符号特征，得到关于的不等式组进行求解即可．
9．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点P的坐标是，
向左平移2m个单位后得到，
再向上平移m个单位后得到，
因为得到的点Q在第三象限，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】先把平移过后的坐标写出来，然后根据平移过后的点在第三象限，得到取值求解即可．
10．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵是第二象限内一点，
∴，
由是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位得到，
∵运动到第四象限，
∴，
解不等式组可得，
故答案为：.
【分析】根据第二象限内点的坐标特征可得2m+1<0，求出m的范围，由点的平移规律可得平移后点的坐标为（2m+3，-1），由其位于第四象限可得2m+3>0，联立求解可得m的范围.
11．【答案】12
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别为AB、BC中点
∴EF=
∵EF=2
∴AC=4
∴
故填：12.
【分析】由中位线定理知AC的长，即可得菱形的面积.
12．【答案】16
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，，
∴菱形的面积为．
故答案为：16
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可.
13．【答案】24
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是菱形，
，
，
.
故答案为：24.
【分析】由菱形的性质可得，再利用割补法通过三角形的面积公式计算出菱形面积.
14．【答案】24
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
菱形的周长为：，
故答案为：24．
【分析】根据菱形的性质得，，从而根据平行线的性质得，进而根据等边三角形的判定证明是等边三角形，得，最后求的值即可.
15．【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
D，
故答案为：3.
【分析】由菱形的性质可得. BO 由勾股定理可求BO的长， 由直角三角形的性质可求解.
16．【答案】1.2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH垂直AB的延长线于点H，则∠GHB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，且AB=4，
∴AD∥BC，BC=AB=4，
设BG=x，
由折叠性质可得EG=CG=4-x，
∵点E是AB的中点，
∴BE=，
∵AD∥BC，∠A=60°，
∴∠CBH=∠A=60°，
∴∠BGH=90°-∠CBH=30°，
∴BH=BG=x，HG=x，
∴EH=EB+BH=2+x，
在Rt△HGE中，∵EH2+HG2=EG2，
∴
解得x=1.2，即BG=1.2.
故答案为：1.2.
【分析】如图，过点G作GH垂直AB的延长线于点H，则∠GHB=90°，由菱形的性质得AD∥BC，BC=AB=4，设BG=x，由折叠性质可得EG=CG=4-x，由二直线平行，同位角相等得∠CBH=∠A=60°，根据三角形内角和定理求出∠BGH=30°，由含30°角直角三角形的性质可用含x的式子表示出BH、HG的长，在Rt△HGE中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
17．【答案】6
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形
是中点
故答案为：6.
【分析】由于菱形的对角线互相平分，因此O是AC中点，因为E是AD中点，所以OE是三角形ACD的中位线，所以CD等于OE的2倍.
18．【答案】（1）2
（2）4
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)在BC上截取CE=AN =2， 如图1，
∵四边形ABCD是边长为8的菱形，
∴AB= BC=8， ∠ABD=∠CBD，
∴BN = BE =6，
在△BMN和△BME中，
∴△BMN≌△BME(SAS)，
∴MN = ME，
∵AM+ME≥AE(当且仅当A、M、E共线时取等号)，
∴ AM + ME的最小值为AE的长，
即AM + MN最小值为AE的长，过A点作AH⊥BC于H点， 如图1，
在Rt△ABH中， ∵∠ABC =60°，
∵HE=BE-BH =6-4=2，
即AM+MN的最小值为
故答案为：
(2)过A点作AH⊥BC于H点， AH交BD于M点，过M点作MN⊥AB于N点， 如图2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴ BD平分∠ABC，
∴MH=MN，
∴AM+MN = AM+MH = AH，
即AM +MN的最小值为AH的长，
由 (1)得到
∴AM+MN的最小值为4
故答案为：
【分析】(1)在BC上截取CE= AN =2， 如图1， 先根据菱形的性质得到AB=BC=8， ∠ABD=∠CBD， 则BN = BE=6， 再证明△BMN≌△BME得到MN =ME，利用两点之间线段最短得到AM +ME≥AE(当且仅当A、M、E共线时取等号) ，则可判断AM+MN最小值为AE的长，过A点作AH⊥BC于H点，如图1，利用含30度角的直角三角形三边的关系求出BH、AH，然后利用勾股定理计算AE的长即可；
(2)过A点作AH⊥BC于H点， AH交BD于M点，过M点作MN⊥AB于N点，如图2，利用菱形的性质和角平分线的性质得到MH =MN，所以AM+MN= AH， 根据垂线段最短可得到AM+MN的最小值为AH的长，然后由 (1)得到AH即可.
19．【答案】（1）24
（2）5；
（3）
【知识点】勾股定理；菱形的性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；等积变换
【解析】【解答】解：(1)∵AC=6，BD=8
∴菱形的面积为，
故答案为：24.
(2)∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，，
∴∠COB =90°
∴
∵AE⊥BC
∴S菱形ABCD=BC·AE=24
∴
故答案为：5；.
(3)∵AE⊥BC
∴∠BEF=90
∵四边形ABCD是菱形
∴∠COB=90°，AB=BC =5，
∴∠COB=∠BEF
又∵∠EBF=∠OBC
∴△EBF∽△OBC
∴
在Rt△BEF中，，
∴
∴
故答案为：.
【分析】(1)根据菱形的面积公式即可求解；
(2)根据菱形的性质可得AC⊥BD，，，再根据勾股定理即可得出AB的长度，再利用等面积法即可求解AE的长度；
(3)根据菱形的性质可得∠COB=90°，AB=BC =5，，再利用相似三角形的性质，勾股定理即可求解.
20．【答案】；
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图当M与点B重合时，则E为AB的中点，此时点F与点D重合，连接BD
∵AB=AD，∠A=60°
∴△ABD为等边三角形
∵E为AB的中点
∴DE⊥AB
AD=6，AE=3，
由勾股定理得EF＝
过点F作FH⊥BC，DI⊥BC，
由折叠的性质知FA=FM，当FM⊥BC时，FM取最小值，即FA取最小值，此时DF取最大值
易知DIHF为矩形，由勾股定理得DI=，FAmin=3，
故DFmax=6-3
【分析】当M与B重合时，F与D重合，直接由勾股定理即可得EF的长.由折叠的性质知FM=FA，当FM取最小值时，FA取最小值，即DF取最大值，求出FH的长即可得DF的最大值.
1 / 1【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第13~14题
一、原题13
1．（2025·青海）在平面直角坐标系中，点 )在第三象限，则a的取值范围是　 　.
【答案】a＜-1
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意知，解得，故a<-1.
故填 ：a<-1.
【分析】根据第三象限的点横纵坐标负号可得关于a的不等式组，求解不等式组即可.
二、变式1基础
2．在平面直角坐标系中，点A(a，2)在第二象限内，则a的取值可以是　 　.
【答案】-1(答案不唯一)
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，
因为点A(a，2)在第二象限内，
所以a<0，
故a的取值可以是：-1(答案不唯一)，
故应填：-1(答案不唯一).
【分析】由点A在第二象限，故点A的横坐标为负，纵坐标为正，据此可得a的取值范围，进而可以确定a的取值.
3．（2025·浙江模拟）已知点位于第三象限，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点位于第三象限，
∴，解得：.
故答案为：.
【分析】根据在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，列出不等式求解．
4．（2025八上·苍南期末）在平面直角坐标系中，若点（-1，3）在第　 　象限.
【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵第二象限的点的特征是横坐标为负，纵坐标为正
∴这与点（-1，3）的坐标特征相匹配。
∴ 点（-1，3）在 第二象限
故答案为：二.
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的象限确定。在坐标系中，各象限内点的坐标特征是确定点所在象限的关键。第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）。通过比较点的坐标特征与各象限点的坐标特征，可以确定点的位置。
三、变式2巩固
5．（2024八上·宁波月考）已知点关于y轴的对称点在第三象限，则m的取值范围是．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
6．已知点A（2m-5，6-2m）在第四象限，则m的取值范围是　 　.
【答案】m＞3
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A（2m-5，6-2m）在第四象限，
∴，
解得m＞3，
故答案为：m＞3.
【分析】根据第四象限点的坐标特征得出，解不等式组求出m的取值范围，即可得出答案.
7．若点M（m＋3，m-1）在第四象限，则m的取值范围是　 　.
【答案】-3【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点M（m＋3，m-1）在第四象限，
∴m+3＞0，m-1＜0，
解得-3故答案为：-3【分析】第四象限内点的符号为正、负，据此建立不等式组并解之即可.
四、变式3提高
8．（2024八上·南湖月考）若点向右平移2个单位后所得的点位于第一象限，且点A关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵向右平移2个单位后所得的点位于第一象限，且点关于轴的对称点在第三象限，
∴平移后的点坐标为，对称点坐标为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据平移以及轴对称的性质得到平移后的点坐标以及对称点坐标，再根据象限内点的符号特征，得到关于的不等式组进行求解即可．
9．（2023八上·海曙月考）点P的坐标是，把点P向左平移2m个单位，向上平移m个单位后，得到的点Q在第三象限，则m的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣平移；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点P的坐标是，
向左平移2m个单位后得到，
再向上平移m个单位后得到，
因为得到的点Q在第三象限，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】先把平移过后的坐标写出来，然后根据平移过后的点在第三象限，得到取值求解即可．
10．（2023八上·江北期末）若是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵是第二象限内一点，
∴，
由是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位得到，
∵运动到第四象限，
∴，
解不等式组可得，
故答案为：.
【分析】根据第二象限内点的坐标特征可得2m+1<0，求出m的范围，由点的平移规律可得平移后点的坐标为（2m+3，-1），由其位于第四象限可得2m+3>0，联立求解可得m的范围.
五、原题14
11．（2025·青海） 如图， 在菱形ABCD中， ， E， F分别为AB， BC的中点， 且. 则菱形 ABCD的面积为　 　.
【答案】12
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别为AB、BC中点
∴EF=
∵EF=2
∴AC=4
∴
故填：12.
【分析】由中位线定理知AC的长，即可得菱形的面积.
六、变式1（基础）
12．（2024·萧山模拟）菱形的对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为　 　．
【答案】16
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，，
∴菱形的面积为．
故答案为：16
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可.
13．若菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为　 　.
【答案】24
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是菱形，
，
，
.
故答案为：24.
【分析】由菱形的性质可得，再利用割补法通过三角形的面积公式计算出菱形面积.
14．（2024八下·路桥期末）如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为　 　．
【答案】24
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
菱形的周长为：，
故答案为：24．
【分析】根据菱形的性质得，，从而根据平行线的性质得，进而根据等边三角形的判定证明是等边三角形，得，最后求的值即可.
七、变式2（巩固）
15．（2025八下·椒江期末） 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作，垂足为E，连接OE，若，，则OE=　 　.
【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
D，
故答案为：3.
【分析】由菱形的性质可得. BO 由勾股定理可求BO的长， 由直角三角形的性质可求解.
16．（2025·浙江模拟）如图，在菱形ABCD中，，点为AB中点，将菱形沿FG折叠，使点与点重合，连结EF，~EG，则　 　．
【答案】1.2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH垂直AB的延长线于点H，则∠GHB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，且AB=4，
∴AD∥BC，BC=AB=4，
设BG=x，
由折叠性质可得EG=CG=4-x，
∵点E是AB的中点，
∴BE=，
∵AD∥BC，∠A=60°，
∴∠CBH=∠A=60°，
∴∠BGH=90°-∠CBH=30°，
∴BH=BG=x，HG=x，
∴EH=EB+BH=2+x，
在Rt△HGE中，∵EH2+HG2=EG2，
∴
解得x=1.2，即BG=1.2.
故答案为：1.2.
【分析】如图，过点G作GH垂直AB的延长线于点H，则∠GHB=90°，由菱形的性质得AD∥BC，BC=AB=4，设BG=x，由折叠性质可得EG=CG=4-x，由二直线平行，同位角相等得∠CBH=∠A=60°，根据三角形内角和定理求出∠BGH=30°，由含30°角直角三角形的性质可用含x的式子表示出BH、HG的长，在Rt△HGE中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
17．（2025八下·路桥期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边AD的中点，OE＝3，则菱形ABCD的边长为　 　．
【答案】6
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形
是中点
故答案为：6.
【分析】由于菱形的对角线互相平分，因此O是AC中点，因为E是AD中点，所以OE是三角形ACD的中位线，所以CD等于OE的2倍.
八、变式3（提高）
18．如图，四边形ABCD是边长为8 的菱形，∠ABC=60°，M是对角线 BD上的一个动点.
（1）若N是AB 边上一点，AN=2，连结AM，MN，则AM+MN的最小值为　 　；
（2）变式：若 N是AB 边上一个动点，连结AM，MN，则AM+MN的最小值为　 　.
【答案】（1）2
（2）4
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)在BC上截取CE=AN =2， 如图1，
∵四边形ABCD是边长为8的菱形，
∴AB= BC=8， ∠ABD=∠CBD，
∴BN = BE =6，
在△BMN和△BME中，
∴△BMN≌△BME(SAS)，
∴MN = ME，
∵AM+ME≥AE(当且仅当A、M、E共线时取等号)，
∴ AM + ME的最小值为AE的长，
即AM + MN最小值为AE的长，过A点作AH⊥BC于H点， 如图1，
在Rt△ABH中， ∵∠ABC =60°，
∵HE=BE-BH =6-4=2，
即AM+MN的最小值为
故答案为：
(2)过A点作AH⊥BC于H点， AH交BD于M点，过M点作MN⊥AB于N点， 如图2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴ BD平分∠ABC，
∴MH=MN，
∴AM+MN = AM+MH = AH，
即AM +MN的最小值为AH的长，
由 (1)得到
∴AM+MN的最小值为4
故答案为：
【分析】(1)在BC上截取CE= AN =2， 如图1， 先根据菱形的性质得到AB=BC=8， ∠ABD=∠CBD， 则BN = BE=6， 再证明△BMN≌△BME得到MN =ME，利用两点之间线段最短得到AM +ME≥AE(当且仅当A、M、E共线时取等号) ，则可判断AM+MN最小值为AE的长，过A点作AH⊥BC于H点，如图1，利用含30度角的直角三角形三边的关系求出BH、AH，然后利用勾股定理计算AE的长即可；
(2)过A点作AH⊥BC于H点， AH交BD于M点，过M点作MN⊥AB于N点，如图2，利用菱形的性质和角平分线的性质得到MH =MN，所以AM+MN= AH， 根据垂线段最短可得到AM+MN的最小值为AH的长，然后由 (1)得到AH即可.
19． 如图，在菱形 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点 A 作AE⊥BC，垂足为 E，交 BD 于点F.若AC=6，BD=8.
（1）菱形 ABCD 的面积为　 　；
（2）AB=　 　，AE= ；
（3）BF=　 　.
【答案】（1）24
（2）5；
（3）
【知识点】勾股定理；菱形的性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；等积变换
【解析】【解答】解：(1)∵AC=6，BD=8
∴菱形的面积为，
故答案为：24.
(2)∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，，
∴∠COB =90°
∴
∵AE⊥BC
∴S菱形ABCD=BC·AE=24
∴
故答案为：5；.
(3)∵AE⊥BC
∴∠BEF=90
∵四边形ABCD是菱形
∴∠COB=90°，AB=BC =5，
∴∠COB=∠BEF
又∵∠EBF=∠OBC
∴△EBF∽△OBC
∴
在Rt△BEF中，，
∴
∴
故答案为：.
【分析】(1)根据菱形的面积公式即可求解；
(2)根据菱形的性质可得AC⊥BD，，，再根据勾股定理即可得出AB的长度，再利用等面积法即可求解AE的长度；
(3)根据菱形的性质可得∠COB=90°，AB=BC =5，，再利用相似三角形的性质，勾股定理即可求解.
20．如图， 在菱形 中， ． 折叠该菱形， 使点 落在边 上的点 处， 折痕分别与边 交于点 ． 当点 与点 重合时， 的长为　 　； 当点 的位置变化时， 长的最大值为　 　
【答案】；
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图当M与点B重合时，则E为AB的中点，此时点F与点D重合，连接BD
∵AB=AD，∠A=60°
∴△ABD为等边三角形
∵E为AB的中点
∴DE⊥AB
AD=6，AE=3，
由勾股定理得EF＝
过点F作FH⊥BC，DI⊥BC，
由折叠的性质知FA=FM，当FM⊥BC时，FM取最小值，即FA取最小值，此时DF取最大值
易知DIHF为矩形，由勾股定理得DI=，FAmin=3，
故DFmax=6-3
【分析】当M与B重合时，F与D重合，直接由勾股定理即可得EF的长.由折叠的性质知FM=FA，当FM取最小值时，FA取最小值，即DF取最大值，求出FH的长即可得DF的最大值.
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