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【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题
一、原题15
1．（2025·青海） 如图， 在 中， 且 3， DB=2， 则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE||BC
∴
∴
故填：.
【分析】直接由平行线分线段成比例可得AE与AC的比值.
二、变式1基础
2．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：
，
，
，
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.
3． 如图所示， 直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C 和点D，E，F.若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=　 　.
【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1//l2//l3，
∴，
∵AB=3，DE=2，BC=6，
∴
∴EF=4
故答案为：4.
【分析】利用平行线与成比例线段的关系，通过已知线段的长度比例来求解未知线段的长度.
4．（2024九下·临高期中）如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于　 　cm．
【答案】8
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
三、变式2巩固
5．如图，在△ 中，点D为AC的中点，连接DB，点E为BD的中点，连接CE ，若 ，则AB的长为　 　.
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如解图，过点 B 作 BF∥CE交AC 的延长线于点 F，
则，即DE=BE，
∴CE是△DBF的中位线，
∴BF =2CE=4，CD=CF，
∵AB=3CD，AD=CD=CF，
∴AF=3CD，
∴AB=AF，
∵∠A=60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AB=BF=4.故答案为：4.
【分析】过点 B 作 BF∥CE交AC 的延长线于点 F，则CE是△DBF的中位线，即可得到BF =2CE=4，求出AB=AF，即可得到△ABF为等边三角形解答即可.
6．（2025八下·鄞州期末）如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC上一点，连结DE并延长交BC的延长线于点F，若DE=EF，BC=10，则CF的长为　 　.
【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接DG，如图，
∵ D为AB的中点，G为BC的中点，
∴ DG是△ABC的中位线，
∴ DG∥AC，
∵ DE=EF，
∴ CG=CF=BC=5.
故答案为：5.
【分析】取BC的中点G，连接DG，根据三角形中位线的性质可得DG∥AC，根据平行线分线段成比例即可求得CF.
7．（2025·仁寿模拟）如图，在中，作分别交、于点D、E，作交于点F，，，则边的长为　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，，
，
，
解得：，
故答案为：4．
【分析】本题首先根据“两组线段分别平行的四边形是平行四边形”可以得出四边形为平行四边形，进而推出得出，然后列出等式，最后代入求解即可．
四、变式3提高
8．（2024九下·福田开学考）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴，
∵四边形ABCD是矩形
∴CD∥AB
∴∠DCE=∠CEB
∴∠DCE=∠DEC
∴CD=DE
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△CDF
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查矩形的性质，翻折的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟知翻折的性质与平行线分线段成比例定理是解题关键．
根据折叠的性质可知：BE=EF，∠BEC=∠ECF，根据矩形的性质：对边平行可知：CD∥AB，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DCE=∠CEB，等量代换得：∠DCE=∠DEC，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：CD=DE，设，则，结合CD∥AB可知：△AEF∽△CDF，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可知：，代入数据，列出关于x的方程，解得x的值即可得出答案．
9．（2025·贵州）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，
∵BE=2CF，CF=2，
∴BE=4，
∵矩形ABCD，
∴AN=CN=BN=DN，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，∠BAC=∠NCF=30°，
∵H是DE的中点，
∴HN是△BDE的中位线，
∴HN∥BE， HN== 2 ，
∴∠ABD=∠HNQ=30°，
∴ HQ ==1 ，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CF，
∵HN=CF=2，
∴四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，
∴∠HGQ=60°，
∴∠GHQ=30°，
∴ cos∠GHQ=cos30 °==，
∴ HG=1÷=，
故答案为：．
【分析】 如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN == 2，HQ==1，证明四边形HFCN是平行四边形，可得∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，求解∠GHQ=30°，再进一步求解即可。
10．如图，菱形ABCD 的边长为6cm，∠BAD=60°，将该菱形沿 AC 方向平移cm得到四边形A'B'C'D'，A'D'交CD 于点E，则点E到AC的距离为　 　cm.
【答案】2
【知识点】菱形的性质；平移的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB， BD⊥AC
∵∠BAD=60°，
∴三角形ABD是等边三角形，
∵菱形ABCD的边长为6cm，
∴AD=AB=BD=6cm
∴(cm)，
∴(cm)，
∵(cm)，
∴(cm)，
∵AD//A'E，
∴
∴
∴A'E=4(cm)，
∵，
∴(cm).
故答案为：2.
【分析】连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，根据菱形的性质可以证明三角形ABD是等边三角形，根据平移的性质可得AD//A'E，可得，解得A'E=4(cm)，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求出结论.
五、原题16
11．（2025·青海）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程.按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是　 　.
【答案】35或243
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：第①个图形黑色三角形有1个
第②个图形的黑色三角形有3=31个；
第③个图形的黑色三角形有9=32个；
....第n个图形的黑色三角形有个.
当n=6时，黑色三角形有243=35个.
故填：35或243.
【分析】由图①至图③的黑色三角形的个数增长特点可得其规律表达式，即可得结果.
六、变式1（基础）
12．（2025九上·上城开学考）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n=　 　．
【答案】500
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第1幅图中有1个菱形： ，
第2幅图中有3个菱形： ，
第3幅图中有5个菱形： ，
……
∴第幅图中有个菱形，
当时，
解得：，
故答案为：500．
【分析】先根据前3幅图中菱形的个数得到规律：第幅图中有个菱形，然后令，解方程求出的值即可.
13．如图所示为某广场在地面上铺设的部分图案，正中间是一块正六边形的地砖，周围是正三角形和正方形的地砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此类推，第10层含有的正三角形的个数是　 　.
【答案】114
【知识点】平面镶嵌（密铺）；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：从里向外的第1层有个正三角形，
第2层有个正三角形，
第3层有个正三角形，
第4层有个正三角形，
... ...
以此类推，第10层有个正三角形.
故答案为：114 .
【分析】观察图象可得每一层的正三角形比里一层多个，故第n层的正三角形个数为.
14．（2024七上·台州期中）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有　 　个火柴棒．
【答案】15
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒，
第（2）个图形有根火柴棒，
第（3）个图形有根火柴棒，
……
第（n）个图形有根火柴棒，
∴第（7）个图案中有根火柴棒，
故答案为：15
【分析】观察图形可得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可．
七、变式2（巩固）
15．（2024七上·乐清月考）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础形组成，第3个图案由10个基础形组成，，第2024个图案中的基础图形个数为　 　．
【答案】6073
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
第1个图案中的基础图形个数为：；
第2个图案中的基础图形个数为：；
第3个图案中的基础图形个数为：；
，
依次类推，第个图案中的基础图形个数为个．
∴当时，（个，
即第2024个图案中的基础图形个数为6073个．
故答案为：．
【分析】根据所给图形，依次求出图案中基础图形的个数，发现规律，并把n=2024代入，即可得到答案．
16．（2024七上·拱墅期末）如图，用火柴棒按如下方式依次摆放，拼成一排由三角形组成的图形．则第2024根火柴在第 　 　个图形中．
【答案】1012
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第一个图形需要3根火柴，第二个图形需要5根火柴，
∴第n个图形需要2n+1根火柴，
∴当2n+1=2=2023时，n=1011，
∴第2024根火柴在第1012个图形中.
故正确答案为：1012.
【分析】通过给出的已知，找到规律：第n个图形需要2n+1根火柴。然后可以看出2n+1是一个奇数，找出离2024最近的奇数2023，就可以知道第2024根火柴所在的图形了.
17．（2025·杭州二模）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有　 　个.
【答案】38
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据图形数量的算法知，第n个图形下上各有(n+1)个图形，左右两列各有n个，则第n个有图形2(n+1)+2n-4=4n-2，当n=10时，4-2=38个.
故答案为：38.
【分析】由图形的计算方法可找到图形变化的规律，得第n个有4n-2个图形，即知第10个图形的个数.
八、变式3（提高）
18．（2024七上·鄞州期末）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第5个图案中灰色瓷砖块数为　 　块，第个图案中白色瓷砖块数为　 　块．（用含的代数式表示）
【答案】12；
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由图可得：
第1个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）；
第2个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）；
第3个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）；
....
第5个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）；
依此类推，第个图案中灰色瓷砖块数为：（块）； 瓷砖块数为：（块）；
故答案为：；.
【分析】根据图形观察其规律，灰色瓷砖每次多两块，白色瓷砖每次多三块，列出式子即可.
19．按照下面的方式堆放小球，第5堆有　 　个小球，第n堆有　 　个小球．
【答案】15；
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由题意得第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个，
则第n堆小球共有，
第五堆小球共有：（个），
故答案为：15；．
【分析】先根据图结合题意得到第n堆小球共有，进而代入5即可求解。
20．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第10个图形中白色正方形的个数为　 　，第n个图形中白色正方形的个数为　 　。(用含n的式子表示)
【答案】32；3n+2
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题知，
第1个图形中白色正方形的个数为5=3+2，
第2个图形中白色正方形的个数为8=3×2+2，
第3个图形中白色正方形的个数为11=3×3+2，
…
第10个图形中白色正方形的个数为3×10+2=32，…
第 n个图形中白色正方形的个数为3n+2.
故答案为：32，3n+2.
【分析】 根据图形的变化规律得出每个图形都比前一个多3个白色正方形，归纳出第n个图形有3n+2个白色正方形即可．
1 / 1【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题
一、原题15
1．（2025·青海） 如图， 在 中， 且 3， DB=2， 则 的值是　 　.
二、变式1基础
2．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则 的值为　 　.
3． 如图所示， 直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C 和点D，E，F.若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=　 　.
4．（2024九下·临高期中）如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于　 　cm．
三、变式2巩固
5．如图，在△ 中，点D为AC的中点，连接DB，点E为BD的中点，连接CE ，若 ，则AB的长为　 　.
6．（2025八下·鄞州期末）如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC上一点，连结DE并延长交BC的延长线于点F，若DE=EF，BC=10，则CF的长为　 　.
7．（2025·仁寿模拟）如图，在中，作分别交、于点D、E，作交于点F，，，则边的长为　 　．
四、变式3提高
8．（2024九下·福田开学考）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则　 　．
9．（2025·贵州）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为　 　．
10．如图，菱形ABCD 的边长为6cm，∠BAD=60°，将该菱形沿 AC 方向平移cm得到四边形A'B'C'D'，A'D'交CD 于点E，则点E到AC的距离为　 　cm.
五、原题16
11．（2025·青海）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程.按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是　 　.
六、变式1（基础）
12．（2025九上·上城开学考）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n=　 　．
13．如图所示为某广场在地面上铺设的部分图案，正中间是一块正六边形的地砖，周围是正三角形和正方形的地砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此类推，第10层含有的正三角形的个数是　 　.
14．（2024七上·台州期中）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有　 　个火柴棒．
七、变式2（巩固）
15．（2024七上·乐清月考）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础形组成，第3个图案由10个基础形组成，，第2024个图案中的基础图形个数为　 　．
16．（2024七上·拱墅期末）如图，用火柴棒按如下方式依次摆放，拼成一排由三角形组成的图形．则第2024根火柴在第 　 　个图形中．
17．（2025·杭州二模）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有　 　个.
八、变式3（提高）
18．（2024七上·鄞州期末）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第5个图案中灰色瓷砖块数为　 　块，第个图案中白色瓷砖块数为　 　块．（用含的代数式表示）
19．按照下面的方式堆放小球，第5堆有　 　个小球，第n堆有　 　个小球．
20．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第10个图形中白色正方形的个数为　 　，第n个图形中白色正方形的个数为　 　。(用含n的式子表示)
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE||BC
∴
∴
故填：.
【分析】直接由平行线分线段成比例可得AE与AC的比值.
2．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：
，
，
，
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.
3．【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1//l2//l3，
∴，
∵AB=3，DE=2，BC=6，
∴
∴EF=4
故答案为：4.
【分析】利用平行线与成比例线段的关系，通过已知线段的长度比例来求解未知线段的长度.
4．【答案】8
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
5．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如解图，过点 B 作 BF∥CE交AC 的延长线于点 F，
则，即DE=BE，
∴CE是△DBF的中位线，
∴BF =2CE=4，CD=CF，
∵AB=3CD，AD=CD=CF，
∴AF=3CD，
∴AB=AF，
∵∠A=60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AB=BF=4.故答案为：4.
【分析】过点 B 作 BF∥CE交AC 的延长线于点 F，则CE是△DBF的中位线，即可得到BF =2CE=4，求出AB=AF，即可得到△ABF为等边三角形解答即可.
6．【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接DG，如图，
∵ D为AB的中点，G为BC的中点，
∴ DG是△ABC的中位线，
∴ DG∥AC，
∵ DE=EF，
∴ CG=CF=BC=5.
故答案为：5.
【分析】取BC的中点G，连接DG，根据三角形中位线的性质可得DG∥AC，根据平行线分线段成比例即可求得CF.
7．【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，，
，
，
解得：，
故答案为：4．
【分析】本题首先根据“两组线段分别平行的四边形是平行四边形”可以得出四边形为平行四边形，进而推出得出，然后列出等式，最后代入求解即可．
8．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴，
∵四边形ABCD是矩形
∴CD∥AB
∴∠DCE=∠CEB
∴∠DCE=∠DEC
∴CD=DE
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△CDF
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查矩形的性质，翻折的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟知翻折的性质与平行线分线段成比例定理是解题关键．
根据折叠的性质可知：BE=EF，∠BEC=∠ECF，根据矩形的性质：对边平行可知：CD∥AB，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DCE=∠CEB，等量代换得：∠DCE=∠DEC，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：CD=DE，设，则，结合CD∥AB可知：△AEF∽△CDF，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可知：，代入数据，列出关于x的方程，解得x的值即可得出答案．
9．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，
∵BE=2CF，CF=2，
∴BE=4，
∵矩形ABCD，
∴AN=CN=BN=DN，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，∠BAC=∠NCF=30°，
∵H是DE的中点，
∴HN是△BDE的中位线，
∴HN∥BE， HN== 2 ，
∴∠ABD=∠HNQ=30°，
∴ HQ ==1 ，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CF，
∵HN=CF=2，
∴四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，
∴∠HGQ=60°，
∴∠GHQ=30°，
∴ cos∠GHQ=cos30 °==，
∴ HG=1÷=，
故答案为：．
【分析】 如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN == 2，HQ==1，证明四边形HFCN是平行四边形，可得∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，求解∠GHQ=30°，再进一步求解即可。
10．【答案】2
【知识点】菱形的性质；平移的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB， BD⊥AC
∵∠BAD=60°，
∴三角形ABD是等边三角形，
∵菱形ABCD的边长为6cm，
∴AD=AB=BD=6cm
∴(cm)，
∴(cm)，
∵(cm)，
∴(cm)，
∵AD//A'E，
∴
∴
∴A'E=4(cm)，
∵，
∴(cm).
故答案为：2.
【分析】连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，根据菱形的性质可以证明三角形ABD是等边三角形，根据平移的性质可得AD//A'E，可得，解得A'E=4(cm)，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求出结论.
11．【答案】35或243
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：第①个图形黑色三角形有1个
第②个图形的黑色三角形有3=31个；
第③个图形的黑色三角形有9=32个；
....第n个图形的黑色三角形有个.
当n=6时，黑色三角形有243=35个.
故填：35或243.
【分析】由图①至图③的黑色三角形的个数增长特点可得其规律表达式，即可得结果.
12．【答案】500
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第1幅图中有1个菱形： ，
第2幅图中有3个菱形： ，
第3幅图中有5个菱形： ，
……
∴第幅图中有个菱形，
当时，
解得：，
故答案为：500．
【分析】先根据前3幅图中菱形的个数得到规律：第幅图中有个菱形，然后令，解方程求出的值即可.
13．【答案】114
【知识点】平面镶嵌（密铺）；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：从里向外的第1层有个正三角形，
第2层有个正三角形，
第3层有个正三角形，
第4层有个正三角形，
... ...
以此类推，第10层有个正三角形.
故答案为：114 .
【分析】观察图象可得每一层的正三角形比里一层多个，故第n层的正三角形个数为.
14．【答案】15
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒，
第（2）个图形有根火柴棒，
第（3）个图形有根火柴棒，
……
第（n）个图形有根火柴棒，
∴第（7）个图案中有根火柴棒，
故答案为：15
【分析】观察图形可得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可．
15．【答案】6073
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
第1个图案中的基础图形个数为：；
第2个图案中的基础图形个数为：；
第3个图案中的基础图形个数为：；
，
依次类推，第个图案中的基础图形个数为个．
∴当时，（个，
即第2024个图案中的基础图形个数为6073个．
故答案为：．
【分析】根据所给图形，依次求出图案中基础图形的个数，发现规律，并把n=2024代入，即可得到答案．
16．【答案】1012
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第一个图形需要3根火柴，第二个图形需要5根火柴，
∴第n个图形需要2n+1根火柴，
∴当2n+1=2=2023时，n=1011，
∴第2024根火柴在第1012个图形中.
故正确答案为：1012.
【分析】通过给出的已知，找到规律：第n个图形需要2n+1根火柴。然后可以看出2n+1是一个奇数，找出离2024最近的奇数2023，就可以知道第2024根火柴所在的图形了.
17．【答案】38
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据图形数量的算法知，第n个图形下上各有(n+1)个图形，左右两列各有n个，则第n个有图形2(n+1)+2n-4=4n-2，当n=10时，4-2=38个.
故答案为：38.
【分析】由图形的计算方法可找到图形变化的规律，得第n个有4n-2个图形，即知第10个图形的个数.
18．【答案】12；
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由图可得：
第1个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）；
第2个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）；
第3个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）；
....
第5个图案中灰色瓷砖块数为：（块）；白色瓷砖块数为：（块）；
依此类推，第个图案中灰色瓷砖块数为：（块）； 瓷砖块数为：（块）；
故答案为：；.
【分析】根据图形观察其规律，灰色瓷砖每次多两块，白色瓷砖每次多三块，列出式子即可.
19．【答案】15；
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由题意得第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个，
则第n堆小球共有，
第五堆小球共有：（个），
故答案为：15；．
【分析】先根据图结合题意得到第n堆小球共有，进而代入5即可求解。
20．【答案】32；3n+2
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题知，
第1个图形中白色正方形的个数为5=3+2，
第2个图形中白色正方形的个数为8=3×2+2，
第3个图形中白色正方形的个数为11=3×3+2，
…
第10个图形中白色正方形的个数为3×10+2=32，…
第 n个图形中白色正方形的个数为3n+2.
故答案为：32，3n+2.
【分析】 根据图形的变化规律得出每个图形都比前一个多3个白色正方形，归纳出第n个图形有3n+2个白色正方形即可．
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