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【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第19~20题
一、原题19
1．（2025·青海）如图， 直线. 与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B，与反比例函数 (m为常数， 的图象在第二象限交于点
（1）求反比例函数的解析式；
（2） 求 的面积.
【答案】（1）把点A(1，0)代入y=-x+b中
得0=-1+b
b=1
∴一次函数解析式为y=-x+1
把点C(-1，a)代入y=-x+1中
得a=1+1=2
∴点C的坐标为(-1，2)
把C(-1，2)代入 中，
得
∴反比例函数解析式为 (或写成 ）.
（2）解：过C点作 CH⊥y轴于点H，
∵C(-1，2) ∴CH=1
把x=0代入y=-x+1得， y=1.
∴B(0，1) ∴OB=1
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)先将点A代入一次函数表达式求出b的值，即可得点C的坐标，求出点C坐标并代入反比例函数解析式即可得k值；
(2)过点C作CH⊥y轴，求出点B的坐标即可得△BOC的面积.
二、变式1基础
2．（2025·连州模拟）一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式．
【答案】解：反比例函数的图象经过点，
反比例函数的解析式为．
一次函数的图象经过点
，
解得．
一次函数的解析式为．
综上一次函数解析式：
反比例函数解析式：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，利用待定系数法求解即可。
3．（2024九上·苍梧期中）若与都是反比例函数图象上的点，求n的值．
【答案】解：把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴．
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】
先把点A坐标代入解析式求出解析式，再求出当时的函数值即可得到答案，解答即可．
4．（2024·浙江模拟）已知平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数(为常数，)的图象都经过点和点，求的值．
【答案】解：反比例函数的图象经过点和点，
，即，
反比例函数为，
，即，
一次函数的图象经过点和点，
，解得，
，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】首先根据一次函数与反比例函数都经过A、B两点，利用待定系数法求出反比例函数的解析式和a的值，然后再次利用待定系数法将A、B两点的坐标代入一次函数中，列出二元一次方程组求出K1和b的值即可.
三、变式2巩固
5．（2025九下·瑞安开学考）如图，反比例函数与一次函数是常数，，的图象交于点.
（1）分别求出两个函数的表达式.
（2）根据图象，当时，请直接写出的取值范围：　 　.
【答案】（1）解：因为反比例函数经过点
所以，即，
因为一次函数的图象经过点，由题意得
，解得：，即
答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）：当时，即直线在曲线下方时自变量的取值范围，显然在第一象限内，自变量取值范围为：；第三象限内 ，自变量取值范围为：；综上所述，的取值范围为或。
故答案为：或.
【分析】（1）因为反比例函数的表达式可写成的形式，所以知道经过图象上一个点的坐标即可确定式；当反比例系数确定后，对其图象上任一点，知道横坐标即可求出纵坐标，反之亦然；对于一次函数，知道其图象上任意两点坐标，可利用待定系数法列方程组求得其函数表达式；
（2）比较两个函数值的大小，实质是观察直线与双曲线在交点左右的位置关系，位于上方的函数值大，注意在写自变量的取值范围时，时刻记住.
6．（2025·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，直线与轴，轴分别相交于点，．
（1）求的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围．
（2）求证：．
【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
将代入，
得：，
解得：，
根据图象可得当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围为；
（2）设直线的解析式为，
将，代入，
得：
解得：
直线的解析式为，
令，得：，
，
令，得：，
解得：，
，
点，，
，，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将A(6，1)代入(x>0)，即可求出k的值，根据图象便可以直接写出当直线在反比例函数图象上方时，必的取值范围；
(2)利用A(6，1)，B(1，6)可求出直线AB的解析式，再分别求出D(0，7)和C(7，0)，结合A(6，1)，B(1，6)，可求出AC和BD，则可得AC=BD，即可证明.
7．（2025八下·诸暨期末）如图，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A（1，2）和点B.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C（-2，0），判断直线BC与反比例函数图像除点B以外是否还有其他不同的交点，并说明理由。
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过点A（1，2），
∴代入点A（1，2）得，，解得k1=2，
∴反比例函数的表达式为.
（2）解：判断：没有.
理由：∵与 的图象都关于原点对称，A（1，2），
∴点B的坐标为（-1，-2）.
设直线BC的表达式为，代入B（-1，-2）和 C（-2，0），
得，解得，
∴直线BC的表达式为.
联立直线BC与反比例函数的表达式，得，解得，即直线BC与反比例函数的图象只有一个交点B（-1，-2）.
∴直线BC与反比例函数的图像除点B以外没有其他不同的交点.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的性质，将点的坐标代入反比例函数表达式中，求出k的值，即可求出解析式；
（2）判断：没有.理由：先根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标都互为相反数），可以直接得出点B的坐标；再使用待定系数法设直线BC的表达式，代入点B、C的坐标，求出k和b的值，从而确定直线BC的表达式；最后将直线BC的表达式和反比例函数的表达式联立，得到一个方程组，解这个方程组，得到的解只有一个，即只有点B这一个交点，所以除点B外没有其他不同的交点.
四、变式3提高
8．（2025·南通）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（1，5），点A，B关于原点对称．该函数图象上另有两点M1，M2，它们的横坐标分别为m，m+n，其中m＞1，n＞0．依次作直线AM1，BM1与y轴分别交于点C1，D1，直线AM2，BM2与y轴分别交于点C2，D2.记OC1﹣OD1＝d1，OC2﹣OD2＝d2．
（1）若m＝2，求OC1的长；
（2）求代数式（m+n） d2的值；
（3）当m（d1﹣d2）＝2d2，3（d1+d2）＝2n3时，求点D2关于直线AM2对称的点P的坐标．
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为，
将代入解析式，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点的横坐标为，且在反比例函数上，
∴，
设直线的解析式为，
将坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线与轴交于点，
∴，
∴
（2）解：∵点的横坐标为，且在反比例函数上，
∴，
设直线的解析式为，
将坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点，关于原点对称，
∴，
设直线的解析式为，
将将坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线，与轴分别交于点，，
∴，，
∴，
同理可得，
∴
（3）解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴，
∵，
∴同理求出直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点关于直线对称的点的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而得坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而得坐标，据此即可求出的长；
（2）利用待定系数法求出直线，的解析式，从而得的值，进而得的值，同理可求出的值，据此即可求解；
（3）结合（2）的结论求出，从而列方程求出，进而得，然后利用待定系数法求出直线，的解析式，于是得，由直角坐标系中两点距离公式以勾股定理逆定理证明是等腰直角三角形，据此即可求出点关于直线对称的点的坐标.
9．（2025·巴中）如图，直线与双曲线交于，两点．
（1）求和直线的表达式；
（2）根据函数图象直接写出不等式的解集；
（3）求△的面积．
【答案】（1）解：∵双曲线过点
∴
∴m=-12
∵点 在双曲线上
∴
∵直线过点，
∴
解得k=1，b=8
∴直线解析式为
（2）解：。
（3）解：设直线与x轴的交点为C，如图.
易求
∵，
∴
=24-8
=16
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；数形结合
【解析】【解析】解：(2)由图象可知，当自变量在A、B横坐标之间取值时，一次函数图象位于双曲线上方。
∴ 不等式的解集是。
【分析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m值，再将点B的横坐标代入反比例函数解析式就能进一步求出a值，然后利用A、B两点的坐标可以求出直线解析式；
(2)求不等式 的解集，就是求自变量在什么范围取值时，能让一次函数位于双曲线上方，数形结合可知；
(3)将 △的面积转化为△与△的面积之差，利用A、B、C三点的坐标可以分别求出△与△的面积，相减即得。
10．（2024九上·平阴期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
【答案】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数表达式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或；
（3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则，∴，
∵点关于原点对称，
∴，
∴，，
∴
，
即的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）首先根据点，可求得反比例函数表达式为，进而得出，再根据，，即可用待定系数法求得一次函数表达式为；
（2）纪委和函数图象，即可得出当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即可得出当时，的取值范围为或；
（）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解；
（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数表达式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或；
（3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
∴，
∵点关于原点对称，
∴，
∴，，
∴
，
即的面积为．
五、原题20
11．（2025·青海）如图， 在 中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作 交DO的延长线于点 E， 连接AD， BE.
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB=AC， 试判断四边形AEBD的形状；并证明.
【答案】（1）证明：情况①∵点O为AB的中点
∴OA=OB
∵ AE∥BC
∴∠EAO=∠OBD
∠AEO=∠BDO
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)
∴AE=BD
∵AE∥BD
∴四边形AEBD 是平行四边形
情况②∵点O为AB 的中点
∴OA=OB
∵AE∥BC
∴∠AEO=∠BDO
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)
∴OE=OD
∵OA=OB
∴四边形AEBD是平行四边形
情况③点O，D分别是边AB，BC的中点
∴OD∥AC
∵AE∥BC
∴四边形AEDC是平行四边形
∴AE=DC
∵点D 是边 BC的中点
∴BD=CD
∴AE=BD
且AE∥BC
∴四边形AEBD 是平行四边形
（2）证明： 当AB=AC时， 四边形AEBD是矩形
理由如下：
情况①∵AB=AC， 点D是BC边上的中点
∴AD⊥BC 即∠ADB=90°
∵由(1)得四边形 AEBD 是平行四边形
∴四边形AEBD是矩形
情况②∵点D，O分别是边BC，AB的中点
∴OD∥AC即DE∥AC
∵AE∥BC
∴四边形 AEDC是平行四边形
∴AC=DE
∵AB=AC
∴AB=DE
∵由 (1)得四边形AEBD是平行四边形
∴四边形AEBD 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【分析】(1)由中点和平行可证△AEO≌△BDO即可证明平行四边形；
(2)由AB=AC结合等腰三角形的性质可得∠ADB=90°，即可证矩形.
六、变式1（基础）
12．（2025八下·玉环期末） 如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵将线段EF两端分别延长至点A，C，使得AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵四边形BEDF为平行四边形
∴BF=DE，BF//DE，
∴∠AEB=∠CED，
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴AB=CD，∠BAF=∠DCE
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由AE=CF，推导出AF=CE，由平行四边形的性质得BF=DE，BF//DE，则∠AFB=∠CED，即可根据SAS”证明△ABC≌△CDA，得AB=CD，∠BAF=∠DCE，所以AB//CD，则四边形ABCD是平行四边形.
13．（2025八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵E，F分别是，的中点，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】因为四边形是平行四边形，所以，再由E，F分别是，的中点，可得，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，进而证得．
14．（2025八下·嵊州期末） 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD//BC，AD=BC
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
即DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由平行四边形的性质得∠A=∠C，AB=CD，AD//BC，AD=BC，再证明△ABE≌△CDF(AAS)，得AE=CF，进而证明DE=BF，然后由平行四边形的判定可得出结论.
七、变式2（巩固）
15．（2025八下·越城期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为点E，F.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若点E，F是的三等分点，，，求四边形的面积.
【答案】（1）证明：，，
，
在与中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：∵点E，F是BD的三等分点，BD=12，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，AC=6，
∴，，
∴OE=OF=6-4=2，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠AEO=90°，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD的面积是
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得∠AEB=∠CFD=90°，则AB//CD，得∠ABE=∠CDF，而BE=DF，即可根据“ASA”证明△ABE≌△CDF，得AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形；
(2)由点E，F是BD的三等分点，BD=12，求得BE=EF=DF，则OA=OC，OB=OD，即可求得OE=OF，所以四边形AECF是平行四边形，则，求得，进而即可得出答案.
16．（2025八下·永康期末）已知□ABCD。
（1）如图1，E是AD上一点，以点C为圆心，AE的长为半径作弧，交BC于点F，连结AF，CE。求证：四边形AFCE是平行四边形。
（2）图1中□AFCE的四个顶点在□ABCD的边上，这样的四边形叫□ABCD的内接四边形。在图2中用直尺和圆规作一个□ABCD的内接菱形（保留作图痕迹）。
【答案】（1）证明：由作图可得AE=CF
在□ABCD中，AD// BC，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点E，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F，连接EE，则菱形ABEF即为所求(答案不唯一).
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)四边形AFCB是平行四边形.由平行四边形的性质可得AD//BC，则可知四边形AFCE是平行四边形；
(2)结合平行四边形的性质、菱形的性质画图即可.
17．（2025八下·成都期末） 如图， 中，O是对角线的中点， 过点O作直线分别交于点E， F， 交的延长线分别于点 G， H，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，且，，， 求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AG//CH.
∴∠OAG=∠OCH，∠OGA=∠OHC，
在△AGO和△CBO中，
∴△AGO △CBO(AAS)，
∴AG=CH，
又∵AG//CH，
∴四边形AHCG是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AB//CD
∵AB⊥HG
∴CD⊥HG
∴∠DFG=∠DFE=∠BEH=∠BEF=90°
由(1)得：四边形AHCG是平行四边形
∴AG=CH，AG//CH
∴∠DGF=∠BHE.
AG-AD=CH-BC
即DG=BH，
在△DGF和△BHE中，
∴△DGF △BHE(AAS)
∴DF=BE=3.
∴AB=AE+BE=5+3=8，
∴平行四边形ABCD的面积=AB·EF=8×6=48
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出OA=OC，AG//CH，推出∠OAG=∠OCH，∠OGA=∠OHC，再证△AGO △CBO(AAS)，得出AG=CH，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得出AD=BC，AB//CD易证CD⊥HG，得出∠DFG=∠DFE=∠BEH=∠BEF=90°，再证△DGF≌△BHE(AAS)，得出DF=BE=3，求出AB=8，然后由平行四边形的面积公式即可得出结果.
八、变式3（提高）
18．（2025八下·奉化期末） 如图 1，已知线段，用无刻度的直尺和圆规作．
以下是小颖同学的作法：
如图 2，先作的平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点 E，连接并延长，再以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接，则四边形为平行四边形．
（1）小颖的作法是否正确？若正确，请给出证明．
（2）在图 1 中作一个与小颖不同的方法的（保留作图痕迹，不需要证明）．
（3）如图 3，在小颖同学的作法的条件下，连结，若 ，求四边形的面积．
【答案】（1）解：正确；
理由：根据作法可得：∠ABE=∠CBE，AB=AE，AD=BC.
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB
∴∠AEB=∠CBE
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形
（2）解：如图，以点C为圆心，AB为半径画圆弧，以点A为圆心，BC为半径画圆弧，两圆弧交于点D.
根据作法可知AB=CD，AD=BC，由两组对边相等的四边形即可判定ABCD是平行四边形
（3）解：过点C作CF⊥AD，F为垂足.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠D=180°，AD//BC，
∵∠A+∠BCE=180°，
∴∠D=∠BCE.
∵AD//BC，
∴∠CED=∠D
∴EC=CD.
∵CF⊥ED，
∴
在Rt△CFE中，CE=CD=AB=4，EF=1，则.
∴四边形ABCD的面积
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)根据小颖的作图可得∠ABE=∠CBE，AB=AE，AD=BC.然后根据等腰三角形的性质推出∠AEB=∠CBE，进而得到AD//BC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论；
(2)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出相应的作图即可；
(3)先证明CE=CD，然后由等腰三角形的性质并结合(2)中的结论，求出CF的长度，即可根据平行四边形的面积=底×高，求出答案.
19．（2025八下·龙岗期末）如图 1，在四边形 ABCD 中，，.
（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，如图 2，若 F 为 AB 边上一点，E 为 BC 边上的中点，连结 DF， EF， DE，若 ，证明 .
（3）在（1）的条件下，若 F 为 AB 边上的中点，E 为 BC 边上的一点，连结 DF， EF， DE，若 ，请直接写出线段 BE，CE，ED之间的数量关系.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°
∵∠A=∠C
∴∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）证明：延长FE，交DC延长线于点G
∵AB∥CD
∴∠B=∠ECG
∵BE=CE，∠BEF=∠CEG
∴△BEF≌△CEG(ASA)
∴EF=EG，BF=CG
∵∠DEF=90°
∴DE⊥FG
∴DE=DG
∴DF=DG=CD+CG=AB+BF=AF+BF+BF=AF+2BF
∴DF=AF+2BF
（3）DE=CE+2BE
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（3）延长EF交DA的延长线于点H
∵AD∥BC
∴∠HAF=∠B
∵F为AB边上的中点
∴AF=BF
∵∠AFH=∠BFE
∴△AFH≌△BFE(ASA)
∴AH=BE，FH=FE
∵∠DFE=90°
∴DH=DE
∵AD=BC=BE+CE
∴DE=DH=AH+AD=BE+BE+CE=CE+2BE
【分析】（1）根据直线平行性质可得∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，则∠B=∠D，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）延长FE，交DC延长线于点G，根据直线平行性质可得∠B=∠ECG，再根据全等三角形判定定理可得△BEF≌△CEG(ASA)，则EF=EG，BF=CG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长EF交DA的延长线于点H，根据直线平行性质可得∠HAF=∠B，再根据全等三角形判定定理可得△AFH≌△BFE(ASA)，则AH=BE，FH=FE，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．（2025八下·嵊州期末） 如图1，在平行四边形中，是上一点，连结，使，是上一点，满足．
（1）求证：．
（2）如图2，连结，过点作交于点，连结．
①求证：四边形为菱形．
②若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD//CB，
∴∠DAE=∠AEB
∵∠DFE=∠DAE+∠ADF，∠BAD=∠DAE+∠BAE，∠DFE=∠BAD，
∴∠DAE+∠ADF=∠DAE+∠BAE，
∴∠ADF=∠BAE.
在△ADF和△EAB中
∴△ADF≌△EAB(ASA)，
∴AF=EB
（2）解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，AB=CD.
∵AE=AD，
∴AE = BC，
∴AF+EF=BE+EC，
∵AF=EB，
∴EF=EC.
∵∠DFE=∠BAD，
∴∠DFE=∠BCD.
由(1)知：AADF=AEAB，
∴DF=AB，
∴DF=CD.
在△DEF和△DEC中，
∴△DEF≌△DEC(SAS)，
∴∠DEF=∠DEC，
∵FC//AD，
∴∠FGE=∠DEC
∴∠FGE=∠DEF
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形EFCG为平行四边形，
∵EF=EC，
∴四边形FECG为菱形.
②连接FG，FG交DE于点O，过点G作GH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴，∠B+∠BCD=180°
∴∠DCB=60°.
由(2)①知：DF=DC，
∵DF⊥DC，
∴△DEF为等腰直角三角形.
∴，∠DCF=45°，
∴∠ECF=15°，
∵四边形FECG为菱形，
∴DE⊥FC，FO=OC，OG=OE，∠GCF=∠ECF=15°，
∴∠DCG=45°-15°=30°，△OCD为等腰直角三角形，
∴∠ODC =45°
∵GH⊥CD，
∴GH=DH，CG=2GH，
∴，，
∵CD=DH+CH，
∴，
∴GH=1，
∴.
∵DO是等腰直角三角形DFC斜边上的高线，
∴，
∴
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)通过平行四边形性质和角的关系证明三角形全等，进而得出线段相等；
(2)①利用平行四边形性质、全等三角形性质和等腰三角形判定定理证明四边形为平行四边形，再结合邻边相等证明是菱形；
②通过作辅助线，利用等腰直角三角形、含30°角的直角三角形等性质求出相关线段长度，进而得出EG的长.
1 / 1【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第19~20题
一、原题19
1．（2025·青海）如图， 直线. 与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B，与反比例函数 (m为常数， 的图象在第二象限交于点
（1）求反比例函数的解析式；
（2） 求 的面积.
二、变式1基础
2．（2025·连州模拟）一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式．
3．（2024九上·苍梧期中）若与都是反比例函数图象上的点，求n的值．
4．（2024·浙江模拟）已知平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数(为常数，)的图象都经过点和点，求的值．
三、变式2巩固
5．（2025九下·瑞安开学考）如图，反比例函数与一次函数是常数，，的图象交于点.
（1）分别求出两个函数的表达式.
（2）根据图象，当时，请直接写出的取值范围：　 　.
6．（2025·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，直线与轴，轴分别相交于点，．
（1）求的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围．
（2）求证：．
7．（2025八下·诸暨期末）如图，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A（1，2）和点B.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点C（-2，0），判断直线BC与反比例函数图像除点B以外是否还有其他不同的交点，并说明理由。
四、变式3提高
8．（2025·南通）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（1，5），点A，B关于原点对称．该函数图象上另有两点M1，M2，它们的横坐标分别为m，m+n，其中m＞1，n＞0．依次作直线AM1，BM1与y轴分别交于点C1，D1，直线AM2，BM2与y轴分别交于点C2，D2.记OC1﹣OD1＝d1，OC2﹣OD2＝d2．
（1）若m＝2，求OC1的长；
（2）求代数式（m+n） d2的值；
（3）当m（d1﹣d2）＝2d2，3（d1+d2）＝2n3时，求点D2关于直线AM2对称的点P的坐标．
9．（2025·巴中）如图，直线与双曲线交于，两点．
（1）求和直线的表达式；
（2）根据函数图象直接写出不等式的解集；
（3）求△的面积．
10．（2024九上·平阴期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
五、原题20
11．（2025·青海）如图， 在 中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作 交DO的延长线于点 E， 连接AD， BE.
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB=AC， 试判断四边形AEBD的形状；并证明.
六、变式1（基础）
12．（2025八下·玉环期末） 如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形．
13．（2025八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：．
14．（2025八下·嵊州期末） 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形．
七、变式2（巩固）
15．（2025八下·越城期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为点E，F.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若点E，F是的三等分点，，，求四边形的面积.
16．（2025八下·永康期末）已知□ABCD。
（1）如图1，E是AD上一点，以点C为圆心，AE的长为半径作弧，交BC于点F，连结AF，CE。求证：四边形AFCE是平行四边形。
（2）图1中□AFCE的四个顶点在□ABCD的边上，这样的四边形叫□ABCD的内接四边形。在图2中用直尺和圆规作一个□ABCD的内接菱形（保留作图痕迹）。
17．（2025八下·成都期末） 如图， 中，O是对角线的中点， 过点O作直线分别交于点E， F， 交的延长线分别于点 G， H，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，且，，， 求的面积．
八、变式3（提高）
18．（2025八下·奉化期末） 如图 1，已知线段，用无刻度的直尺和圆规作．
以下是小颖同学的作法：
如图 2，先作的平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点 E，连接并延长，再以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接，则四边形为平行四边形．
（1）小颖的作法是否正确？若正确，请给出证明．
（2）在图 1 中作一个与小颖不同的方法的（保留作图痕迹，不需要证明）．
（3）如图 3，在小颖同学的作法的条件下，连结，若 ，求四边形的面积．
19．（2025八下·龙岗期末）如图 1，在四边形 ABCD 中，，.
（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，如图 2，若 F 为 AB 边上一点，E 为 BC 边上的中点，连结 DF， EF， DE，若 ，证明 .
（3）在（1）的条件下，若 F 为 AB 边上的中点，E 为 BC 边上的一点，连结 DF， EF， DE，若 ，请直接写出线段 BE，CE，ED之间的数量关系.
20．（2025八下·嵊州期末） 如图1，在平行四边形中，是上一点，连结，使，是上一点，满足．
（1）求证：．
（2）如图2，连结，过点作交于点，连结．
①求证：四边形为菱形．
②若，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）把点A(1，0)代入y=-x+b中
得0=-1+b
b=1
∴一次函数解析式为y=-x+1
把点C(-1，a)代入y=-x+1中
得a=1+1=2
∴点C的坐标为(-1，2)
把C(-1，2)代入 中，
得
∴反比例函数解析式为 (或写成 ）.
（2）解：过C点作 CH⊥y轴于点H，
∵C(-1，2) ∴CH=1
把x=0代入y=-x+1得， y=1.
∴B(0，1) ∴OB=1
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)先将点A代入一次函数表达式求出b的值，即可得点C的坐标，求出点C坐标并代入反比例函数解析式即可得k值；
(2)过点C作CH⊥y轴，求出点B的坐标即可得△BOC的面积.
2．【答案】解：反比例函数的图象经过点，
反比例函数的解析式为．
一次函数的图象经过点
，
解得．
一次函数的解析式为．
综上一次函数解析式：
反比例函数解析式：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，利用待定系数法求解即可。
3．【答案】解：把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴．
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】
先把点A坐标代入解析式求出解析式，再求出当时的函数值即可得到答案，解答即可．
4．【答案】解：反比例函数的图象经过点和点，
，即，
反比例函数为，
，即，
一次函数的图象经过点和点，
，解得，
，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】首先根据一次函数与反比例函数都经过A、B两点，利用待定系数法求出反比例函数的解析式和a的值，然后再次利用待定系数法将A、B两点的坐标代入一次函数中，列出二元一次方程组求出K1和b的值即可.
5．【答案】（1）解：因为反比例函数经过点
所以，即，
因为一次函数的图象经过点，由题意得
，解得：，即
答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）：当时，即直线在曲线下方时自变量的取值范围，显然在第一象限内，自变量取值范围为：；第三象限内 ，自变量取值范围为：；综上所述，的取值范围为或。
故答案为：或.
【分析】（1）因为反比例函数的表达式可写成的形式，所以知道经过图象上一个点的坐标即可确定式；当反比例系数确定后，对其图象上任一点，知道横坐标即可求出纵坐标，反之亦然；对于一次函数，知道其图象上任意两点坐标，可利用待定系数法列方程组求得其函数表达式；
（2）比较两个函数值的大小，实质是观察直线与双曲线在交点左右的位置关系，位于上方的函数值大，注意在写自变量的取值范围时，时刻记住.
6．【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
将代入，
得：，
解得：，
根据图象可得当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围为；
（2）设直线的解析式为，
将，代入，
得：
解得：
直线的解析式为，
令，得：，
，
令，得：，
解得：，
，
点，，
，，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将A(6，1)代入(x>0)，即可求出k的值，根据图象便可以直接写出当直线在反比例函数图象上方时，必的取值范围；
(2)利用A(6，1)，B(1，6)可求出直线AB的解析式，再分别求出D(0，7)和C(7，0)，结合A(6，1)，B(1，6)，可求出AC和BD，则可得AC=BD，即可证明.
7．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过点A（1，2），
∴代入点A（1，2）得，，解得k1=2，
∴反比例函数的表达式为.
（2）解：判断：没有.
理由：∵与 的图象都关于原点对称，A（1，2），
∴点B的坐标为（-1，-2）.
设直线BC的表达式为，代入B（-1，-2）和 C（-2，0），
得，解得，
∴直线BC的表达式为.
联立直线BC与反比例函数的表达式，得，解得，即直线BC与反比例函数的图象只有一个交点B（-1，-2）.
∴直线BC与反比例函数的图像除点B以外没有其他不同的交点.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的性质，将点的坐标代入反比例函数表达式中，求出k的值，即可求出解析式；
（2）判断：没有.理由：先根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标都互为相反数），可以直接得出点B的坐标；再使用待定系数法设直线BC的表达式，代入点B、C的坐标，求出k和b的值，从而确定直线BC的表达式；最后将直线BC的表达式和反比例函数的表达式联立，得到一个方程组，解这个方程组，得到的解只有一个，即只有点B这一个交点，所以除点B外没有其他不同的交点.
8．【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为，
将代入解析式，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点的横坐标为，且在反比例函数上，
∴，
设直线的解析式为，
将坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线与轴交于点，
∴，
∴
（2）解：∵点的横坐标为，且在反比例函数上，
∴，
设直线的解析式为，
将坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点，关于原点对称，
∴，
设直线的解析式为，
将将坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线，与轴分别交于点，，
∴，，
∴，
同理可得，
∴
（3）解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴，
∵，
∴同理求出直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点关于直线对称的点的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而得坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而得坐标，据此即可求出的长；
（2）利用待定系数法求出直线，的解析式，从而得的值，进而得的值，同理可求出的值，据此即可求解；
（3）结合（2）的结论求出，从而列方程求出，进而得，然后利用待定系数法求出直线，的解析式，于是得，由直角坐标系中两点距离公式以勾股定理逆定理证明是等腰直角三角形，据此即可求出点关于直线对称的点的坐标.
9．【答案】（1）解：∵双曲线过点
∴
∴m=-12
∵点 在双曲线上
∴
∵直线过点，
∴
解得k=1，b=8
∴直线解析式为
（2）解：。
（3）解：设直线与x轴的交点为C，如图.
易求
∵，
∴
=24-8
=16
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；数形结合
【解析】【解析】解：(2)由图象可知，当自变量在A、B横坐标之间取值时，一次函数图象位于双曲线上方。
∴ 不等式的解集是。
【分析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m值，再将点B的横坐标代入反比例函数解析式就能进一步求出a值，然后利用A、B两点的坐标可以求出直线解析式；
(2)求不等式 的解集，就是求自变量在什么范围取值时，能让一次函数位于双曲线上方，数形结合可知；
(3)将 △的面积转化为△与△的面积之差，利用A、B、C三点的坐标可以分别求出△与△的面积，相减即得。
10．【答案】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数表达式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或；
（3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则，∴，
∵点关于原点对称，
∴，
∴，，
∴
，
即的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）首先根据点，可求得反比例函数表达式为，进而得出，再根据，，即可用待定系数法求得一次函数表达式为；
（2）纪委和函数图象，即可得出当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即可得出当时，的取值范围为或；
（）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解；
（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数表达式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或；
（3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
∴，
∵点关于原点对称，
∴，
∴，，
∴
，
即的面积为．
11．【答案】（1）证明：情况①∵点O为AB的中点
∴OA=OB
∵ AE∥BC
∴∠EAO=∠OBD
∠AEO=∠BDO
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)
∴AE=BD
∵AE∥BD
∴四边形AEBD 是平行四边形
情况②∵点O为AB 的中点
∴OA=OB
∵AE∥BC
∴∠AEO=∠BDO
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)
∴OE=OD
∵OA=OB
∴四边形AEBD是平行四边形
情况③点O，D分别是边AB，BC的中点
∴OD∥AC
∵AE∥BC
∴四边形AEDC是平行四边形
∴AE=DC
∵点D 是边 BC的中点
∴BD=CD
∴AE=BD
且AE∥BC
∴四边形AEBD 是平行四边形
（2）证明： 当AB=AC时， 四边形AEBD是矩形
理由如下：
情况①∵AB=AC， 点D是BC边上的中点
∴AD⊥BC 即∠ADB=90°
∵由(1)得四边形 AEBD 是平行四边形
∴四边形AEBD是矩形
情况②∵点D，O分别是边BC，AB的中点
∴OD∥AC即DE∥AC
∵AE∥BC
∴四边形 AEDC是平行四边形
∴AC=DE
∵AB=AC
∴AB=DE
∵由 (1)得四边形AEBD是平行四边形
∴四边形AEBD 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【分析】(1)由中点和平行可证△AEO≌△BDO即可证明平行四边形；
(2)由AB=AC结合等腰三角形的性质可得∠ADB=90°，即可证矩形.
12．【答案】证明：∵将线段EF两端分别延长至点A，C，使得AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵四边形BEDF为平行四边形
∴BF=DE，BF//DE，
∴∠AEB=∠CED，
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴AB=CD，∠BAF=∠DCE
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由AE=CF，推导出AF=CE，由平行四边形的性质得BF=DE，BF//DE，则∠AFB=∠CED，即可根据SAS”证明△ABC≌△CDA，得AB=CD，∠BAF=∠DCE，所以AB//CD，则四边形ABCD是平行四边形.
13．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵E，F分别是，的中点，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】因为四边形是平行四边形，所以，再由E，F分别是，的中点，可得，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，进而证得．
14．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD//BC，AD=BC
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
即DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由平行四边形的性质得∠A=∠C，AB=CD，AD//BC，AD=BC，再证明△ABE≌△CDF(AAS)，得AE=CF，进而证明DE=BF，然后由平行四边形的判定可得出结论.
15．【答案】（1）证明：，，
，
在与中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：∵点E，F是BD的三等分点，BD=12，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，AC=6，
∴，，
∴OE=OF=6-4=2，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠AEO=90°，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD的面积是
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得∠AEB=∠CFD=90°，则AB//CD，得∠ABE=∠CDF，而BE=DF，即可根据“ASA”证明△ABE≌△CDF，得AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形；
(2)由点E，F是BD的三等分点，BD=12，求得BE=EF=DF，则OA=OC，OB=OD，即可求得OE=OF，所以四边形AECF是平行四边形，则，求得，进而即可得出答案.
16．【答案】（1）证明：由作图可得AE=CF
在□ABCD中，AD// BC，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点E，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F，连接EE，则菱形ABEF即为所求(答案不唯一).
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)四边形AFCB是平行四边形.由平行四边形的性质可得AD//BC，则可知四边形AFCE是平行四边形；
(2)结合平行四边形的性质、菱形的性质画图即可.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AG//CH.
∴∠OAG=∠OCH，∠OGA=∠OHC，
在△AGO和△CBO中，
∴△AGO △CBO(AAS)，
∴AG=CH，
又∵AG//CH，
∴四边形AHCG是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AB//CD
∵AB⊥HG
∴CD⊥HG
∴∠DFG=∠DFE=∠BEH=∠BEF=90°
由(1)得：四边形AHCG是平行四边形
∴AG=CH，AG//CH
∴∠DGF=∠BHE.
AG-AD=CH-BC
即DG=BH，
在△DGF和△BHE中，
∴△DGF △BHE(AAS)
∴DF=BE=3.
∴AB=AE+BE=5+3=8，
∴平行四边形ABCD的面积=AB·EF=8×6=48
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出OA=OC，AG//CH，推出∠OAG=∠OCH，∠OGA=∠OHC，再证△AGO △CBO(AAS)，得出AG=CH，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得出AD=BC，AB//CD易证CD⊥HG，得出∠DFG=∠DFE=∠BEH=∠BEF=90°，再证△DGF≌△BHE(AAS)，得出DF=BE=3，求出AB=8，然后由平行四边形的面积公式即可得出结果.
18．【答案】（1）解：正确；
理由：根据作法可得：∠ABE=∠CBE，AB=AE，AD=BC.
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB
∴∠AEB=∠CBE
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形
（2）解：如图，以点C为圆心，AB为半径画圆弧，以点A为圆心，BC为半径画圆弧，两圆弧交于点D.
根据作法可知AB=CD，AD=BC，由两组对边相等的四边形即可判定ABCD是平行四边形
（3）解：过点C作CF⊥AD，F为垂足.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠D=180°，AD//BC，
∵∠A+∠BCE=180°，
∴∠D=∠BCE.
∵AD//BC，
∴∠CED=∠D
∴EC=CD.
∵CF⊥ED，
∴
在Rt△CFE中，CE=CD=AB=4，EF=1，则.
∴四边形ABCD的面积
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)根据小颖的作图可得∠ABE=∠CBE，AB=AE，AD=BC.然后根据等腰三角形的性质推出∠AEB=∠CBE，进而得到AD//BC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论；
(2)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出相应的作图即可；
(3)先证明CE=CD，然后由等腰三角形的性质并结合(2)中的结论，求出CF的长度，即可根据平行四边形的面积=底×高，求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°
∵∠A=∠C
∴∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）证明：延长FE，交DC延长线于点G
∵AB∥CD
∴∠B=∠ECG
∵BE=CE，∠BEF=∠CEG
∴△BEF≌△CEG(ASA)
∴EF=EG，BF=CG
∵∠DEF=90°
∴DE⊥FG
∴DE=DG
∴DF=DG=CD+CG=AB+BF=AF+BF+BF=AF+2BF
∴DF=AF+2BF
（3）DE=CE+2BE
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（3）延长EF交DA的延长线于点H
∵AD∥BC
∴∠HAF=∠B
∵F为AB边上的中点
∴AF=BF
∵∠AFH=∠BFE
∴△AFH≌△BFE(ASA)
∴AH=BE，FH=FE
∵∠DFE=90°
∴DH=DE
∵AD=BC=BE+CE
∴DE=DH=AH+AD=BE+BE+CE=CE+2BE
【分析】（1）根据直线平行性质可得∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，则∠B=∠D，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）延长FE，交DC延长线于点G，根据直线平行性质可得∠B=∠ECG，再根据全等三角形判定定理可得△BEF≌△CEG(ASA)，则EF=EG，BF=CG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长EF交DA的延长线于点H，根据直线平行性质可得∠HAF=∠B，再根据全等三角形判定定理可得△AFH≌△BFE(ASA)，则AH=BE，FH=FE，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD//CB，
∴∠DAE=∠AEB
∵∠DFE=∠DAE+∠ADF，∠BAD=∠DAE+∠BAE，∠DFE=∠BAD，
∴∠DAE+∠ADF=∠DAE+∠BAE，
∴∠ADF=∠BAE.
在△ADF和△EAB中
∴△ADF≌△EAB(ASA)，
∴AF=EB
（2）解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，AB=CD.
∵AE=AD，
∴AE = BC，
∴AF+EF=BE+EC，
∵AF=EB，
∴EF=EC.
∵∠DFE=∠BAD，
∴∠DFE=∠BCD.
由(1)知：AADF=AEAB，
∴DF=AB，
∴DF=CD.
在△DEF和△DEC中，
∴△DEF≌△DEC(SAS)，
∴∠DEF=∠DEC，
∵FC//AD，
∴∠FGE=∠DEC
∴∠FGE=∠DEF
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形EFCG为平行四边形，
∵EF=EC，
∴四边形FECG为菱形.
②连接FG，FG交DE于点O，过点G作GH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴，∠B+∠BCD=180°
∴∠DCB=60°.
由(2)①知：DF=DC，
∵DF⊥DC，
∴△DEF为等腰直角三角形.
∴，∠DCF=45°，
∴∠ECF=15°，
∵四边形FECG为菱形，
∴DE⊥FC，FO=OC，OG=OE，∠GCF=∠ECF=15°，
∴∠DCG=45°-15°=30°，△OCD为等腰直角三角形，
∴∠ODC =45°
∵GH⊥CD，
∴GH=DH，CG=2GH，
∴，，
∵CD=DH+CH，
∴，
∴GH=1，
∴.
∵DO是等腰直角三角形DFC斜边上的高线，
∴，
∴
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)通过平行四边形性质和角的关系证明三角形全等，进而得出线段相等；
(2)①利用平行四边形性质、全等三角形性质和等腰三角形判定定理证明四边形为平行四边形，再结合邻边相等证明是菱形；
②通过作辅助线，利用等腰直角三角形、含30°角的直角三角形等性质求出相关线段长度，进而得出EG的长.
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