资源简介

【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~22题
一、原题21
1．（2025·青海） 数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F， 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( 夹角，这样更贴合作物的生长规律.
【答案】问题1：过点O作OH⊥EF于点H
AEF=CFE=65
EH=FH=EF=0.3m
在RtOEH中，
即有，解得OE=0.7m
问题2：0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：问题2：由问题1知OE=0.71m，而AB=1.8m，故此时OA=AB-BE-OE=1.8-0.3-0.7=0.8m
【分析】作OH⊥EF于点H，利用余弦可得OE的长，进而可得OA的长.
二、变式1基础
2．（2025·宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：）
【答案】解：过点作于点，
设，则由题意得，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此河流的宽度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由于三角形两个内角的度数已知，则可过顶点C作对边AB的垂线段CD构造和，再分别解直角三角形，即利用和的正切函数建立关于CD的一元一次方程并求解即可.
3．（2025·双流模拟）小明寒假去乡下爷爷家，看到爷爷家房屋结构如图所示，好奇的小明想测量房屋最高点到地面的距离．他发现为的中点，并根据实际情况测量出房屋的宽度为米，屋檐的长为米，屋檐与地面平行，并在与，处于同一直线的点处测得，请根据以上信息，帮小明求出到地面的距离(结果精确到米；参考数据：，，，，，)．
【答案】解：如图，过点作于，设交于点，
根据题意，，
为的中点，，
，
，
，
，
在中，（米），
（米），
设，则，
在中，，
同理，在中，
，
∴
解得，
即（米），
（米），
即到地面的距离为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用。
首先利用中点求出BP、EH的长，结合，求出，在中，利用三角函数值可以求出长，在和在分别利用正切公式表示出，，然后利用，求出的长，从而得到结果．
4．（2024·银川模拟）如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，，时，求操作平台G到l的距离．
【答案】解：如图，过点G作于点H，过点F分别作于点M，交BC于点P，于点N，
则，
在中，，，
∴，
∵点E到地面l的距离为2米，四边形为矩形，点B，C在地面l上，
∴，，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴操作平台G到l的距离为米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点G作于点H，过点F分别作于点M，交BC于点P，于点N，在中，利用解直角三角形求出FM的长；易证四边形和四边形是矩形，利用矩形的性质可求出MP，NH的长，同时可求出∠GFN的度数，然后在中，利用解直角三角形求出GN的长，根据GH=GN+NH，代入计算求出GH的长即可.
三、变式2巩固
5．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都沿逆时针方向做匀速圆周运动，每旋转一周用时 120秒.
问题设置：把筒车抽象为一个半径为2米的⊙O，如图②.OM始终垂直于水平面，在某一时刻，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决：
（1）求∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.(结果精确到0.1米，参考数据：
【答案】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒，
∴每秒转过
∴经过95秒后转过3
∴
（2）解：过点B，点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C， D， 如图所示：
在 中， 米， (米)。
在 中， 米， (米) ，
(米) ，
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.
【知识点】圆的相关概念；解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】(1)先求出旋转速度，然后根据旋转时间求出结果即可；
(2)过点B，点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C，D，解直角三角形先求出 米，O 米 ，最后求出结果即可.
6．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
7．（2024九上·祁东期末）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点到地面的距离；
（2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
（2）顶部线段的长为．解：如图，过点作，垂足为，
，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
【知识点】平行线之间的距离；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过点作，交的延长线于点，在中解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为在中，解直角三角形即可得解．
（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
（2）解：如图，过点作，垂足为
，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
四、变式3提高
8．（2025·深圳三模）在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象. 某学习小组设计了如图所示的实验. 水槽横截面为矩形 MNFD，，O 为水槽水面 DF 的中点，水深 . 如图（a），小明同学从高出水面 30 cm 的 A 处发出一束激光，射到水槽水面上的 O 处，光在水中的路径为 OB，C 为水槽底部 MN 的中点，测得 .（图中点 M，C，B，N 在同一直线上；点 A，P，R，D，M 在同一直线上）
（1）【问题初探】
如图（a），， 分别为入射角、折射角，则 　 　，　 　.
（2）【深入探究】
小组成员探究如何才能使折射光线经过点 C.
① 小张同学设计了如图（b）所示的实验，在保持光线出发点 A、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点 C，请求出增加的水面高度 DP 的值.
② 小刚同学设计了如图（c）所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点 A 降至点 R，也能使得折射光线经过点 C. 请求出下降高度 AR 的值.
（3）【问题拓展】
小组讨论后，认为在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低 x cm，同时增加水面高度 y cm，也能使得折射光线经过点 C，请求出 y 与 x 之间的函数关系.
【答案】（1）；
（2）解：设DP=m cm，则HG=(20+m)cm，AP=(30-m)cm，那么
在图1中，，
在图2中，，
由题意得
解得m=12cm
答：DP为12cm
②如图，设AR为n cm，则DR为(30-n)cm，DT=30cm，
由题意得
解得cm
（3）解：设AW为xcm，设DT=ycm，
则WT为，，，
解得：
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【分析】（1）观察图形知，四边形ODMC为矩形，其中OD=40，AD=30，由平行线的性质可得，则；同理；
（2） ① 如图所示，过点H作MN的垂线段HG，则四边形PHGM为矩形，设DP=m，则AP=30-m，HG=20+m，先解可得，则，再解可得，再利用HG与DM的差等于PD列方程并求解即可；
② 如图所示，过点C作OB的平行线交水面DF于点T，则OT=BC=10，即DT=OD-OT=30，再过T作MN的垂线段TP、作TR平行OA交AM于点R，设AR=n，则RD=30-n，同理可得；
（3）如图所示，设降低的高度AW=x，水面上升的高度TD-y，则WT=30-x-y，CX=20+y，则由入射角和折射角不变得，、，所以，再整理即可.
9．（2025九下·南宁月考）综合与实践
素材1 图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摇臂绕点O旋转过程中，遮阳蓬可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，，．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻12点13点14点15点角的正切值421
素材3 小明身高（头顶到地面的距离）约为1m，如图2，小明所站的位置离墙角的距离（）为1.2m．
问题解决
任务1 确定角度 在这天14点时，小明所站位置刚好不被阳光照射到，则_____．
任务2 确定高度 在这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，求固定点O到墙角的距离（）的长．
任务3 判断是否碰到蓬面 如图3，为不被阳光照射到，旋转摇臂，B的对应点为判断是否碰到蓬面，使得离墙壁距离为米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？
【答案】任务1：1；任务2：米；任务3：他的头顶不会碰到遮阳蓬面．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
10．（2023·平阳模拟）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．
素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）．
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长．
【任务2】如图3，求劣弧的弓高．
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
【答案】解：【任务1】如图，
由题意得，
设 则
【任务2】如图，取BD的中点O，连接OF交CD于点E， 则
∴BD为直径，∴点O为圆心，
∴OE是 的中位线，
∴弧CD的弓高
【任务3】如图，连接 交CD于点G，作 于点H，
由题意得，此时 与太阳光线平行，则
∴点G为CD的中点，
∴，
，
∴点. 到CD的距离为
即遮阳篷点D上升高度的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】【任务1】根据三角函数值，可设 则 根据 列出方程即可；
【任务2】取BD的中点O，则点O为圆心，连接OF交CD于点E， 则 根据三角形中位线定理得OE的长，进而得出EF的长；
【任务3】连接 交CD于点G， 作 于点H，根据 ，可得CG的长，再利用 求出 的长，再利用三角函数求出 即可.
五、原题22
11．（2025·青海）如图， 线段AB经过圆心O， 交⊙O于点A， C， AD为⊙O的弦， 连接BD，∠A=∠B=30°.
（1） 求证： 直线 BD是⊙O的切线；
（2） 已知BC=2， 求 的长(结果保留π).
【答案】（1）证明： 连接OD
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=120°
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA=30°
∴OD⊥BD
且 OD是⊙O的半径
∴直线BD是⊙O 的切线
（2）在Rt△DOB中， ∠ODB=90°，∠B=30°
设OD=OC=r
解得r=2·
∵∠DOB=∠A+∠ODA=30°+30°=60°或
∵∠DOB=180°-∠ODB-∠B=60°
【知识点】切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【分析】(1)连接OD，根据圆的性质得∠ODB=90°即可证切线；
(2)设半径为r，利用特殊角的边角关系可得半径，即可求弧长.
六、变式1（基础）
12．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.
【答案】证明：连接OD；
∵AD平行于OC，
∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；
∵∠ODA=∠A，
∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠CDO=∠CBO=90°．
∴DC是⊙O的切线.
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】
连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可.根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线.
13．（2024九上·柳州期末）已知：如图，PA是⊙O的切线，A是切点．B为⊙O上一点，PA＝PB．求证：PB是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OA、OB、OP，如图：
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP和△OAP中，，
∴△OBP≌△OAP（SSS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴PB⊥OB，
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线．
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得到PA⊥OA，再根据三角形全等的判定与性质证明△OBP≌△OAP（SSS）得到∠OBP＝∠OAP＝90°，进而根据切线的判定即可求解。
14．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切。
【答案】证明：连接OC，作OD⊥PB于点D，如下图：
∵⊙O与PA相切于点C，
∴
∵，OP平分∠APB，
∴
∴直线PB与⊙O相切.
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】连接OC，作OD⊥PB于点D，根据相切的性质得到然后根据角平分线的性质得到进而即可求解.
七、变式2（巩固）
15．（2025·凉州模拟）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求及的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线。
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为。
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）连接，根据切线定理，可得，又根据平分，可得，，易证，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，根据是的半径，即可证明。
（2）连接，设，则，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值，进而即可求出的长；根据（1）中可知，可得，设，则，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的长，最后根据，然后代入数据即可求解。
（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为．
16．（2025·凉州模拟）如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，过点D作于点H．
为的切线，
．
又平分，
．
是的切线．
（2）解：平分，，
，
，
的长为．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）过点D作于点H，由切线的性质可得，再根据角平分线的性质可得即可；
（2）由角平分的概念可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据弧长公式求解即可．
（1）证明：如图，过点D作于点H．
为的切线，
．
又平分，
．
是的切线．
（2）解：平分，，
，
，
的长为．
17．（2025·苏州）如图，在四边形ABCD 中，. .以AB 为直径的⊙O经过点D，且与边CD 交于点 E，连接AE，BE.
（1）求证：BC为⊙O 的切线；
（2）若 求BE 的长.
【答案】（1）证明： ∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴， 即，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解： 如图， 过点作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先结合等腰三角形“等边对等角”性质得，根据直径所对的圆周角是直角得，从而求出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）过点作于，根据圆周角定理得，从而解直角三角形求出，进而利用勾股定理得，然后推出，得，解直角三角形求出，根据等腰三角形“三线合一”性质得，接下来结合圆内接四边形对角互补推出，最后根据等腰三角形的判定求出.
八、变式3（提高）
18．如图，AB 为⊙O的直径，点C 为⊙O 上一点，连接AC，BC，点 D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD=∠A.
（1）求证：CD 是⊙O 的切线.
（2）若⊙O 的半径为 ，△ABC 的面积为2 ，求CD 的长.
（3）在(2)的条件下，点 E 为⊙O 上一点，连接CE 交线段OA 于点F，若 求 BF 的长.
【答案】（1）证明： 连接OC， 如图：
∵ AB为⊙O的直径，
又
∴∠BCD+∠BCO=90°， 即∠DCO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：过C作CM⊥AB于M， 过B作BN⊥CD于N， 如图：
∵⊙O的半径为
∵△ABC的面积为
即
∴CM=2，
Rt△BCM中， ∠BCM=90°-∠CBA，
Rt△ABC中， ∠A=90°—∠CBA，
∴∠BCM=∠A，
即
解得 已舍去) ，
而
即
解得
（3）解：过C作 于M， 过E作. 于H， 连接OE， 如图：
由 (2) 知
中，
设 则
由 可得：
解得：
【知识点】切线的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)连接OC， 由AB为oO的直径， 可得∠A+∠ABC =90°， 再证明∠ABC =∠BCO，结合已知∠BCD=∠A， 可得∠OCD=90°， 从而证明CD是⊙O的切线；
(2)过C作CM⊥AB于M， 过B作BN⊥CD于N，由△ABC的面积为 ， 可得CM=2， 由∠BCM=∠A得 可解得 根据△BCM≌△BCN，可得CN=CM= 2， 再由△DBN∽△DCM，得 求出ND长 即可解题；
(3)过C作CM⊥AB于M， 过E作EH⊥AB于H，连接OE， 由CM⊥AB， EH⊥AB， 可得 而 故HE=1， MF=2HF， Rt△OEH中， OH=2， 可得AH=OA﹣OH= ﹣ 2， 设HF =x， 则MF =2x， 则 ( 可解得HF=1， MF=2， 从而求出PF长解题.
19． 如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是 上的一点，且∠BDE=∠CBE，BD 与AE 交于点F.
（1）求证：BC 是⊙O的切线.
（2）若 BD 平分∠ABE，求证：
（3）在(2)的条件下，延长ED，BA 交于点P，若PA=AO，DE=2，求 PD的长和⊙O 的半径.
【答案】（1）证明： ∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EDB=∠EAB， ∠BDE=∠CBE，
∴∠EAB=∠CBE，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是圆O的直径，
∴BC是圆O的切线
（2）证明：∵ BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE，AD =
∴∠DEA=∠DBE，
∵∠EDB=∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
（3）解：连接DA、DO，
∵DE=2，
∴PD=4，
∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠PDA=∠ABE，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴∠PDA=∠AOD，
∵∠P=∠P，
∴△PDA∽△POD，
设OA=x，
∴PA=x， PO=2x，
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可得出再由已知得则 从而证得BC是圆O的切线；
(2)通过证得得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论.
(3) 连接DA、DO， 先证得OD∥BE， 得出 ，然后根据已知条件得出 求得 ， 通过证得得出 设 则 得出 求出x的值即可解题.
20．如图①，D为⊙O上一点，点C在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD.
（1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
（2）若 求⊙O 的半径.
（3）如图②，在(2)的条件下，∠ADB 的平分线DE 交⊙O 于点E，交AB 于点F，连接BE.求sin∠DBE 的值.
【答案】（1）解：CD与☉O相切，
理由：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠CBD
∵∠CDA=∠CBD
∴∠CDA=∠ODB
∵AB为☉O的直径，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°
∴∠CDA+∠ADO =90°，
∴∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与☉O相切
（2）解：由(1)知，∠CBD=∠ADC，
∵，
∴
在Rt△ADB中，
∵∠C=∠C，∠ADC=∠CBD，
∴△CAD∽△CDB
∴
∴
∴
∴AB=CB-CA=8-2=6，
∴，
∴☉O的半径为3
（3）解：如答图，连接OE，过点E作EG⊥BD于点G，
∠BOE=90°， 由 得
设DG=EG=x，则
由 得 或 (舍去)，
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)CD与☉O相切，理由：连接OD，先判断出∠CDA=∠ODB，再根据∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，判断出∠CDO =90°，即可得出结论；
(2)先判断出，进而得出，再判断出△CAD∽△CDB，得，求出CD，CB，即可得出结论；
(3)连接OE，过点E作EG⊥BD于点G，先判断出∠BOE=90°，进而求出，再利用勾股定理求出，，再判断出DG=EG，设DG=EG=x，则，再用勾股定理求出x，即可得出结论.
1 / 1【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~22题
一、原题21
1．（2025·青海） 数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F， 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( 夹角，这样更贴合作物的生长规律.
二、变式1基础
2．（2025·宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：）
3．（2025·双流模拟）小明寒假去乡下爷爷家，看到爷爷家房屋结构如图所示，好奇的小明想测量房屋最高点到地面的距离．他发现为的中点，并根据实际情况测量出房屋的宽度为米，屋檐的长为米，屋檐与地面平行，并在与，处于同一直线的点处测得，请根据以上信息，帮小明求出到地面的距离(结果精确到米；参考数据：，，，，，)．
4．（2024·银川模拟）如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，，时，求操作平台G到l的距离．
三、变式2巩固
5．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都沿逆时针方向做匀速圆周运动，每旋转一周用时 120秒.
问题设置：把筒车抽象为一个半径为2米的⊙O，如图②.OM始终垂直于水平面，在某一时刻，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决：
（1）求∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.(结果精确到0.1米，参考数据：
6．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
7．（2024九上·祁东期末）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．
成果梳理 ……
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点到地面的距离；
（2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
四、变式3提高
8．（2025·深圳三模）在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象. 某学习小组设计了如图所示的实验. 水槽横截面为矩形 MNFD，，O 为水槽水面 DF 的中点，水深 . 如图（a），小明同学从高出水面 30 cm 的 A 处发出一束激光，射到水槽水面上的 O 处，光在水中的路径为 OB，C 为水槽底部 MN 的中点，测得 .（图中点 M，C，B，N 在同一直线上；点 A，P，R，D，M 在同一直线上）
（1）【问题初探】
如图（a），， 分别为入射角、折射角，则 　 　，　 　.
（2）【深入探究】
小组成员探究如何才能使折射光线经过点 C.
① 小张同学设计了如图（b）所示的实验，在保持光线出发点 A、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点 C，请求出增加的水面高度 DP 的值.
② 小刚同学设计了如图（c）所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点 A 降至点 R，也能使得折射光线经过点 C. 请求出下降高度 AR 的值.
（3）【问题拓展】
小组讨论后，认为在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低 x cm，同时增加水面高度 y cm，也能使得折射光线经过点 C，请求出 y 与 x 之间的函数关系.
9．（2025九下·南宁月考）综合与实践
素材1 图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摇臂绕点O旋转过程中，遮阳蓬可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，，．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻12点13点14点15点角的正切值421
素材3 小明身高（头顶到地面的距离）约为1m，如图2，小明所站的位置离墙角的距离（）为1.2m．
问题解决
任务1 确定角度 在这天14点时，小明所站位置刚好不被阳光照射到，则_____．
任务2 确定高度 在这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，求固定点O到墙角的距离（）的长．
任务3 判断是否碰到蓬面 如图3，为不被阳光照射到，旋转摇臂，B的对应点为判断是否碰到蓬面，使得离墙壁距离为米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？
10．（2023·平阳模拟）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．
素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）．
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长．
【任务2】如图3，求劣弧的弓高．
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
五、原题22
11．（2025·青海）如图， 线段AB经过圆心O， 交⊙O于点A， C， AD为⊙O的弦， 连接BD，∠A=∠B=30°.
（1） 求证： 直线 BD是⊙O的切线；
（2） 已知BC=2， 求 的长(结果保留π).
六、变式1（基础）
12．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.
13．（2024九上·柳州期末）已知：如图，PA是⊙O的切线，A是切点．B为⊙O上一点，PA＝PB．求证：PB是⊙O的切线．
14．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切。
七、变式2（巩固）
15．（2025·凉州模拟）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求及的长．
16．（2025·凉州模拟）如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
17．（2025·苏州）如图，在四边形ABCD 中，. .以AB 为直径的⊙O经过点D，且与边CD 交于点 E，连接AE，BE.
（1）求证：BC为⊙O 的切线；
（2）若 求BE 的长.
八、变式3（提高）
18．如图，AB 为⊙O的直径，点C 为⊙O 上一点，连接AC，BC，点 D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD=∠A.
（1）求证：CD 是⊙O 的切线.
（2）若⊙O 的半径为 ，△ABC 的面积为2 ，求CD 的长.
（3）在(2)的条件下，点 E 为⊙O 上一点，连接CE 交线段OA 于点F，若 求 BF 的长.
19． 如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是 上的一点，且∠BDE=∠CBE，BD 与AE 交于点F.
（1）求证：BC 是⊙O的切线.
（2）若 BD 平分∠ABE，求证：
（3）在(2)的条件下，延长ED，BA 交于点P，若PA=AO，DE=2，求 PD的长和⊙O 的半径.
20．如图①，D为⊙O上一点，点C在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD.
（1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
（2）若 求⊙O 的半径.
（3）如图②，在(2)的条件下，∠ADB 的平分线DE 交⊙O 于点E，交AB 于点F，连接BE.求sin∠DBE 的值.
答案解析部分
1．【答案】问题1：过点O作OH⊥EF于点H
AEF=CFE=65
EH=FH=EF=0.3m
在RtOEH中，
即有，解得OE=0.7m
问题2：0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：问题2：由问题1知OE=0.71m，而AB=1.8m，故此时OA=AB-BE-OE=1.8-0.3-0.7=0.8m
【分析】作OH⊥EF于点H，利用余弦可得OE的长，进而可得OA的长.
2．【答案】解：过点作于点，
设，则由题意得，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此河流的宽度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由于三角形两个内角的度数已知，则可过顶点C作对边AB的垂线段CD构造和，再分别解直角三角形，即利用和的正切函数建立关于CD的一元一次方程并求解即可.
3．【答案】解：如图，过点作于，设交于点，
根据题意，，
为的中点，，
，
，
，
，
在中，（米），
（米），
设，则，
在中，，
同理，在中，
，
∴
解得，
即（米），
（米），
即到地面的距离为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用。
首先利用中点求出BP、EH的长，结合，求出，在中，利用三角函数值可以求出长，在和在分别利用正切公式表示出，，然后利用，求出的长，从而得到结果．
4．【答案】解：如图，过点G作于点H，过点F分别作于点M，交BC于点P，于点N，
则，
在中，，，
∴，
∵点E到地面l的距离为2米，四边形为矩形，点B，C在地面l上，
∴，，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴操作平台G到l的距离为米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点G作于点H，过点F分别作于点M，交BC于点P，于点N，在中，利用解直角三角形求出FM的长；易证四边形和四边形是矩形，利用矩形的性质可求出MP，NH的长，同时可求出∠GFN的度数，然后在中，利用解直角三角形求出GN的长，根据GH=GN+NH，代入计算求出GH的长即可.
5．【答案】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒，
∴每秒转过
∴经过95秒后转过3
∴
（2）解：过点B，点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C， D， 如图所示：
在 中， 米， (米)。
在 中， 米， (米) ，
(米) ，
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.
【知识点】圆的相关概念；解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】(1)先求出旋转速度，然后根据旋转时间求出结果即可；
(2)过点B，点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C，D，解直角三角形先求出 米，O 米 ，最后求出结果即可.
6．【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
7．【答案】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
（2）顶部线段的长为．解：如图，过点作，垂足为，
，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
【知识点】平行线之间的距离；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过点作，交的延长线于点，在中解直角三角形即可得解；
（2）过点作，垂足为在中，解直角三角形即可得解．
（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，
在中
答：点到地面的距离为
（2）解：如图，过点作，垂足为
，
，
平行线间的距离处处相等
，
∵，
在中
答：顶部线段的长为
8．【答案】（1）；
（2）解：设DP=m cm，则HG=(20+m)cm，AP=(30-m)cm，那么
在图1中，，
在图2中，，
由题意得
解得m=12cm
答：DP为12cm
②如图，设AR为n cm，则DR为(30-n)cm，DT=30cm，
由题意得
解得cm
（3）解：设AW为xcm，设DT=ycm，
则WT为，，，
解得：
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【分析】（1）观察图形知，四边形ODMC为矩形，其中OD=40，AD=30，由平行线的性质可得，则；同理；
（2） ① 如图所示，过点H作MN的垂线段HG，则四边形PHGM为矩形，设DP=m，则AP=30-m，HG=20+m，先解可得，则，再解可得，再利用HG与DM的差等于PD列方程并求解即可；
② 如图所示，过点C作OB的平行线交水面DF于点T，则OT=BC=10，即DT=OD-OT=30，再过T作MN的垂线段TP、作TR平行OA交AM于点R，设AR=n，则RD=30-n，同理可得；
（3）如图所示，设降低的高度AW=x，水面上升的高度TD-y，则WT=30-x-y，CX=20+y，则由入射角和折射角不变得，、，所以，再整理即可.
9．【答案】任务1：1；任务2：米；任务3：他的头顶不会碰到遮阳蓬面．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
10．【答案】解：【任务1】如图，
由题意得，
设 则
【任务2】如图，取BD的中点O，连接OF交CD于点E， 则
∴BD为直径，∴点O为圆心，
∴OE是 的中位线，
∴弧CD的弓高
【任务3】如图，连接 交CD于点G，作 于点H，
由题意得，此时 与太阳光线平行，则
∴点G为CD的中点，
∴，
，
∴点. 到CD的距离为
即遮阳篷点D上升高度的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】【任务1】根据三角函数值，可设 则 根据 列出方程即可；
【任务2】取BD的中点O，则点O为圆心，连接OF交CD于点E， 则 根据三角形中位线定理得OE的长，进而得出EF的长；
【任务3】连接 交CD于点G， 作 于点H，根据 ，可得CG的长，再利用 求出 的长，再利用三角函数求出 即可.
11．【答案】（1）证明： 连接OD
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=120°
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA=30°
∴OD⊥BD
且 OD是⊙O的半径
∴直线BD是⊙O 的切线
（2）在Rt△DOB中， ∠ODB=90°，∠B=30°
设OD=OC=r
解得r=2·
∵∠DOB=∠A+∠ODA=30°+30°=60°或
∵∠DOB=180°-∠ODB-∠B=60°
【知识点】切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【分析】(1)连接OD，根据圆的性质得∠ODB=90°即可证切线；
(2)设半径为r，利用特殊角的边角关系可得半径，即可求弧长.
12．【答案】证明：连接OD；
∵AD平行于OC，
∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；
∵∠ODA=∠A，
∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠CDO=∠CBO=90°．
∴DC是⊙O的切线.
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】
连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可.根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线.
13．【答案】证明：连接OA、OB、OP，如图：
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP和△OAP中，，
∴△OBP≌△OAP（SSS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴PB⊥OB，
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线．
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得到PA⊥OA，再根据三角形全等的判定与性质证明△OBP≌△OAP（SSS）得到∠OBP＝∠OAP＝90°，进而根据切线的判定即可求解。
14．【答案】证明：连接OC，作OD⊥PB于点D，如下图：
∵⊙O与PA相切于点C，
∴
∵，OP平分∠APB，
∴
∴直线PB与⊙O相切.
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】连接OC，作OD⊥PB于点D，根据相切的性质得到然后根据角平分线的性质得到进而即可求解.
15．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线。
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为。
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）连接，根据切线定理，可得，又根据平分，可得，，易证，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，根据是的半径，即可证明。
（2）连接，设，则，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值，进而即可求出的长；根据（1）中可知，可得，设，则，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的长，最后根据，然后代入数据即可求解。
（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为．
16．【答案】（1）证明：如图，过点D作于点H．
为的切线，
．
又平分，
．
是的切线．
（2）解：平分，，
，
，
的长为．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）过点D作于点H，由切线的性质可得，再根据角平分线的性质可得即可；
（2）由角平分的概念可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据弧长公式求解即可．
（1）证明：如图，过点D作于点H．
为的切线，
．
又平分，
．
是的切线．
（2）解：平分，，
，
，
的长为．
17．【答案】（1）证明： ∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴， 即，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解： 如图， 过点作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先结合等腰三角形“等边对等角”性质得，根据直径所对的圆周角是直角得，从而求出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）过点作于，根据圆周角定理得，从而解直角三角形求出，进而利用勾股定理得，然后推出，得，解直角三角形求出，根据等腰三角形“三线合一”性质得，接下来结合圆内接四边形对角互补推出，最后根据等腰三角形的判定求出.
18．【答案】（1）证明： 连接OC， 如图：
∵ AB为⊙O的直径，
又
∴∠BCD+∠BCO=90°， 即∠DCO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：过C作CM⊥AB于M， 过B作BN⊥CD于N， 如图：
∵⊙O的半径为
∵△ABC的面积为
即
∴CM=2，
Rt△BCM中， ∠BCM=90°-∠CBA，
Rt△ABC中， ∠A=90°—∠CBA，
∴∠BCM=∠A，
即
解得 已舍去) ，
而
即
解得
（3）解：过C作 于M， 过E作. 于H， 连接OE， 如图：
由 (2) 知
中，
设 则
由 可得：
解得：
【知识点】切线的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)连接OC， 由AB为oO的直径， 可得∠A+∠ABC =90°， 再证明∠ABC =∠BCO，结合已知∠BCD=∠A， 可得∠OCD=90°， 从而证明CD是⊙O的切线；
(2)过C作CM⊥AB于M， 过B作BN⊥CD于N，由△ABC的面积为 ， 可得CM=2， 由∠BCM=∠A得 可解得 根据△BCM≌△BCN，可得CN=CM= 2， 再由△DBN∽△DCM，得 求出ND长 即可解题；
(3)过C作CM⊥AB于M， 过E作EH⊥AB于H，连接OE， 由CM⊥AB， EH⊥AB， 可得 而 故HE=1， MF=2HF， Rt△OEH中， OH=2， 可得AH=OA﹣OH= ﹣ 2， 设HF =x， 则MF =2x， 则 ( 可解得HF=1， MF=2， 从而求出PF长解题.
19．【答案】（1）证明： ∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EDB=∠EAB， ∠BDE=∠CBE，
∴∠EAB=∠CBE，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是圆O的直径，
∴BC是圆O的切线
（2）证明：∵ BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE，AD =
∴∠DEA=∠DBE，
∵∠EDB=∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
（3）解：连接DA、DO，
∵DE=2，
∴PD=4，
∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠PDA=∠ABE，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴∠PDA=∠AOD，
∵∠P=∠P，
∴△PDA∽△POD，
设OA=x，
∴PA=x， PO=2x，
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可得出再由已知得则 从而证得BC是圆O的切线；
(2)通过证得得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论.
(3) 连接DA、DO， 先证得OD∥BE， 得出 ，然后根据已知条件得出 求得 ， 通过证得得出 设 则 得出 求出x的值即可解题.
20．【答案】（1）解：CD与☉O相切，
理由：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠CBD
∵∠CDA=∠CBD
∴∠CDA=∠ODB
∵AB为☉O的直径，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°
∴∠CDA+∠ADO =90°，
∴∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与☉O相切
（2）解：由(1)知，∠CBD=∠ADC，
∵，
∴
在Rt△ADB中，
∵∠C=∠C，∠ADC=∠CBD，
∴△CAD∽△CDB
∴
∴
∴
∴AB=CB-CA=8-2=6，
∴，
∴☉O的半径为3
（3）解：如答图，连接OE，过点E作EG⊥BD于点G，
∠BOE=90°， 由 得
设DG=EG=x，则
由 得 或 (舍去)，
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)CD与☉O相切，理由：连接OD，先判断出∠CDA=∠ODB，再根据∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，判断出∠CDO =90°，即可得出结论；
(2)先判断出，进而得出，再判断出△CAD∽△CDB，得，求出CD，CB，即可得出结论；
(3)连接OE，过点E作EG⊥BD于点G，先判断出∠BOE=90°，进而求出，再利用勾股定理求出，，再判断出DG=EG，设DG=EG=x，则，再用勾股定理求出x，即可得出结论.
1 / 1

展开更多......

收起↑