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【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第23~25题
一、原题23
1．（2025·青海）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查(每位学生必选且只能选一个课程)，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生总人数为　 　；扇形统计图中　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名
（4）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率.
二、变式1基础
2．（2025九下·瑞安开学考）为进一步弘扬爱国精神，引导青少年听党话，跟党走，发场红色传统，温州道德馆举办了“党的故事我来讲”主题活动，计划开展四项活动：A：党史演讲比赛，B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛.宣传部对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图.请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；图2中 ；并将图1的条形统计图补充完整；
（2）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4个学生中只有1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
3．年月是全国第个“安全生产月”，某校组织七、八年级学生开展了一次应急避险逃生知识的竞赛，成绩分别为、、、四个等级，相应等级的得分依次记为分、分、分、分学校分别从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级
八年级
（1）根据以上信息可以求出：　 　，　 　，两个年级学生竞赛成绩更稳定的是　 　年级填“七”或“八”；
（2）该校七年级有学生人，八年级有学生人参加本次知识竞赛，且规定分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
4．（2025八上·广州开学考） 某区准备组织部分学校的中小学生到A，B，C，D，E五个景区“一日游”，每名学生只能在五个景区中任选一个．为估计到各景区旅游的人数，随机抽取这些学校的部分学生，进行了“五个景区，你最想去哪里”的问卷调查，在统计了所有的调查问卷后将结果绘制成如图所示的统计图．
（1）求参加问卷调查的学生数，并将条形统计图补充完整；
（2）若参加“一日游”的学生为人，请估计到A景区旅游的人数．
三、变式2巩固
5．（2025·淄博）粮食安全，事关国计民生，增强学生粮食安全意识，培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 额数（人数）
1 75≤x＜80 10
2 80≤x＜85 a
3 85≤x＜90 35
4 90≤x＜95 25
5 95≤x≤100 b
根据以上信息．解答下列问题：
（1）请直接写出统计表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是　 　 度；
（2）请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
（3）现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
6．（2025·深圳三模）2025年初，某省共发生电动自行车事故96起，从已调查完毕事故原因看，绝大部分的事故源于电动车不遵守交通规则造成；广大初中生及家长作为电动车的使用群体之一，教会他们规范骑行成为校园安全的重要任务．深圳市某中学制作了时长100分钟的电动车交通安全知识的教育视频并组织学生周末观看，学校随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表．
部分学生观看教育视频时长扇形统计图
部分学生观看教育视频时长频数分布表
组别 时长x/分钟 频数
A 0≤x＜20 20
B 20≤x<40 40
C 40≤x＜60 ▲
D 60≤x<80 60
E 80≤x≤100 10
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于 ▲ 调查，本次调查的样本容量为 ▲ ；
（2）样本数据的中位数落在 ▲ 组；
（3）若本校共2000人，观看视频时长低于40分钟即为“不合格”，请估算本校有多少同学的成绩是“不合格”，并根据调查结果对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议．
7．（2025八上·盐亭开学考）中国新能源产业强势崛起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了像比亚迪、小米、小鹏、蔚来和理想等一批优秀的新能源车企.2024年，中国新能源汽车产销量均突破1280万辆，连续10年位居全球第一、在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型 人数 百分比
纯电
混动
氢燃料 3
油车 5
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了　 　人；表中　 　，　 　；
（2）请补全条形统计图：
（3）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人．
四、变式3提高
8．（2025七下·长沙期末）雨花区某小区为了解居民对“垃圾分类知识”的掌握情况，从小区班机抽取部分居民进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
①学生成绩的统计图如图（数据分为五组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）·
②80≤x<90这一组成绩是 80、80、80、81、81、82、83、84、84、85、85、87、88、89、89、89.
③成绩不低于90分为优秀.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查采用的方式是　 　（选填“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）补全频数分布直方图；
（3）求出成绩在60≤x<70这一组所在扇形的圆心角度数：
（4）若该小区共有400名居民，请估计达到优秀的人数.
9．（2025九上·萧山开学考）为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图所示的两个统计图（部分未完成）。请根据图中信息，回答下列问题：
（1）校团委随机调查了 ▲ 名学生，并请你补全条形统计图：
（2）被调查的部分学生一周零花钱的平均数是　 　元，众数是　 　元.
（3）“50元”所在扇形的圆心角的度数为　 　.
（4）为捐助贫困山区希望小学，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱，请估算全校学生共捐款多少元
10．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐.小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天.该汽车租赁公司有A，B，C三种型号纯电动汽车.为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
C型纯电动汽车满电续航里程统计情况
续航里程 430 440 450 460 470
车辆数/辆 2 3 6 5 4
型号 平均里程 中位数 众数
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
（1）【分析数据】小明共调查了 ▲ 辆A型纯电动汽车，请补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390 km”对应的圆心角度数为　 　；
（3）由上表填空：m＝　 　，n＝　 　；
（4）【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由.
五、原题24
11．（2025·青海）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(1，0)， 点 C(2，5)在抛物线上.
（1）求抛物线的解析式；
（2） ①求点A的坐标；
②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 ；
（3）连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点 P，使 是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由.
六、变式1（基础）
12． 已知抛物线 与x轴相交于点A，B（点A 在点B 的左侧），与y轴相交于点C.
（1）求点 B，C 的坐标.
（2）设点C'与点C 关于该抛物线的对称轴对称.在y 轴上是否存在一点P，使△PCC'与△POB 相似，且 PC 与PO 是对应边 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
13．如图，抛物线 3与x轴分别交于点A，B(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连接BC.点D 与点 C关于原点O 对称，作射线BD 交抛物线于点E，且
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点B作 交抛物线的对称轴于点 F，以点 C 为圆心，以 的长为半径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求 的最小值.
14．（2025·冷水滩模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
七、变式2（巩固）
15．如图，已知抛物线 与直线 相交于A，B两点，交x轴于C，D 两点，连接AC，BC，已知A(0，3)，C(-3，0).
（1）求此抛物线的解析式.
（2）在抛物线对称轴l 上找一点M，使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值.
（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作PQ⊥PA 交y 轴于点Q，问：是否存在点 P，使得以A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似 若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
16．抛物线L： 经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x=1交于点 B.
（1）直接写出抛物线 L 的解析式.
（2）如图①，过定点的直线y= kx-k+4(k<0)与抛物线L 交于点M，N，若△BMN 的面积等于1，求k 的值.
（3）如图②，将抛物线L 向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点 D. F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC 上一点.若△PCD 与以P，O，F 为顶点的三角形相似，并且符合条件的点 P 恰有2个，求m 的值及相应点 P 的坐标.
17．（2024九上·凉州月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
八、变式3（提高）
18．（2024九上·乐清月考）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴．
①当为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由．
19．（2024九上·龙湾月考）如图，矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，点D从点O开始沿边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿边向点O以每秒1个单位的速度移动，轴，交于点F，连接，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒．
（1）直接写出： ______， _______（含t的代数式表示）．
（2）当点D在点E的左侧时，若的面积等于2，求t的值．
（3）在整个过程中，
①若在矩形的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足条件的t的值．
②以为邻边作矩形，连接，取线段的中点Q，连接，求的最小值（直接写出答案）．
20．（2023九上·乐清月考）如图，抛物线与x轴交于点A，顶点为B．点C在y轴的负半轴，，点P是该抛物线上的动点，且位于对称轴的右侧．
（1）写出点A，B的坐标：，．
（2）若点P在第四象限，记四边形OPAB的面积为S，设点P的横坐标为m．
①求S关于m的函数表达式．
②在①的条件下，连结PC，满足，求四边形OPAB的面积．
（3）设PO，PC分别与对称轴交于点D，E，且DC平分，求点P的坐标．
九、原题25
21．（2025·青海）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
（1） 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 60° 360°÷60°=6 能
正方形 ① ② 能
正五边形 108° 不能
正六边形 120° 能
正七边形 900° 7 不能
正八边形 135° ③ ④
… … … 　
请补全上述表格①　 　； ②　 　； ③　 　； ④　 　.
（2） 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.
观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D，( ， 在Rt△ADO中， . 则 的周长为(
①如图2， 正方形ABCD的周长为 ；
②如图3，求出正六边形的周长(写出求解过程).
（3）探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为　 　；正方形的面积为　 　；正六边形的面积为　 　.
【得出结论】综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.
十、变式1[基础]
22．（2024九上·杭州期中）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图，为的弦，画一条与长度相等的弦；
（2）如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径；
23．（2024九上·江北开学考）如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
24．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点，连结AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．
（1）求∠CAD的度数．
（2）连结AE，求证：AE=ME．
25．想一想：用若干个全等的正五边形能镶嵌平面吗？为什么？
事实上，如果用正多边形来镶嵌平面，那么共顶点的各个角之和必须等于．例如，用正六边形镶嵌平面（图5），共顶点的3个角之和为．因此能镶嵌平面的正多边形的内角度数一定能整除360，所以，能单独镶嵌平面的正多边形只有3种，即正三角形、正方形、正六边形．
如果用多种正多边镶嵌平面，那么能镶嵌平面的正多边图形就不止上面所说的这3种．
十一、变式2[巩固]
26．如图，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接正三角形、内接正四边形、内接正五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）在图1中，求∠APB的度数．
（2）在图2中，求∠APB的度数；在图3中，求∠APB的度数．
（3）根据前面的探索，若多边形ABCDE……是⊙O的正n边形，则∠APB的度数是(用含n的代数式表示)．
27．如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．
①作直径．
②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点．
③连结．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连结这些等分点，得到正边形，求的值．
28．（2022·金华）如图
如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法如图2.
1.作直径AF.
2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.
3.连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
29．（2020·椒江模拟）如图（1），正五边形ABCDE与⊙O相切于点A，点C在⊙O上．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，求劣弧AC的长度；
（3）如图（2），连接AD交⊙O于点F．求证：四边形ABCF是菱形．
十二、变式3[提高]
30．如图 ，正三角形、正方形、正六边形等正 边形与圆的形状有差异，我们将正 边形与圆的接近程度称为“接近度”．
（1）角的 “接近度” 定义：设正 边形的每个内角的度数为 ， 将正 边形的 “接近度”定义为 ． 于是 越小，该正 边形就越接近于圆．
①若 ， 则该正 边形的 “接近度”等于　 　.
②若 ， 则该正 边形的“接近度”等于　 　.
③当“接近度”等于　 　时， 正 边形就成了圆．
（2）边的 “接近度” 定义： 设一个正 边形的外接圆的半径为 ， 正 边形的中心到各边的距离为 ，将正 边形的“接近度”定义为 ． 分别计算当 时边的“接近度”， 并猜测当边的“接近度”等于多少时， 正 边形就成了圆．
31．（2023八下·瑞安期中）
如何设计计算油漆用量的方案？
素材1 小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案.他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆.
素材2 奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为（其中m，n为常数）.示例：如图2，格点多边形内的格点数，边界上的格点数，格点多边形的面积.
问题解决
任务1 在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a，边界上的格点数b和面积S. ▲ ▲ ▲
任务2 得出格点多边形的面积公式 根据图2和图3的数据，求常数m，n的值.
任务3 计算油漆的用量 求需要红色油漆多少升？
32．问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见.对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、正方形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点 O 周围围绕着4个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 ▲ 个正六边形的内角.
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：
整理得：2x+3y=8，
我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌 若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由.
验证2： ▲
结论2： ▲
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案.
问题拓展
请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程.
猜想3： ▲
验证3： ▲
结论3： ▲
答案解析部分
1．【答案】（1）160；20
（2）解：课程B的人数为160-48-32-40=40人，补全条形统计图如图所示，
（3）解： 人
答：估计该校对 D感兴趣的学生有400人
（4）情况①：列表格
甲乙 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
如树状图所示，共有 16种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有4种： AA， BB， CC， DD
∴P(甲、乙两人恰好选到同一课程)
情况②：画树状图
如树状图所示，共有 16 种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有4种： AA， BB， CC， DD
∴P(甲、乙两人恰好选到同一课程)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)课程A的人数为48人，占比为30%，故总人数为人，C所占比例为，故a=20%；
【分析】(1)由课程A的人数及占比可得总人数，用课程C的人数比总人数可得比例a；
(2)用总人数减去A、C、D的人数，得B的人数，再补全条形统计图；
(3)根据课程D的人数占比，可得全校对课程D感兴趣的人数；
(4)利用树状图或者列表的方式得总情况和两人恰好选到同一课程的情况，即可得概率.
2．【答案】（1）解：补全条形统计图如下图所示：
因为（人），所以（人）
所以，即
故答案为：40；40.
（2）解：列表得
　 男生1 男生2 男生3 女生
男生1 两男 两男 两男 一男一女
男生2 两男 两男 两男 一男一女
男生3 两男 两男 两男 一男一女
女生 一男一女 一男一女 一男一女 两女
共有16种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有6种
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）因为条形统计图中知道了参与A项活动的人数为6，扇形统计图中知道了参与A项活动人数占总人数的40%，则被调查总人数等于，再用总人数分别减去参与A、C、D三项活动的人数即可得出参与B项活动的人数，最后用参与B项活动的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求出概率，注意画树状图时要不重复不遗漏，列表格时明确对角线栏目上是否填写数据.
3．【答案】（1）；；七
（2）解：由题意可得：
人，
答：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有约人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：七年级等级的人数为：人，
等级为人，等级为人，故七年级竞赛成绩的中位数在等级中，
即，
，
八年级绝大多数学生的竞赛成绩为等级的最多，即分出现次数最多，
众数，
，
竞赛成绩更稳定的是七年级，
故答案为：，，七；
【分析】(1)根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可；
(2)分别将样本中七、八年级优秀所占比例分别乘750， 1000，相加即可得解.
4．【答案】（1）解：由题意可得：
参加问卷调查的学生人数为：50÷25%=200人
到B景区旅游的人数是200-20-70-10-50-50人
补全图形如下：
（2）解：由题意可得：
到A景区旅游的人数为人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据e景区的人数与占比可得总人数，再求出B景区的人数，补全图形即可.
（2）根据总人数乘以A景区的占比即可求出答案.
5．【答案】（1）20；10；90
（2）解：由题意，结合（1），a＝20，b＝10，即可作图．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 　 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1） 　 （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）
女1 （女1，男1） （女1，男2） 　 （女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 　 （女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2） 　
由列表可知：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意，∵第3组人数为35，占比35%，
∴总人数为35÷35%＝100（人）．
又∵第5组的圆心角为36°，
∴第5组占比为36°÷360°＝10%．
∴b＝10%×100＝10．
∴a＝100﹣10﹣35﹣25﹣10＝20．
∵第4组人数为25，
∴第4组对应的圆心角90°．
故答案为：20；10；90．
【分析】（1）根据第3组的人数与占比可得总人数，再求出第5组的占比，乘以总人数可得b值，用总人数减去其他组的人数可得a值，根据第四组的占比乘以360°可得对应圆心角.
（2）根据题意补全图形即可.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到1名男生和1名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
6．【答案】（1）抽样；200
（2）C
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间低于40分钟．
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一）
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解（1）解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为，
故答案为：抽样；200；
（2）解：C组的频数为，
样本数据的中位数为第100和101个数的平均数，，
样本数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
【分析】(1)根据抽样调查的定义判断即可；根据B组的频数和所占的百分比即可求出样本容量；
(2)根据中位数的定义判断即可；
(3)用总人数2000×不合格人数的占比求出“不合格”人数，提出建议合理即可.
7．【答案】（1）50；30；6
（2）解：∵，
∴补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查活动随机抽取人数为（人），
，则；
，则．
故答案为：50，30，6．
【分析】(1)观察条形图可知油车有5辆，在扇形图中占10%，可计算出样本容量，然后用样本总量减去已知得混动数量，接着用人数除样本容量得到a和b的值；
(2)在(1)的基础上计算n的值，然后补全条形图即可；
(3)用总人数乘新能源在样本中的百分比，即可估计总体中的人数.
8．【答案】（1）抽样调查
（2）解：如图
（3）解：360°×10% =36°
答：圆心角度数为36°
（4）解：400×=104人
答：优秀大约有104人。
【知识点】全面调查与抽样调查；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（2）且成绩在 80≤x<90 之间的共有16人
补全条形统计图如下：
【分析】
（1）由于是从小区随机抽取部分居民进行测试，故调查采用的方式是抽样调查；
（2）观察条形统计图和扇形统计图，可由成绩在60和70之间人数除以其在抽样总人数中的占比求出抽样总数，再用总人数分别减去其他各组人数即可得出成绩在80到90之间的人数，再补全条形统计图即可；
（3）直接用乘以成绩在60到70之间的人数的占比即可；
（4）用小区总人数乘以优秀人数在总人数中的占比即可.
9．【答案】（1）40
（2）32.5；30
（3）36°
（4）解：32.5×1000=32500(元)
∴全校学生共捐款约32500元。
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：(1)10÷25%=40(人)；
40-18-10-4=8(人)
补全条形统计图如下：
(2)(20×8+30×18+40×10+50×4)÷40
=1300÷40
=32.5(元)
这组数据中，频数最多的是30元，因此众数为30元。
(3)
【分析】(1)结合两个统计图看，用40元这一组的频数除以对应的百分比即可求出样本容量；
(2)这里需要用到加权平均数的计算公式：，根据众数的概念可知这组数据的众数为30；
(3)先求出零花钱为50元的学生人数占到样本容量的比例，再用这个比例乘以360°就是对应扇形的圆心角度数；
(4)既然样本平均数为32.5元，那么我们可以认为总体平均数也是32.5，用平均数乘以总人数1000即可。
10．【答案】（1）解：20； 400 km的数量为20－3－4－6－2＝5（辆），补全条形统计图如图.
（2）72°
（3）430；450
（4）解：∵三个型号中C型号的纯电动汽车的平均数、中位数、众数都是最高的，∴选择C型号的纯电动汽车较为合适.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）6÷30％＝20（辆），
故答案为20.
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390 km”对应的圆心角度数为360°×＝72°，
故答案为72°.
（3）由折线统计图知，B型纯电动汽车满电续航里程共调查了20辆，从低到高排列后中位数应为第10，11辆的平均数，2＋3＋6＝11，7＋2＝9，∴m＝＝430.
C型纯电动汽车满电续航里程中，续航里程450 km的出现次数最多，共6辆，∴n＝450.
故答案为430，450.
【分析】(1)用“410km”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“400km”的数量，再补全条形统计图即可；
(2) 用 乘续航里程为390km的占比即可；
(3)分别根据中位数和众数的定义解答即可；
(4)结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可.
11．【答案】（1）解：将B(1，0)、C(2，5)代入
得
∴抛物线的解析式为.
（2）①当y=0时，
得
∴A(-3，0)·
②-3＜x＜1
（3）解：存在
设直线AC的表达式为y=kx+m，将点A(-3，0)和C(2，5)代入得解得
①当∠ACP=90°时，设PC的表达式为y=-x+n，将点C(2，5)代入得-2+n=5，解得n=7，故PC的表达式为y=-x+7，令x=0，y=7，故P1(0，7)；
②当∠CAP=90°时，设PA的表达式为y=-x+t，将点A(-3，0)代入得3+t=0，解得t=-3，故PC的表达式为y=-x-3，令x=0，y=-3，故P2(0，-3)
综上所述： P1(0，7)， P2(0，-3)
【知识点】二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：(2)②由图知在点A的右侧，且在点B的左侧的图像上的点的纵坐标小于零，即y<0，其对应的x的取值范围为-3＜x＜1
【分析】(1)将点B、C的坐标代入抛物线解析式，求出a、b，即可得抛物线解析式；
(2)令y=0，可得x的值即得点A的坐标；数形结合可知当-3＜x＜1时，y<0；
(3)以两种情况分别以A、C为直角顶点，过点A、C分别作AC的垂线，利用直线垂直k1k2=-1求出PC、PA的表达式，即可得P的坐标.
12．【答案】（1）解：令x=0，则y=8，故点C(0，8)
令y=0，则
，解得x1=-2，x2=4
故点B(4，0)
B(4，0)，C(0，8)
（2）解：存在，
由对称知点C'(2，8)，CC'=2，设点P(0，m)，
①当点P在线段OC上时，PC=8-m，OP=m，此时PCC'~POB，得，即有，解得m=；
②当点P在C点上方时，PC=m-8，OP=m，此时PCC'~POB，得，即有，解得m=16；
P 的坐标(0，16)或
【知识点】二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)分别令x=0，求y的值，令y=0，求x的值，即可得C、B的坐标；
(2)由题意分类讨论当P在点C下方和C上方的两种情况，求出对应的m的值，即可得P的坐标.
13．【答案】（1）解：由题意得，C(0，-3)，
∵点D与C关于原点O对称，
∴点D(0，3)，
∵BD=DE，
∴点 D 为BE的中点，
设点B(m，0)，则点E(-m，6)，
将点B(m，0)，E(-m，6)代入抛物线 2ax-3中，
得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：∵抛物线
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
令y=0，则
解得
∴OB=4，
如解图，设直线x=1与x轴的交点为 Q，则∠FQB=90°，
∴∠QFB+∠QBF=90°，
∵BF⊥BC，
∴∠FBC=90°，
∴∠OBC+∠QBF=90°，
∴∠QFB=∠OBC，
∵BQ=4-1=3，OC=3，
∴BQ=OC，
又∵∠FQB=∠BOC=90°，
∴△FQB≌△BOC，
∴BF=CB.
在Rt△BOC中，OB=4，OC=3，由勾股定理得BC=5，
∴BF=BC=5，
在CB上截取 CG=1，连接GT，CT，则 GB=5-1=4，
又∵∠GCT=∠TCB，
即
∵点F(1，4)为定点，∴当F，T，G三点共线时， 的值最小，最小值为线段GF的长，在Rt△GBF中，GB=4，BF=5，由勾股定理得
的最小值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；阿氏圆模型；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据对称得到点D的坐标，设点B(m，0)，则点E(-m，6)，代入二次函数解析式求出a，m的值解题；
（2）配方为顶点式得到对称轴为直线x=1，求出抛物线与x轴交点坐标，设直线x=1与x轴的交点为 Q，则∠FQB=90°，即可得到△FQB≌△BOC，求出BF=BC=5，在CB上截取 CG=1，连接GT，CT，即可得到进而得到当F，T，G三点共线时， 的值最小，最小值为线段GF长，根据勾股定理解题即可.
14．【答案】（1）解：令，则，解得，
令，则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下，根据题意，设点，
∵和相似，，
∴分类讨论：或，
①如图所示，当时，，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
解得或，
∴；
②如图所示，当时，，
过作于点，则，，，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令y=0和x=0，求出A和B的坐标，然后再将A和B的坐标代入 ，利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式
（2）先假设存在，然后再根据题意，设点，分类讨论：①如图所示，当时，，建立关于t的方程，然后再根据D点位于第一象限中x和y的特点：x>0，y>0，然后再对t的结果进行取舍，即可求出点的坐标；②如图所示，当时，，过作于点，则，，；同样根据D点位于第一象限中x和y的特点：x>0，y>0，然后再进行取舍即即可求解
（1）解：令，则，
解得，
令，则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下，
根据题意，设点，
∵和相似，，
∴分类讨论：或，
①如图所示，当时，，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
解得或，
∴；
②如图所示，当时，，
过作于点，则，，，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
15．【答案】（1）解：∵ A(0，3)，C(-3，0)在 抛物线 上，
∴，解得：，
∴ 此抛物线的解析式 为：
（2）解：联立直线AB和抛物线的解析式，可得方程组：，解得：，
∴点B(-4，1).
点D 与点C关于l对称，MD=MC，当B，C，M 三点共线时，|MB-MD|取最大值，即为BC 的长，过点 B 作BE⊥x轴于点E，
即|MB-MD|的最大值为
（3）解：∵B（-4，1），C（-3，0），
∴BE=1，CE=1，
∴ △ BEC是等腰直角三角形，
∴∠BCE=45°，
同理，根据A，C的坐标，可得出∠ACO=45°，得∠ACB=90°.
过点 P 作 PG⊥y 轴于点G，则∠PGA=90°，设
①当∠PAQ=∠BAC 时，则△PAQ∽△CAB，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAG=∠CAB，
即
. 解得 舍去)
∴P 的纵坐标是 ∴P(1，6).
②当∠PAQ=∠ABC 时，则△PAQ∽△CBA，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，
∴△PGA∽△ACB，得 即
解得 （舍去)，x4=0(舍去).
∴此时无符合条件的点 P.
综上所述，存在点 P(1，6)，使得以A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数的对称性及应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据 A(0，3)，C(-3，0)在 抛物线 上，可求得b，c的值，进而得出抛物线的解析式；
（2）首先根据点B是直线AB和抛物线的交点，可求得点B的坐标，再根据对称的性质得出：当B，C，M 三点共线时，|MB-MD|取最大值，即为BC 的长，过点 B 作BE⊥x轴于点E，根据勾股定理，可得即|MB-MD|的最大值为 ；
（3）首先证得 ∠ACB是直角，过点 P 作 PG⊥y 轴于点G，则∠PGA=90°，可得出设 根据∠APQ是直角，所以 以A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似 可分成两种情况：①当∠PAQ=∠BAC 时，则△PAQ∽△CAB，进而得出根据相似三角形的性质，得出进而解方程取适合题意的解，进而可得出P 的纵坐标；②②当∠PAQ=∠ABC 时，则△PAQ∽△CBA，进而得出△PGA∽△ACB，得 即 进而得出求解判断均不符合题意。综上即可得出P的坐标。
16．【答案】（1）
（2）解：B(1，2).
设直线y= kx-k+4经过定点G，则G(1，4)，BG=2，
联立y= kx--k+4与 得
得k=±3.
∵k<0，∴k=-3.
（3）解：依题意得，抛物线 L1的解析式为 ∴C(0，1+m)，D(2，1+m)，F(1，0).
设 P(0，t)，当△PCD∽△FOP 时，
即
∴t2-(1+m)t+2=0. ①
当△PCD∽△POF 时，
即
②
a.当方程①有两个相等的实数根时， ，解得m= (负值不合题意，舍去)，此时，方程①有两个相等的实数根， 方程②有一个实数根 符合题意.故点 P 的坐标是(0， 或
b.当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得 解得m=2(负值不合题意，舍去)，此时，方程①有两个不相等的实数根，t1=1，t2=2，方程②有一个实数根t=1，符合题意，故点 P 的坐标是(0，1)或(0，2).
综上，当 时，点 P 的坐标是(0， )或 当m=2 时，点 P 的坐标是(0，1)或(0，2).
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）∵经过点A(0，1)， ，
∴c=1，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=2，
∴ 抛物线 L 的解析式 为：
故答案为：
【分析】（1）利用待定系数法可求得bc的值，进而得出 抛物线 L 的解析式.
(2)由三角形面积和差关系得xM，xN之间的关系，用含k的代数式表示xM，xN；
(3)在分类讨论的基础上，建立含参数的方程，运用判别式求出参数，进而求出点 P 的坐标.
17．【答案】（1）解：该抛物线的顶点为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，
即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出该抛物线的对称轴为直线，再求出b和c的值，最后求抛物线的表达式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，再利用两点间距离公式求出，最后利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用相似三角形的判定方法求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
18．【答案】（1）
（2），
（3）①或②存在，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
19．【答案】（1）4，t
（2）解：∵，，
∴，
∴或
（3）解：①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，，
∴，点B的横坐标为8，
将x=8代入 得y=4，
∴，
∴，
∵，
∴=90°，
∴，即，
∴，
故答案为：4，t；
（3）②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为.
【分析】（1）根据矩形性质、点的坐标与图形性质及直线上点的坐标特点求出A、B的坐标，从而可得AB的长，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DF∥AB，进而利用平行线分线段成比例定理求出DF的长即可；
（2）根据DE=OA-OD-AE表示出DE，利用三角形的面积公式列出方程，即可求解；
（3）①分当时，当时，当时，三种情况分别求解即可；②由题意得，，根据两点间距离公式列出表达式，利用二次函数的性质即可求解
（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴或
（3）①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为
20．【答案】（1），；（2）①；②四边形OPAB的面积；（3）点P的坐标为或．
【知识点】二次函数-特殊四边形存在性问题
21．【答案】（1）90°；；；不能
（2）解： ①8
②如图，
⊙O为正六边形的内切圆与 CD切于点M，连接OM，OD
∴OM⊥CD且(
在Rt△MOD中， ∠OMD=90°， ∠ODM=60°
（3）；9；6
【知识点】含30°角的直角三角形；平面镶嵌（密铺）；圆内接正多边形；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】解：(1)①正方形每个内角为90°，②90°能被360°整除，即；③，故④不能密铺；
(2)①由OD=1知圆的半径为1，在图2中，正方形的边长为2，故周长为8；
(3)周长为12，则正三角形边长为4，面积S=；
正方形的边长为3，面积为9；
正六边形的边长为2，则面积为S
【分析】(1)直接由表格中的提示填写能否整除、能否密铺；
(2)由图1知圆的半径，得圆2中的正方形的边长，利用特殊三角形可得DM可得正六边形的边长；
(3)由周长可得正多边形的边长，再分别求出面积即可.
22．【答案】（1）解：连接BO，CO并延长，分别与 相较于点D，E，
易得∠BOC=∠DOE，
∴BC=DE.
如图所示，弦即为要求作的弦.
（2）解：直径如图所示：
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得；
（2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，AE=ED=EC=CB=AB，∠AED=∠EDC=∠DCB=∠CBA=∠BAE=108°，可得△AED，△ABC，和△BCD是全等的等腰三角形，继而可证得∠ACB=∠DBC=∠NDA=∠NAD=36°，则有，BN=CN，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，于是有，故为直径．
（1）解：与长度相等的弦如图所示：
（2）解：直径如图所示：
23．【答案】（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接正多边形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）如图1中，连接、．利用正方形的性质可求出∠AOD的度数，再利用圆周角定理可求出∠AED的度数.根
（2）如图2中，连接，，，，作于．利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，同时可证得∠DEC=∠AFB，利用AAS可证得△CDE≌△ABF，利用全等三角形的性质可求出CE的长；再利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形求出AD的长；同时可证得DH=EH，设DH=EH=x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，据此可求出DE的长.
（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
24．【答案】（1）解：∵A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点，
∴∠COD==72°，
∴∠CAD=∠COD=36°．
（2）解：如图，
同(1)可得∠EBD=∠BDA=36°．
∵∠AEB=∠BDA，
∴∠DAE=∠EBD，
∠CAD=36°，
∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，
∴∠AME=180°-72°-36°=72°，
∴∠MAE=∠AME，∴AE=ME．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】 （1）根据圆内接正多边形的性质即可求解；
（2）先求出∠MAE=72°，∠AEB=36°，然后由三角形内角和定理即可求解.
25．【答案】解：正五边形不能单独镶嵌平面，因为正五边形的一个内角为108°，3个内角和为324°<360°，4个内角和为432°>360°，不能拼成周角.
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【分析】正五边形的一个内角为108°，而360°不被108°整除，故正五边形的内角不能拼成周角，因此正五边形不能单独镶嵌平面.
26．【答案】（1）解：∵点M和点N的速度相同，
∴，∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°，
∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=120°．
（2）解：在题图2中，∵∠BAM=∠CBN，
∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°，
∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=90°．
在题图3中，∵∠BAM=∠CBN，
∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=108，
∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=72°．
（3）解：如图，
∵∠BAM=∠CBN，
∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=180°-，
∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=
故答案为
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAM=∠CBN，得出∠BAM+∠ABN=60°，然后根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）由圆周角定理可得∠BAM=∠CBN，得出∠BAM+∠ABN=108°，然后根据三角形内角和定理即可得到答案；
（3）先求出∠BAM+∠ABN=180°-，然后根据三角形内角和定理即可得到答案.
27．【答案】（1）解：五边形是正五边形，
，即．
（2）解：是正三角形
理由：连结ON，NF，由题意，可得FN=ON=OF
∴△FON是等边三角形，∴∠NFA=60°
，同理可得：，
是正三角形．
（3）解：，
，
．
的值是15．
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】(1)直接由正多边形的内角和除以5即得每个内角的度数，即得∠ABC的度数；
(2)由作图知△OFN为等边三角形，即得∠NMA=∠ANM=60°，即可证明△MAN为等边三角形；
(3)由题知多边形的中心角为24，360÷24即得多边形的边数.
28．【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE.
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：△AMN是正三角形，理由如下：
连结ON，FN，由作图知：FN=FO
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN
∴△OFN是正三角形，
∴∠F=60°.
∴∠AMN=∠F=60°.
同理，∠ANM=60°.
∴∠MAN=60°，即∠AMN=∠ANM=∠MAN
∴△AMN是正三角形.
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据正五边形的性质，可得各边所对的弧相等，即可求得弧ACE的度数，再根据弧、圆心角及圆周角定理可求出∠ABC的度数；
（2）△AMN是正三角形. 由以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N，易得ON=OF=FN，即△OFN是正三角形，则∠AMN=∠F=60°，同理求得∠ANM=60°，即可判定△AMN是正三角形；
（3）由等边三角性质及弧、圆心角及圆周角定理可求出弧AN=120°，又弧AD的度数为144°，再又弧DN的度数等于弧AD和弧AN度数之差，即弧DN=24°，再由360÷24° 即可求出n值.
29．【答案】（1）证明：如图，连接OA，OB，OC.
∵AE是⊙O的切线
∴OA⊥AE
∴∠OAE=90°
在△ABO和△CBO中，
△ABO △CBO
∴∠BAO=∠BCO
90 .
∴OC⊥CD
CD是⊙O的切线
（2）解：∵ EAO+∠AOC+∠OCD+∠D+∠E=540
∴∠AOC=144
∴
（3）证明：∵五边形ABCDE是正五边形
∴∠E=∠B=108°，EA=ED
∴∠1=36°
∴∠BAD=72°
即：∠B+∠BAD=180°
∴BC∥AD
由(2)得∠AOC=
∴∠AFC=
∴∠AFC+∠BAD=180°
∴BA∥CF
∴四边形BCFA是平行四边形
又∵BA=BC
平行四边形BCFA是菱形
【知识点】切线的判定与性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，OC，利用切线的性质可得到∠OAE=90°，再利用SSS证明△ABO≌△CBO，可以推出∠BAO=∠BCO，然后可证得OC⊥CD，利用切线的判定定理可证得结论。
（2）利用五边形的内角和定理求出∠AOC的度数，再利用弧长公式进行计算可求出劣弧AC的长度。
（3）由AE=DE和∠E的度数，就可求出∠1的度数，即可得到∠BAD的度数，再利用平行线的判定定理证明BC∥AD，BA∥CF，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形BCFA是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论。
30．【答案】（1）120；18；0
（2）解：如图：
当n=3时，
∵∠CAB= 60°，
∴∠OAD=30°，
∴
∴．
当n=6时，
∵，
∴∠OAD=60°.
∴.
∴.
当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆.
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）， 则该正 边形的 “接近度”等于.
， 则该正 边形的“接近度”等于
当“接近度”时等于0时， 正 边形就成了圆．
故答案为：①120；②18；③0.
【分析】（1）根据定义，分别计算n=3和n=20时角的“接近度”，并据此推算规律即可.
（2）根据定义，分别计算n=3和n=6时边的“接近度”，并据此推算规律即可.
31．【答案】解：任务1，如图所示：
；
2；4；3；
任务2：把数据代入得：
，
解得：
任务3：把代入公式－1得：，
33（升）
∴需要别0.66升红色油漆.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）由题意并结合网格图的特征可求解；
（2）把（1）中的a、b、s的值代入s=ma+nb-1可得关于m、n的方程组，解方程组可求解；
（3）由题意把a=26，b=16代入（2）中的式子计算即可求得s的值，然后根据需要红色油漆=面积s×刷1平方分米需要的油漆可求解.
32．【答案】解：验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角.
根据题意，可得方程：60a+120b=360.
整理得：a+2b=6，可以找到两组适合方程的正整数解为 和
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 m 个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360，整理得：2m+3n+4c=12，可以找到唯一一组适合方程的正整数解为
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【分析】根据正多边形的性质及多边形的内角和建立方程，化简即可求出答案.
1 / 1【青海卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第23~25题
一、原题23
1．（2025·青海）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查(每位学生必选且只能选一个课程)，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生总人数为　 　；扇形统计图中　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名
（4）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率.
【答案】（1）160；20
（2）解：课程B的人数为160-48-32-40=40人，补全条形统计图如图所示，
（3）解： 人
答：估计该校对 D感兴趣的学生有400人
（4）情况①：列表格
甲乙 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
如树状图所示，共有 16种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有4种： AA， BB， CC， DD
∴P(甲、乙两人恰好选到同一课程)
情况②：画树状图
如树状图所示，共有 16 种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有4种： AA， BB， CC， DD
∴P(甲、乙两人恰好选到同一课程)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)课程A的人数为48人，占比为30%，故总人数为人，C所占比例为，故a=20%；
【分析】(1)由课程A的人数及占比可得总人数，用课程C的人数比总人数可得比例a；
(2)用总人数减去A、C、D的人数，得B的人数，再补全条形统计图；
(3)根据课程D的人数占比，可得全校对课程D感兴趣的人数；
(4)利用树状图或者列表的方式得总情况和两人恰好选到同一课程的情况，即可得概率.
二、变式1基础
2．（2025九下·瑞安开学考）为进一步弘扬爱国精神，引导青少年听党话，跟党走，发场红色传统，温州道德馆举办了“党的故事我来讲”主题活动，计划开展四项活动：A：党史演讲比赛，B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛.宣传部对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图.请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；图2中 ；并将图1的条形统计图补充完整；
（2）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4个学生中只有1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
【答案】（1）解：补全条形统计图如下图所示：
因为（人），所以（人）
所以，即
故答案为：40；40.
（2）解：列表得
　 男生1 男生2 男生3 女生
男生1 两男 两男 两男 一男一女
男生2 两男 两男 两男 一男一女
男生3 两男 两男 两男 一男一女
女生 一男一女 一男一女 一男一女 两女
共有16种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有6种
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）因为条形统计图中知道了参与A项活动的人数为6，扇形统计图中知道了参与A项活动人数占总人数的40%，则被调查总人数等于，再用总人数分别减去参与A、C、D三项活动的人数即可得出参与B项活动的人数，最后用参与B项活动的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求出概率，注意画树状图时要不重复不遗漏，列表格时明确对角线栏目上是否填写数据.
3．年月是全国第个“安全生产月”，某校组织七、八年级学生开展了一次应急避险逃生知识的竞赛，成绩分别为、、、四个等级，相应等级的得分依次记为分、分、分、分学校分别从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级
八年级
（1）根据以上信息可以求出：　 　，　 　，两个年级学生竞赛成绩更稳定的是　 　年级填“七”或“八”；
（2）该校七年级有学生人，八年级有学生人参加本次知识竞赛，且规定分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】（1）；；七
（2）解：由题意可得：
人，
答：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有约人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：七年级等级的人数为：人，
等级为人，等级为人，故七年级竞赛成绩的中位数在等级中，
即，
，
八年级绝大多数学生的竞赛成绩为等级的最多，即分出现次数最多，
众数，
，
竞赛成绩更稳定的是七年级，
故答案为：，，七；
【分析】(1)根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可；
(2)分别将样本中七、八年级优秀所占比例分别乘750， 1000，相加即可得解.
4．（2025八上·广州开学考） 某区准备组织部分学校的中小学生到A，B，C，D，E五个景区“一日游”，每名学生只能在五个景区中任选一个．为估计到各景区旅游的人数，随机抽取这些学校的部分学生，进行了“五个景区，你最想去哪里”的问卷调查，在统计了所有的调查问卷后将结果绘制成如图所示的统计图．
（1）求参加问卷调查的学生数，并将条形统计图补充完整；
（2）若参加“一日游”的学生为人，请估计到A景区旅游的人数．
【答案】（1）解：由题意可得：
参加问卷调查的学生人数为：50÷25%=200人
到B景区旅游的人数是200-20-70-10-50-50人
补全图形如下：
（2）解：由题意可得：
到A景区旅游的人数为人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据e景区的人数与占比可得总人数，再求出B景区的人数，补全图形即可.
（2）根据总人数乘以A景区的占比即可求出答案.
三、变式2巩固
5．（2025·淄博）粮食安全，事关国计民生，增强学生粮食安全意识，培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 额数（人数）
1 75≤x＜80 10
2 80≤x＜85 a
3 85≤x＜90 35
4 90≤x＜95 25
5 95≤x≤100 b
根据以上信息．解答下列问题：
（1）请直接写出统计表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是　 　 度；
（2）请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
（3）现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）20；10；90
（2）解：由题意，结合（1），a＝20，b＝10，即可作图．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 　 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3）
男2 （男2，男1） 　 （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3）
女1 （女1，男1） （女1，男2） 　 （女1，女2） （女1，女3）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 　 （女2，女3）
女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2） 　
由列表可知：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意，∵第3组人数为35，占比35%，
∴总人数为35÷35%＝100（人）．
又∵第5组的圆心角为36°，
∴第5组占比为36°÷360°＝10%．
∴b＝10%×100＝10．
∴a＝100﹣10﹣35﹣25﹣10＝20．
∵第4组人数为25，
∴第4组对应的圆心角90°．
故答案为：20；10；90．
【分析】（1）根据第3组的人数与占比可得总人数，再求出第5组的占比，乘以总人数可得b值，用总人数减去其他组的人数可得a值，根据第四组的占比乘以360°可得对应圆心角.
（2）根据题意补全图形即可.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到1名男生和1名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
6．（2025·深圳三模）2025年初，某省共发生电动自行车事故96起，从已调查完毕事故原因看，绝大部分的事故源于电动车不遵守交通规则造成；广大初中生及家长作为电动车的使用群体之一，教会他们规范骑行成为校园安全的重要任务．深圳市某中学制作了时长100分钟的电动车交通安全知识的教育视频并组织学生周末观看，学校随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表．
部分学生观看教育视频时长扇形统计图
部分学生观看教育视频时长频数分布表
组别 时长x/分钟 频数
A 0≤x＜20 20
B 20≤x<40 40
C 40≤x＜60 ▲
D 60≤x<80 60
E 80≤x≤100 10
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于 ▲ 调查，本次调查的样本容量为 ▲ ；
（2）样本数据的中位数落在 ▲ 组；
（3）若本校共2000人，观看视频时长低于40分钟即为“不合格”，请估算本校有多少同学的成绩是“不合格”，并根据调查结果对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议．
【答案】（1）抽样；200
（2）C
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间低于40分钟．
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一）
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解（1）解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为，
故答案为：抽样；200；
（2）解：C组的频数为，
样本数据的中位数为第100和101个数的平均数，，
样本数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
【分析】(1)根据抽样调查的定义判断即可；根据B组的频数和所占的百分比即可求出样本容量；
(2)根据中位数的定义判断即可；
(3)用总人数2000×不合格人数的占比求出“不合格”人数，提出建议合理即可.
7．（2025八上·盐亭开学考）中国新能源产业强势崛起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了像比亚迪、小米、小鹏、蔚来和理想等一批优秀的新能源车企.2024年，中国新能源汽车产销量均突破1280万辆，连续10年位居全球第一、在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型 人数 百分比
纯电
混动
氢燃料 3
油车 5
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了　 　人；表中　 　，　 　；
（2）请补全条形统计图：
（3）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人．
【答案】（1）50；30；6
（2）解：∵，
∴补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查活动随机抽取人数为（人），
，则；
，则．
故答案为：50，30，6．
【分析】(1)观察条形图可知油车有5辆，在扇形图中占10%，可计算出样本容量，然后用样本总量减去已知得混动数量，接着用人数除样本容量得到a和b的值；
(2)在(1)的基础上计算n的值，然后补全条形图即可；
(3)用总人数乘新能源在样本中的百分比，即可估计总体中的人数.
四、变式3提高
8．（2025七下·长沙期末）雨花区某小区为了解居民对“垃圾分类知识”的掌握情况，从小区班机抽取部分居民进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
①学生成绩的统计图如图（数据分为五组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）·
②80≤x<90这一组成绩是 80、80、80、81、81、82、83、84、84、85、85、87、88、89、89、89.
③成绩不低于90分为优秀.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查采用的方式是　 　（选填“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）补全频数分布直方图；
（3）求出成绩在60≤x<70这一组所在扇形的圆心角度数：
（4）若该小区共有400名居民，请估计达到优秀的人数.
【答案】（1）抽样调查
（2）解：如图
（3）解：360°×10% =36°
答：圆心角度数为36°
（4）解：400×=104人
答：优秀大约有104人。
【知识点】全面调查与抽样调查；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（2）且成绩在 80≤x<90 之间的共有16人
补全条形统计图如下：
【分析】
（1）由于是从小区随机抽取部分居民进行测试，故调查采用的方式是抽样调查；
（2）观察条形统计图和扇形统计图，可由成绩在60和70之间人数除以其在抽样总人数中的占比求出抽样总数，再用总人数分别减去其他各组人数即可得出成绩在80到90之间的人数，再补全条形统计图即可；
（3）直接用乘以成绩在60到70之间的人数的占比即可；
（4）用小区总人数乘以优秀人数在总人数中的占比即可.
9．（2025九上·萧山开学考）为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图所示的两个统计图（部分未完成）。请根据图中信息，回答下列问题：
（1）校团委随机调查了 ▲ 名学生，并请你补全条形统计图：
（2）被调查的部分学生一周零花钱的平均数是　 　元，众数是　 　元.
（3）“50元”所在扇形的圆心角的度数为　 　.
（4）为捐助贫困山区希望小学，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱，请估算全校学生共捐款多少元
【答案】（1）40
（2）32.5；30
（3）36°
（4）解：32.5×1000=32500(元)
∴全校学生共捐款约32500元。
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：(1)10÷25%=40(人)；
40-18-10-4=8(人)
补全条形统计图如下：
(2)(20×8+30×18+40×10+50×4)÷40
=1300÷40
=32.5(元)
这组数据中，频数最多的是30元，因此众数为30元。
(3)
【分析】(1)结合两个统计图看，用40元这一组的频数除以对应的百分比即可求出样本容量；
(2)这里需要用到加权平均数的计算公式：，根据众数的概念可知这组数据的众数为30；
(3)先求出零花钱为50元的学生人数占到样本容量的比例，再用这个比例乘以360°就是对应扇形的圆心角度数；
(4)既然样本平均数为32.5元，那么我们可以认为总体平均数也是32.5，用平均数乘以总人数1000即可。
10．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐.小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天.该汽车租赁公司有A，B，C三种型号纯电动汽车.为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
C型纯电动汽车满电续航里程统计情况
续航里程 430 440 450 460 470
车辆数/辆 2 3 6 5 4
型号 平均里程 中位数 众数
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
（1）【分析数据】小明共调查了 ▲ 辆A型纯电动汽车，请补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390 km”对应的圆心角度数为　 　；
（3）由上表填空：m＝　 　，n＝　 　；
（4）【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由.
【答案】（1）解：20； 400 km的数量为20－3－4－6－2＝5（辆），补全条形统计图如图.
（2）72°
（3）430；450
（4）解：∵三个型号中C型号的纯电动汽车的平均数、中位数、众数都是最高的，∴选择C型号的纯电动汽车较为合适.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）6÷30％＝20（辆），
故答案为20.
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390 km”对应的圆心角度数为360°×＝72°，
故答案为72°.
（3）由折线统计图知，B型纯电动汽车满电续航里程共调查了20辆，从低到高排列后中位数应为第10，11辆的平均数，2＋3＋6＝11，7＋2＝9，∴m＝＝430.
C型纯电动汽车满电续航里程中，续航里程450 km的出现次数最多，共6辆，∴n＝450.
故答案为430，450.
【分析】(1)用“410km”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“400km”的数量，再补全条形统计图即可；
(2) 用 乘续航里程为390km的占比即可；
(3)分别根据中位数和众数的定义解答即可；
(4)结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可.
五、原题24
11．（2025·青海）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(1，0)， 点 C(2，5)在抛物线上.
（1）求抛物线的解析式；
（2） ①求点A的坐标；
②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 ；
（3）连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点 P，使 是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将B(1，0)、C(2，5)代入
得
∴抛物线的解析式为.
（2）①当y=0时，
得
∴A(-3，0)·
②-3＜x＜1
（3）解：存在
设直线AC的表达式为y=kx+m，将点A(-3，0)和C(2，5)代入得解得
①当∠ACP=90°时，设PC的表达式为y=-x+n，将点C(2，5)代入得-2+n=5，解得n=7，故PC的表达式为y=-x+7，令x=0，y=7，故P1(0，7)；
②当∠CAP=90°时，设PA的表达式为y=-x+t，将点A(-3，0)代入得3+t=0，解得t=-3，故PC的表达式为y=-x-3，令x=0，y=-3，故P2(0，-3)
综上所述： P1(0，7)， P2(0，-3)
【知识点】二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：(2)②由图知在点A的右侧，且在点B的左侧的图像上的点的纵坐标小于零，即y<0，其对应的x的取值范围为-3＜x＜1
【分析】(1)将点B、C的坐标代入抛物线解析式，求出a、b，即可得抛物线解析式；
(2)令y=0，可得x的值即得点A的坐标；数形结合可知当-3＜x＜1时，y<0；
(3)以两种情况分别以A、C为直角顶点，过点A、C分别作AC的垂线，利用直线垂直k1k2=-1求出PC、PA的表达式，即可得P的坐标.
六、变式1（基础）
12． 已知抛物线 与x轴相交于点A，B（点A 在点B 的左侧），与y轴相交于点C.
（1）求点 B，C 的坐标.
（2）设点C'与点C 关于该抛物线的对称轴对称.在y 轴上是否存在一点P，使△PCC'与△POB 相似，且 PC 与PO 是对应边 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令x=0，则y=8，故点C(0，8)
令y=0，则
，解得x1=-2，x2=4
故点B(4，0)
B(4，0)，C(0，8)
（2）解：存在，
由对称知点C'(2，8)，CC'=2，设点P(0，m)，
①当点P在线段OC上时，PC=8-m，OP=m，此时PCC'~POB，得，即有，解得m=；
②当点P在C点上方时，PC=m-8，OP=m，此时PCC'~POB，得，即有，解得m=16；
P 的坐标(0，16)或
【知识点】二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)分别令x=0，求y的值，令y=0，求x的值，即可得C、B的坐标；
(2)由题意分类讨论当P在点C下方和C上方的两种情况，求出对应的m的值，即可得P的坐标.
13．如图，抛物线 3与x轴分别交于点A，B(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连接BC.点D 与点 C关于原点O 对称，作射线BD 交抛物线于点E，且
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点B作 交抛物线的对称轴于点 F，以点 C 为圆心，以 的长为半径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求 的最小值.
【答案】（1）解：由题意得，C(0，-3)，
∵点D与C关于原点O对称，
∴点D(0，3)，
∵BD=DE，
∴点 D 为BE的中点，
设点B(m，0)，则点E(-m，6)，
将点B(m，0)，E(-m，6)代入抛物线 2ax-3中，
得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：∵抛物线
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
令y=0，则
解得
∴OB=4，
如解图，设直线x=1与x轴的交点为 Q，则∠FQB=90°，
∴∠QFB+∠QBF=90°，
∵BF⊥BC，
∴∠FBC=90°，
∴∠OBC+∠QBF=90°，
∴∠QFB=∠OBC，
∵BQ=4-1=3，OC=3，
∴BQ=OC，
又∵∠FQB=∠BOC=90°，
∴△FQB≌△BOC，
∴BF=CB.
在Rt△BOC中，OB=4，OC=3，由勾股定理得BC=5，
∴BF=BC=5，
在CB上截取 CG=1，连接GT，CT，则 GB=5-1=4，
又∵∠GCT=∠TCB，
即
∵点F(1，4)为定点，∴当F，T，G三点共线时， 的值最小，最小值为线段GF的长，在Rt△GBF中，GB=4，BF=5，由勾股定理得
的最小值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；阿氏圆模型；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据对称得到点D的坐标，设点B(m，0)，则点E(-m，6)，代入二次函数解析式求出a，m的值解题；
（2）配方为顶点式得到对称轴为直线x=1，求出抛物线与x轴交点坐标，设直线x=1与x轴的交点为 Q，则∠FQB=90°，即可得到△FQB≌△BOC，求出BF=BC=5，在CB上截取 CG=1，连接GT，CT，即可得到进而得到当F，T，G三点共线时， 的值最小，最小值为线段GF长，根据勾股定理解题即可.
14．（2025·冷水滩模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令，则，解得，
令，则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下，根据题意，设点，
∵和相似，，
∴分类讨论：或，
①如图所示，当时，，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
解得或，
∴；
②如图所示，当时，，
过作于点，则，，，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令y=0和x=0，求出A和B的坐标，然后再将A和B的坐标代入 ，利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式
（2）先假设存在，然后再根据题意，设点，分类讨论：①如图所示，当时，，建立关于t的方程，然后再根据D点位于第一象限中x和y的特点：x>0，y>0，然后再对t的结果进行取舍，即可求出点的坐标；②如图所示，当时，，过作于点，则，，；同样根据D点位于第一象限中x和y的特点：x>0，y>0，然后再进行取舍即即可求解
（1）解：令，则，
解得，
令，则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下，
根据题意，设点，
∵和相似，，
∴分类讨论：或，
①如图所示，当时，，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
解得或，
∴；
②如图所示，当时，，
过作于点，则，，，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
七、变式2（巩固）
15．如图，已知抛物线 与直线 相交于A，B两点，交x轴于C，D 两点，连接AC，BC，已知A(0，3)，C(-3，0).
（1）求此抛物线的解析式.
（2）在抛物线对称轴l 上找一点M，使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值.
（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作PQ⊥PA 交y 轴于点Q，问：是否存在点 P，使得以A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似 若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ A(0，3)，C(-3，0)在 抛物线 上，
∴，解得：，
∴ 此抛物线的解析式 为：
（2）解：联立直线AB和抛物线的解析式，可得方程组：，解得：，
∴点B(-4，1).
点D 与点C关于l对称，MD=MC，当B，C，M 三点共线时，|MB-MD|取最大值，即为BC 的长，过点 B 作BE⊥x轴于点E，
即|MB-MD|的最大值为
（3）解：∵B（-4，1），C（-3，0），
∴BE=1，CE=1，
∴ △ BEC是等腰直角三角形，
∴∠BCE=45°，
同理，根据A，C的坐标，可得出∠ACO=45°，得∠ACB=90°.
过点 P 作 PG⊥y 轴于点G，则∠PGA=90°，设
①当∠PAQ=∠BAC 时，则△PAQ∽△CAB，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAG=∠CAB，
即
. 解得 舍去)
∴P 的纵坐标是 ∴P(1，6).
②当∠PAQ=∠ABC 时，则△PAQ∽△CBA，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，
∴△PGA∽△ACB，得 即
解得 （舍去)，x4=0(舍去).
∴此时无符合条件的点 P.
综上所述，存在点 P(1，6)，使得以A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数的对称性及应用；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据 A(0，3)，C(-3，0)在 抛物线 上，可求得b，c的值，进而得出抛物线的解析式；
（2）首先根据点B是直线AB和抛物线的交点，可求得点B的坐标，再根据对称的性质得出：当B，C，M 三点共线时，|MB-MD|取最大值，即为BC 的长，过点 B 作BE⊥x轴于点E，根据勾股定理，可得即|MB-MD|的最大值为 ；
（3）首先证得 ∠ACB是直角，过点 P 作 PG⊥y 轴于点G，则∠PGA=90°，可得出设 根据∠APQ是直角，所以 以A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似 可分成两种情况：①当∠PAQ=∠BAC 时，则△PAQ∽△CAB，进而得出根据相似三角形的性质，得出进而解方程取适合题意的解，进而可得出P 的纵坐标；②②当∠PAQ=∠ABC 时，则△PAQ∽△CBA，进而得出△PGA∽△ACB，得 即 进而得出求解判断均不符合题意。综上即可得出P的坐标。
16．抛物线L： 经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x=1交于点 B.
（1）直接写出抛物线 L 的解析式.
（2）如图①，过定点的直线y= kx-k+4(k<0)与抛物线L 交于点M，N，若△BMN 的面积等于1，求k 的值.
（3）如图②，将抛物线L 向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点 D. F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC 上一点.若△PCD 与以P，O，F 为顶点的三角形相似，并且符合条件的点 P 恰有2个，求m 的值及相应点 P 的坐标.
【答案】（1）
（2）解：B(1，2).
设直线y= kx-k+4经过定点G，则G(1，4)，BG=2，
联立y= kx--k+4与 得
得k=±3.
∵k<0，∴k=-3.
（3）解：依题意得，抛物线 L1的解析式为 ∴C(0，1+m)，D(2，1+m)，F(1，0).
设 P(0，t)，当△PCD∽△FOP 时，
即
∴t2-(1+m)t+2=0. ①
当△PCD∽△POF 时，
即
②
a.当方程①有两个相等的实数根时， ，解得m= (负值不合题意，舍去)，此时，方程①有两个相等的实数根， 方程②有一个实数根 符合题意.故点 P 的坐标是(0， 或
b.当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得 解得m=2(负值不合题意，舍去)，此时，方程①有两个不相等的实数根，t1=1，t2=2，方程②有一个实数根t=1，符合题意，故点 P 的坐标是(0，1)或(0，2).
综上，当 时，点 P 的坐标是(0， )或 当m=2 时，点 P 的坐标是(0，1)或(0，2).
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）∵经过点A(0，1)， ，
∴c=1，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=2，
∴ 抛物线 L 的解析式 为：
故答案为：
【分析】（1）利用待定系数法可求得bc的值，进而得出 抛物线 L 的解析式.
(2)由三角形面积和差关系得xM，xN之间的关系，用含k的代数式表示xM，xN；
(3)在分类讨论的基础上，建立含参数的方程，运用判别式求出参数，进而求出点 P 的坐标.
17．（2024九上·凉州月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
【答案】（1）解：该抛物线的顶点为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，
即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出该抛物线的对称轴为直线，再求出b和c的值，最后求抛物线的表达式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，再利用两点间距离公式求出，最后利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用相似三角形的判定方法求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
八、变式3（提高）
18．（2024九上·乐清月考）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴．
①当为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）①或②存在，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
19．（2024九上·龙湾月考）如图，矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，点D从点O开始沿边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿边向点O以每秒1个单位的速度移动，轴，交于点F，连接，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒．
（1）直接写出： ______， _______（含t的代数式表示）．
（2）当点D在点E的左侧时，若的面积等于2，求t的值．
（3）在整个过程中，
①若在矩形的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足条件的t的值．
②以为邻边作矩形，连接，取线段的中点Q，连接，求的最小值（直接写出答案）．
【答案】（1）4，t
（2）解：∵，，
∴，
∴或
（3）解：①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，，
∴，点B的横坐标为8，
将x=8代入 得y=4，
∴，
∴，
∵，
∴=90°，
∴，即，
∴，
故答案为：4，t；
（3）②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为.
【分析】（1）根据矩形性质、点的坐标与图形性质及直线上点的坐标特点求出A、B的坐标，从而可得AB的长，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DF∥AB，进而利用平行线分线段成比例定理求出DF的长即可；
（2）根据DE=OA-OD-AE表示出DE，利用三角形的面积公式列出方程，即可求解；
（3）①分当时，当时，当时，三种情况分别求解即可；②由题意得，，根据两点间距离公式列出表达式，利用二次函数的性质即可求解
（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴或
（3）①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为
20．（2023九上·乐清月考）如图，抛物线与x轴交于点A，顶点为B．点C在y轴的负半轴，，点P是该抛物线上的动点，且位于对称轴的右侧．
（1）写出点A，B的坐标：，．
（2）若点P在第四象限，记四边形OPAB的面积为S，设点P的横坐标为m．
①求S关于m的函数表达式．
②在①的条件下，连结PC，满足，求四边形OPAB的面积．
（3）设PO，PC分别与对称轴交于点D，E，且DC平分，求点P的坐标．
【答案】（1），；（2）①；②四边形OPAB的面积；（3）点P的坐标为或．
【知识点】二次函数-特殊四边形存在性问题
九、原题25
21．（2025·青海）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
（1） 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 60° 360°÷60°=6 能
正方形 ① ② 能
正五边形 108° 不能
正六边形 120° 能
正七边形 900° 7 不能
正八边形 135° ③ ④
… … … 　
请补全上述表格①　 　； ②　 　； ③　 　； ④　 　.
（2） 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.
观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D，( ， 在Rt△ADO中， . 则 的周长为(
①如图2， 正方形ABCD的周长为 ；
②如图3，求出正六边形的周长(写出求解过程).
（3）探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为　 　；正方形的面积为　 　；正六边形的面积为　 　.
【得出结论】综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.
【答案】（1）90°；；；不能
（2）解： ①8
②如图，
⊙O为正六边形的内切圆与 CD切于点M，连接OM，OD
∴OM⊥CD且(
在Rt△MOD中， ∠OMD=90°， ∠ODM=60°
（3）；9；6
【知识点】含30°角的直角三角形；平面镶嵌（密铺）；圆内接正多边形；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】解：(1)①正方形每个内角为90°，②90°能被360°整除，即；③，故④不能密铺；
(2)①由OD=1知圆的半径为1，在图2中，正方形的边长为2，故周长为8；
(3)周长为12，则正三角形边长为4，面积S=；
正方形的边长为3，面积为9；
正六边形的边长为2，则面积为S
【分析】(1)直接由表格中的提示填写能否整除、能否密铺；
(2)由图1知圆的半径，得圆2中的正方形的边长，利用特殊三角形可得DM可得正六边形的边长；
(3)由周长可得正多边形的边长，再分别求出面积即可.
十、变式1[基础]
22．（2024九上·杭州期中）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图，为的弦，画一条与长度相等的弦；
（2）如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径；
【答案】（1）解：连接BO，CO并延长，分别与 相较于点D，E，
易得∠BOC=∠DOE，
∴BC=DE.
如图所示，弦即为要求作的弦.
（2）解：直径如图所示：
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得；
（2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，AE=ED=EC=CB=AB，∠AED=∠EDC=∠DCB=∠CBA=∠BAE=108°，可得△AED，△ABC，和△BCD是全等的等腰三角形，继而可证得∠ACB=∠DBC=∠NDA=∠NAD=36°，则有，BN=CN，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，于是有，故为直径．
（1）解：与长度相等的弦如图所示：
（2）解：直径如图所示：
23．（2024九上·江北开学考）如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
【答案】（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接正多边形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）如图1中，连接、．利用正方形的性质可求出∠AOD的度数，再利用圆周角定理可求出∠AED的度数.根
（2）如图2中，连接，，，，作于．利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，同时可证得∠DEC=∠AFB，利用AAS可证得△CDE≌△ABF，利用全等三角形的性质可求出CE的长；再利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形求出AD的长；同时可证得DH=EH，设DH=EH=x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，据此可求出DE的长.
（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
24．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点，连结AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．
（1）求∠CAD的度数．
（2）连结AE，求证：AE=ME．
【答案】（1）解：∵A，B，C，D，E是⊙O上的5等分点，
∴∠COD==72°，
∴∠CAD=∠COD=36°．
（2）解：如图，
同(1)可得∠EBD=∠BDA=36°．
∵∠AEB=∠BDA，
∴∠DAE=∠EBD，
∠CAD=36°，
∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，
∴∠AME=180°-72°-36°=72°，
∴∠MAE=∠AME，∴AE=ME．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】 （1）根据圆内接正多边形的性质即可求解；
（2）先求出∠MAE=72°，∠AEB=36°，然后由三角形内角和定理即可求解.
25．想一想：用若干个全等的正五边形能镶嵌平面吗？为什么？
事实上，如果用正多边形来镶嵌平面，那么共顶点的各个角之和必须等于．例如，用正六边形镶嵌平面（图5），共顶点的3个角之和为．因此能镶嵌平面的正多边形的内角度数一定能整除360，所以，能单独镶嵌平面的正多边形只有3种，即正三角形、正方形、正六边形．
如果用多种正多边镶嵌平面，那么能镶嵌平面的正多边图形就不止上面所说的这3种．
【答案】解：正五边形不能单独镶嵌平面，因为正五边形的一个内角为108°，3个内角和为324°<360°，4个内角和为432°>360°，不能拼成周角.
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【分析】正五边形的一个内角为108°，而360°不被108°整除，故正五边形的内角不能拼成周角，因此正五边形不能单独镶嵌平面.
十一、变式2[巩固]
26．如图，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接正三角形、内接正四边形、内接正五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）在图1中，求∠APB的度数．
（2）在图2中，求∠APB的度数；在图3中，求∠APB的度数．
（3）根据前面的探索，若多边形ABCDE……是⊙O的正n边形，则∠APB的度数是(用含n的代数式表示)．
【答案】（1）解：∵点M和点N的速度相同，
∴，∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°，
∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=120°．
（2）解：在题图2中，∵∠BAM=∠CBN，
∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°，
∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=90°．
在题图3中，∵∠BAM=∠CBN，
∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=108，
∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=72°．
（3）解：如图，
∵∠BAM=∠CBN，
∴∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=180°-，
∴∠APB=180°-(∠BAM+∠ABN)=
故答案为
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAM=∠CBN，得出∠BAM+∠ABN=60°，然后根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）由圆周角定理可得∠BAM=∠CBN，得出∠BAM+∠ABN=108°，然后根据三角形内角和定理即可得到答案；
（3）先求出∠BAM+∠ABN=180°-，然后根据三角形内角和定理即可得到答案.
27．如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．
①作直径．
②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点．
③连结．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连结这些等分点，得到正边形，求的值．
【答案】（1）解：五边形是正五边形，
，即．
（2）解：是正三角形
理由：连结ON，NF，由题意，可得FN=ON=OF
∴△FON是等边三角形，∴∠NFA=60°
，同理可得：，
是正三角形．
（3）解：，
，
．
的值是15．
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】(1)直接由正多边形的内角和除以5即得每个内角的度数，即得∠ABC的度数；
(2)由作图知△OFN为等边三角形，即得∠NMA=∠ANM=60°，即可证明△MAN为等边三角形；
(3)由题知多边形的中心角为24，360÷24即得多边形的边数.
28．（2022·金华）如图
如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法如图2.
1.作直径AF.
2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.
3.连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE.
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：△AMN是正三角形，理由如下：
连结ON，FN，由作图知：FN=FO
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN
∴△OFN是正三角形，
∴∠F=60°.
∴∠AMN=∠F=60°.
同理，∠ANM=60°.
∴∠MAN=60°，即∠AMN=∠ANM=∠MAN
∴△AMN是正三角形.
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据正五边形的性质，可得各边所对的弧相等，即可求得弧ACE的度数，再根据弧、圆心角及圆周角定理可求出∠ABC的度数；
（2）△AMN是正三角形. 由以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N，易得ON=OF=FN，即△OFN是正三角形，则∠AMN=∠F=60°，同理求得∠ANM=60°，即可判定△AMN是正三角形；
（3）由等边三角性质及弧、圆心角及圆周角定理可求出弧AN=120°，又弧AD的度数为144°，再又弧DN的度数等于弧AD和弧AN度数之差，即弧DN=24°，再由360÷24° 即可求出n值.
29．（2020·椒江模拟）如图（1），正五边形ABCDE与⊙O相切于点A，点C在⊙O上．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，求劣弧AC的长度；
（3）如图（2），连接AD交⊙O于点F．求证：四边形ABCF是菱形．
【答案】（1）证明：如图，连接OA，OB，OC.
∵AE是⊙O的切线
∴OA⊥AE
∴∠OAE=90°
在△ABO和△CBO中，
△ABO △CBO
∴∠BAO=∠BCO
90 .
∴OC⊥CD
CD是⊙O的切线
（2）解：∵ EAO+∠AOC+∠OCD+∠D+∠E=540
∴∠AOC=144
∴
（3）证明：∵五边形ABCDE是正五边形
∴∠E=∠B=108°，EA=ED
∴∠1=36°
∴∠BAD=72°
即：∠B+∠BAD=180°
∴BC∥AD
由(2)得∠AOC=
∴∠AFC=
∴∠AFC+∠BAD=180°
∴BA∥CF
∴四边形BCFA是平行四边形
又∵BA=BC
平行四边形BCFA是菱形
【知识点】切线的判定与性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，OC，利用切线的性质可得到∠OAE=90°，再利用SSS证明△ABO≌△CBO，可以推出∠BAO=∠BCO，然后可证得OC⊥CD，利用切线的判定定理可证得结论。
（2）利用五边形的内角和定理求出∠AOC的度数，再利用弧长公式进行计算可求出劣弧AC的长度。
（3）由AE=DE和∠E的度数，就可求出∠1的度数，即可得到∠BAD的度数，再利用平行线的判定定理证明BC∥AD，BA∥CF，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形BCFA是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论。
十二、变式3[提高]
30．如图 ，正三角形、正方形、正六边形等正 边形与圆的形状有差异，我们将正 边形与圆的接近程度称为“接近度”．
（1）角的 “接近度” 定义：设正 边形的每个内角的度数为 ， 将正 边形的 “接近度”定义为 ． 于是 越小，该正 边形就越接近于圆．
①若 ， 则该正 边形的 “接近度”等于　 　.
②若 ， 则该正 边形的“接近度”等于　 　.
③当“接近度”等于　 　时， 正 边形就成了圆．
（2）边的 “接近度” 定义： 设一个正 边形的外接圆的半径为 ， 正 边形的中心到各边的距离为 ，将正 边形的“接近度”定义为 ． 分别计算当 时边的“接近度”， 并猜测当边的“接近度”等于多少时， 正 边形就成了圆．
【答案】（1）120；18；0
（2）解：如图：
当n=3时，
∵∠CAB= 60°，
∴∠OAD=30°，
∴
∴．
当n=6时，
∵，
∴∠OAD=60°.
∴.
∴.
当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆.
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）， 则该正 边形的 “接近度”等于.
， 则该正 边形的“接近度”等于
当“接近度”时等于0时， 正 边形就成了圆．
故答案为：①120；②18；③0.
【分析】（1）根据定义，分别计算n=3和n=20时角的“接近度”，并据此推算规律即可.
（2）根据定义，分别计算n=3和n=6时边的“接近度”，并据此推算规律即可.
31．（2023八下·瑞安期中）
如何设计计算油漆用量的方案？
素材1 小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案.他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆.
素材2 奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为（其中m，n为常数）.示例：如图2，格点多边形内的格点数，边界上的格点数，格点多边形的面积.
问题解决
任务1 在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a，边界上的格点数b和面积S. ▲ ▲ ▲
任务2 得出格点多边形的面积公式 根据图2和图3的数据，求常数m，n的值.
任务3 计算油漆的用量 求需要红色油漆多少升？
【答案】解：任务1，如图所示：
；
2；4；3；
任务2：把数据代入得：
，
解得：
任务3：把代入公式－1得：，
33（升）
∴需要别0.66升红色油漆.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；平面镶嵌（密铺）
【解析】【分析】（1）由题意并结合网格图的特征可求解；
（2）把（1）中的a、b、s的值代入s=ma+nb-1可得关于m、n的方程组，解方程组可求解；
（3）由题意把a=26，b=16代入（2）中的式子计算即可求得s的值，然后根据需要红色油漆=面积s×刷1平方分米需要的油漆可求解.
32．问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见.对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、正方形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点 O 周围围绕着4个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 ▲ 个正六边形的内角.
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：
整理得：2x+3y=8，
我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌 若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由.
验证2： ▲
结论2： ▲
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案.
问题拓展
请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程.
猜想3： ▲
验证3： ▲
结论3： ▲
【答案】解：验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角.
根据题意，可得方程：60a+120b=360.
整理得：a+2b=6，可以找到两组适合方程的正整数解为 和
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 m 个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360，整理得：2m+3n+4c=12，可以找到唯一一组适合方程的正整数解为
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【分析】根据正多边形的性质及多边形的内角和建立方程，化简即可求出答案.
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