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【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第11~12题
一、原题11
1．（2025·北京） 方程 的解为　 　.
【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2x+x-6=0
移项，合并同类项可得，3x=6
系数化为1可得，x=2
经检验，x=2是原方程的解
故答案为：x=2
【分析】去分母转化为整式方程，再解方程即可求出答案.
二、变式1基础
2．（2025·浙里三模）若=2，则x=　 　.
【答案】2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x=2(2x-3)，
去括号得：x=4x-6，
解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解，
∴原方程的解为：x=2.
故答案为：2.
【分析】根据分式方程的解题步骤“去分母、解整式方程、检验”可求解.
3．（2025·义乌模拟）若分式的值为，则　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
根据题意，列出关于a的分式方程，即可解答，但需注意分式方程的求解步骤.
4．（2025·临安模拟）若，则　 　.
【答案】x=-2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
故答案为：．
【分析】将分式方程两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
三、变式2巩固
5．（2025·从化模拟）分式方程的解为　 　．
【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解为，
故答案为：。
【分析】分式两边同时乘以x（x-1），将分式方程化成：，然后再去括号，合并同类项，最后再将系数化为1，即可求解，然后再将x的值进行验证，即可
6．（2025·武汉）方程 的解是　 　.
【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，x+1=4
解得：x=3
经检验，x=3是方程的解
故答案为：3
【分析】去分母，将返程转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
7．（2025·永州模拟）分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程得解，
故答案为：．
【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
四、变式3提高
8．（2023八下·宁武期中）已知关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围是　 　．
【答案】 且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：两边同乘以
得：
解得：
检验： ， 得
又∵方程的解为负数，得
解得：
故：答案为
【分析】本题考查分式方程的解及分式有意义的条件（分母不为零）
9．（2025八下·深圳期中）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是　 　．
【答案】a < -1且a ≠ -2
【知识点】分式有无意义的条件；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘 ( x + 1 ) ，去分母得：
2 x 3a = x + 1
整理得：
x = 3a + 1
∵方程的解 x 为负数且 x ≠ -1，
∴3a + 1且3a + 1≠ -1，
解得 a < -且a ≠ -，
故答案为：a < -且a ≠ -.
【分析】 首先通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出x的表达式x = 3a + 1；再根据方程的解 x 为负数且 x ≠ -1，代入x的值，即可得到a的取值范围.
10．（2023八下·西安期末）若关于的方程有增根，则的值是　 　．
【答案】2
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：原式=，
去分母得：2-2x+m=3x-6，
根据分式方程有增根得：x-2=0，则x=2，
将x=2代入整式方程：2-4+m=0，
解得：m=2.
故答案为：2.
【分析】先将原方程化简成整式方程，再根据分式方程有增根得到x=2，再x=2代入整式方程即可得到结果.
五、原题12
11．（2025·北京）某地区七年级共有2000名男生.为了解这些男生的体重指数(BMI)分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据(单位： 并根据七年级男生体质健康标准整理如下：
等级 低体重 正常 超重 肥胖
BMI ≤15.4 15.5~22.1 22.2~24.9 ≥25.0
人数 6 75 15 4
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是　 　.
【答案】1500
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数为
故答案为： 1500
【分析】根据总人数乘以正常的占比即可求出答案.
六、变式1（基础）
12．（2025八上·长沙开学考）一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有　 　个．
【答案】15
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
13．（2025·岳阳模拟）2025年春节，国产动画片《哪吒2》票房突破150亿，进入全球票房榜前五，是全球动画电影票房冠军，两大主角“哪吒”和“敖丙”深受广大观众的喜爱．某玩具厂看准商机，制作了“哪吒”和“敖丙”玩偶．现从制作的10万个玩偶中随机抽取了200个玩偶样品做了检查，发现有3个不合格，由此我们估计这10万个玩偶中约有　 　个不合格产品．
【答案】1500
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
14．（2024七下·宁乡市期末）为估算湖里有多少条鱼，先捕上50条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上100条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，那么湖里大约有　 　条鱼．
【答案】1000
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：可估计湖里大约有鱼：
（条），
故答案为：1000．
【分析】用5除以100，求出有标记的占比，然后再用50除以有标记的占比，即可求出总数．
七、变式2（巩固）
15．4月23日是世界读书日，这天某校为了了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：
阅读时间x（时）
人数 12 8 6 4
若该校共有1200名学生，估计全校每周课外阅读时间在5 小时以上的学生人数为　 　.
【答案】400
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为=400（名），
故答案为：400名.
【分析】用总人数乘以样本中每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可.
16．工厂生产了 10000 只灯泡，为了解这 10000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了 100 只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命(单位：h)，数据整理如下：
使用寿命(h) x<1000 1000≤x<1600 1600≤x<2200 2200≤x<2800 x≥2800
灯泡数量(只) 10 20 24 34 12
根据以上数据，估计这 10000 只灯泡中使用寿命不小于 1600 h的灯泡的数量为　 　只.
【答案】7000
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计这10000只灯泡中使用寿命不小于1600小时的灯泡的数量为 (只)。
故答案为： 7000.
【分析】用10000乘以使用寿命不小于1600小时的百分比即可.
17．（2025·南宁模拟）某中学随机抽查了50名学生，了解他们平均每天的睡眠时间，结果如表所示：
时间（小时） 6 7 8 9
人数 3 6 32 9
根据学生睡眠管理相关规定，初中学生平均每天睡眠时间不低于8小时，该校共有学生3000人，估计该校学生睡眠时间符合要求的约有　 　人．
【答案】2460
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（人）；
故答案为：2460．
【分析】用总人数乘以样本中平均每天睡眠时间不低于8小时的人数所占的比例，求解即可．
八、变式3（提高）
18．某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用.学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：注：该校每名学生被抽到的可能性相等，每名被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目.若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有　 　人.
【答案】120
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意得：
1000×12%=120(人)，
答：该校喜欢跳绳的学生大约有120人，
故答案为：120.
【分析】用总人数乘以喜欢跳绳的学生所占的百分比即可得出答案.
19．（2025八下·海宁月考）某学校政教处组织了对某班关于“2023年全国两会《政府工作报告》知多少”的问卷调查后，绘制了两幅尚不完整的统计图.这次问卷调查“2023年全国两会《政府工作报告》知多少”中很少了解的学生人数是　 　人.
2023年全国两会《政府工作报告》知多少统计图
【答案】4
【知识点】扇形统计图；折线统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：全班学生人数为：(人)，
“基本了解”的人数为：48×25%=12(人)，
“了解很少”的人数为：48-24-8-12=4(人)，
故答案为：4.
【分析】用“了解”等级的人数除以它所对应的百分比50%可得全班学生人数，再用全班学生乘“基本了解”所占百分比可得“基本了解”的人数，然后用全班学生人数分别减去其它三个等级人数可得答案.
20．（2024八上·南海月考）为了解社区岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民层开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图，若该社区中岁的居民约8000人，请根据图中信息估算其中岁的人群中最喜欢微信支付方式的人数为　 　人．
【答案】2800
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
1 / 1【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第11~12题
一、原题11
1．（2025·北京） 方程 的解为　 　.
二、变式1基础
2．（2025·浙里三模）若=2，则x=　 　.
3．（2025·义乌模拟）若分式的值为，则　 　．
4．（2025·临安模拟）若，则　 　.
三、变式2巩固
5．（2025·从化模拟）分式方程的解为　 　．
6．（2025·武汉）方程 的解是　 　.
7．（2025·永州模拟）分式方程的解是　 　．
四、变式3提高
8．（2023八下·宁武期中）已知关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围是　 　．
9．（2025八下·深圳期中）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是　 　．
10．（2023八下·西安期末）若关于的方程有增根，则的值是　 　．
五、原题12
11．（2025·北京）某地区七年级共有2000名男生.为了解这些男生的体重指数(BMI)分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据(单位： 并根据七年级男生体质健康标准整理如下：
等级 低体重 正常 超重 肥胖
BMI ≤15.4 15.5~22.1 22.2~24.9 ≥25.0
人数 6 75 15 4
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是　 　.
六、变式1（基础）
12．（2025八上·长沙开学考）一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有　 　个．
13．（2025·岳阳模拟）2025年春节，国产动画片《哪吒2》票房突破150亿，进入全球票房榜前五，是全球动画电影票房冠军，两大主角“哪吒”和“敖丙”深受广大观众的喜爱．某玩具厂看准商机，制作了“哪吒”和“敖丙”玩偶．现从制作的10万个玩偶中随机抽取了200个玩偶样品做了检查，发现有3个不合格，由此我们估计这10万个玩偶中约有　 　个不合格产品．
14．（2024七下·宁乡市期末）为估算湖里有多少条鱼，先捕上50条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上100条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，那么湖里大约有　 　条鱼．
七、变式2（巩固）
15．4月23日是世界读书日，这天某校为了了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：
阅读时间x（时）
人数 12 8 6 4
若该校共有1200名学生，估计全校每周课外阅读时间在5 小时以上的学生人数为　 　.
16．工厂生产了 10000 只灯泡，为了解这 10000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了 100 只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命(单位：h)，数据整理如下：
使用寿命(h) x<1000 1000≤x<1600 1600≤x<2200 2200≤x<2800 x≥2800
灯泡数量(只) 10 20 24 34 12
根据以上数据，估计这 10000 只灯泡中使用寿命不小于 1600 h的灯泡的数量为　 　只.
17．（2025·南宁模拟）某中学随机抽查了50名学生，了解他们平均每天的睡眠时间，结果如表所示：
时间（小时） 6 7 8 9
人数 3 6 32 9
根据学生睡眠管理相关规定，初中学生平均每天睡眠时间不低于8小时，该校共有学生3000人，估计该校学生睡眠时间符合要求的约有　 　人．
八、变式3（提高）
18．某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用.学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：注：该校每名学生被抽到的可能性相等，每名被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目.若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有　 　人.
19．（2025八下·海宁月考）某学校政教处组织了对某班关于“2023年全国两会《政府工作报告》知多少”的问卷调查后，绘制了两幅尚不完整的统计图.这次问卷调查“2023年全国两会《政府工作报告》知多少”中很少了解的学生人数是　 　人.
2023年全国两会《政府工作报告》知多少统计图
20．（2024八上·南海月考）为了解社区岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民层开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图，若该社区中岁的居民约8000人，请根据图中信息估算其中岁的人群中最喜欢微信支付方式的人数为　 　人．
答案解析部分
1．【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2x+x-6=0
移项，合并同类项可得，3x=6
系数化为1可得，x=2
经检验，x=2是原方程的解
故答案为：x=2
【分析】去分母转化为整式方程，再解方程即可求出答案.
2．【答案】2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x=2(2x-3)，
去括号得：x=4x-6，
解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解，
∴原方程的解为：x=2.
故答案为：2.
【分析】根据分式方程的解题步骤“去分母、解整式方程、检验”可求解.
3．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
根据题意，列出关于a的分式方程，即可解答，但需注意分式方程的求解步骤.
4．【答案】x=-2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
故答案为：．
【分析】将分式方程两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
5．【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解为，
故答案为：。
【分析】分式两边同时乘以x（x-1），将分式方程化成：，然后再去括号，合并同类项，最后再将系数化为1，即可求解，然后再将x的值进行验证，即可
6．【答案】x=3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，x+1=4
解得：x=3
经检验，x=3是方程的解
故答案为：3
【分析】去分母，将返程转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程得解，
故答案为：．
【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
8．【答案】 且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：两边同乘以
得：
解得：
检验： ， 得
又∵方程的解为负数，得
解得：
故：答案为
【分析】本题考查分式方程的解及分式有意义的条件（分母不为零）
9．【答案】a < -1且a ≠ -2
【知识点】分式有无意义的条件；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘 ( x + 1 ) ，去分母得：
2 x 3a = x + 1
整理得：
x = 3a + 1
∵方程的解 x 为负数且 x ≠ -1，
∴3a + 1且3a + 1≠ -1，
解得 a < -且a ≠ -，
故答案为：a < -且a ≠ -.
【分析】 首先通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出x的表达式x = 3a + 1；再根据方程的解 x 为负数且 x ≠ -1，代入x的值，即可得到a的取值范围.
10．【答案】2
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：原式=，
去分母得：2-2x+m=3x-6，
根据分式方程有增根得：x-2=0，则x=2，
将x=2代入整式方程：2-4+m=0，
解得：m=2.
故答案为：2.
【分析】先将原方程化简成整式方程，再根据分式方程有增根得到x=2，再x=2代入整式方程即可得到结果.
11．【答案】1500
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数为
故答案为： 1500
【分析】根据总人数乘以正常的占比即可求出答案.
12．【答案】15
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
13．【答案】1500
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
14．【答案】1000
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：可估计湖里大约有鱼：
（条），
故答案为：1000．
【分析】用5除以100，求出有标记的占比，然后再用50除以有标记的占比，即可求出总数．
15．【答案】400
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为=400（名），
故答案为：400名.
【分析】用总人数乘以样本中每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可.
16．【答案】7000
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：估计这10000只灯泡中使用寿命不小于1600小时的灯泡的数量为 (只)。
故答案为： 7000.
【分析】用10000乘以使用寿命不小于1600小时的百分比即可.
17．【答案】2460
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（人）；
故答案为：2460．
【分析】用总人数乘以样本中平均每天睡眠时间不低于8小时的人数所占的比例，求解即可．
18．【答案】120
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意得：
1000×12%=120(人)，
答：该校喜欢跳绳的学生大约有120人，
故答案为：120.
【分析】用总人数乘以喜欢跳绳的学生所占的百分比即可得出答案.
19．【答案】4
【知识点】扇形统计图；折线统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：全班学生人数为：(人)，
“基本了解”的人数为：48×25%=12(人)，
“了解很少”的人数为：48-24-8-12=4(人)，
故答案为：4.
【分析】用“了解”等级的人数除以它所对应的百分比50%可得全班学生人数，再用全班学生乘“基本了解”所占百分比可得“基本了解”的人数，然后用全班学生人数分别减去其它三个等级人数可得答案.
20．【答案】2800
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
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