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【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第13~14题
一、原题13
1．（2025·北京）能说明命题“若 则a >2b”是假命题的一组实数a，b的值为( 　 　，b=　 　.
二、变式1基础
2．（2022八上·柯桥月考）命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是　 　命题（填“真”或“假”）
3．命题“若a>b，则a-34．（2025八上·吴兴期末）命题“是无理数”是　 　命题．（填“真”或“假”）
三、变式2巩固
5．（2024七下·北京市期中）要说明命题“若a＜1，则a2＜1”是假命题，可以举的反例是a＝　 　（一个即可）
6．（2025八上·诸暨月考）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是　 　．（填写一个符合条件的的值）．
7．（2025八上·嘉兴期末）要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是　 　（写出一个即可）．
四、变式3提高
8．（2024七下·路桥期中） 要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当　 　时，　 　，得　 　a，所以这是一个假命题．
9．用举反例的方法说明命题“若a10．（2025七下·北京市期中）能说明命题“如果、都是无理数，那么它们的和也为无理数”为假命题的反例是：　 　，　 　．
五、原题14
11．（2025·北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为　 　°.
六、变式1（基础）
12．（2025·玉环二模）如图，AB切于点，且，连接OB，OA，若，则的半径为　 　．
13．（2025·龙泉二模）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，B为切点，连结AC。若BC=3，AC=5，则直径AB的长为　 　。
14．（2023·金东模拟）如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 　 　．
七、变式2（巩固）
15．（2024·浙江模拟）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 　 　°．
16．（2025九下·金华月考）如图，为的切线点A为切点，交于点C，点D在上，连接、、，若，则的度数为　 　．
17．（2025九下·瑞安开学考）如图，AB是的直径，AC切于点A，BC与交于点，连结OD.若，则的度数为　 　.
八、变式3（提高）
18．（2024·金华模拟）如图，过外一点作圆的切线，点A，B为切点，为直径，设，，则的等量关系为　 　．
19． 如图，AB切⊙O于 A 点，连结 BO交⊙O于点C，D 是⊙O优弧ADC 上一点.若∠B=α，则∠ADC=　 　（用含α的代数式表示）.
20．如图，AB切于点，连接BO交于点C，D是优弧上一点，若为，则　 　(用含的代数式表示).
答案解析部分
1．【答案】-3；1
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=-3，b=1时，，但a <2b
故答案为： -3；1
【分析】根据不等式的性质举例即可求出答案.
2．【答案】假
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【分析】全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，因为面积相等的两个三角形的底、高不一定对应相等，然后结合全等三角形的判定定理进行判断.
3．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：根据不等式的性质1：不等式两边同时加或减同一个数或式子，不等号方向不变，故已知a>b，则得a-3>b-3，故可知命题“若a>b，则a-3故答案为：假.
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，若由题设可以推出结论，则这个命题为真命题，反之则为假命题，结合不等式的性质1即可判断.
4．【答案】真
【知识点】无理数的概念；真命题与假命题
5．【答案】 2（答案不唯一，满足题意即可）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：由题意，当a= 3时，满足a<1，但不满足a2<1，
故答案为： 3（答案不唯一，满足题意即可）．
【分析】要使得a2<1成立，则 16．【答案】-2
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】当a=-2时，=2，此时=-a，说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，
故答案为：-2（答案不唯一）.
【分析】根据绝对值得性质分析不同取值范围的a即可得解.
7．【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”是假命题，
∴，
∴反例的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据不等式的基本性质举反例即可．
8．【答案】；；
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，，
∵，
∴，
∴这是一个假命题.
故答案为：、、.
【分析】举例说明一个命题是假命题的反例，需要满足命题的题设，不满足命题的结论，据此解答即可.
9．【答案】-1；0(答案不唯一)
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当a=-1，b=0时，
∴“若a故答案为：a=-1，b=0(答案不唯一)
【分析】举反例就是给出符合命题条件但不符合命题结论的例子来说明命题不成立.
10．【答案】（答案不唯一）；（答案不唯一）
【知识点】无理数的概念；举反例判断命题真假
11．【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB与相切于点B
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°
∵，AB=3
∴
∴，即的半径为.
故答案为：.
【分析】由已知条件AB与相切，可得半径OB与切线AB垂直，再利用锐角三角函数，即，可以求出的半径。
13．【答案】4
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的直径 ，AB与 ⊙O相切， B为切点
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°
在Rt△ABC中，.
故答案为：4.
【分析】直线与圆相切时，根据切线的性质定理得到AB⊥BC，再根据勾股定理计算出AB的长度即可。
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
有切线连半径是解决圆的计算与证明的常用技巧，因此先连接OC得到直角三角形ODC，显然再利用直角三角形两锐角互余的性质结合同弧所对的圆周角与圆心角的关系定理即可．
15．【答案】27
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：27．
【分析】由切线性质可得∠A=90°，由直角三角形的两锐角互余可算出∠AOC的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠B的度数.
16．【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
17．【答案】66°
【知识点】切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 是的直径，切于点又故答案为：.
【分析】由圆周角定理知等于的2倍，由切线的概念知是直角等于90度，再直角三角形两锐角互余可得的度数，则可求.
18．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；切线的性质
19．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AB切⊙O于A点 ，
∴∠OAB=90°，
又∵∠B= α ，
∴∠AOB=90°- α ，
∴∠ADC=.
故答案为：.
【分析】连接OA，由圆的切线垂直于经过切点的半径得∠OAB=90°，由直角三角形的量锐角互余算出∠AOB的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠ADC的度数.
20．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OA，如图：
∵ AB切于点，
∴∠OAB=90°，
∴∠AOB=90°-α，
∴
故答案为：
【分析】由切线的性质知∠OAB=90°，即可得∠AOC，由圆周角与圆心角的关系可得∠ADC的度数.
1 / 1【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第13~14题
一、原题13
1．（2025·北京）能说明命题“若 则a >2b”是假命题的一组实数a，b的值为( 　 　，b=　 　.
【答案】-3；1
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=-3，b=1时，，但a <2b
故答案为： -3；1
【分析】根据不等式的性质举例即可求出答案.
二、变式1基础
2．（2022八上·柯桥月考）命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是　 　命题（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【分析】全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，因为面积相等的两个三角形的底、高不一定对应相等，然后结合全等三角形的判定定理进行判断.
3．命题“若a>b，则a-3【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：根据不等式的性质1：不等式两边同时加或减同一个数或式子，不等号方向不变，故已知a>b，则得a-3>b-3，故可知命题“若a>b，则a-3故答案为：假.
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，若由题设可以推出结论，则这个命题为真命题，反之则为假命题，结合不等式的性质1即可判断.
4．（2025八上·吴兴期末）命题“是无理数”是　 　命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【知识点】无理数的概念；真命题与假命题
三、变式2巩固
5．（2024七下·北京市期中）要说明命题“若a＜1，则a2＜1”是假命题，可以举的反例是a＝　 　（一个即可）
【答案】 2（答案不唯一，满足题意即可）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：由题意，当a= 3时，满足a<1，但不满足a2<1，
故答案为： 3（答案不唯一，满足题意即可）．
【分析】要使得a2<1成立，则 16．（2025八上·诸暨月考）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是　 　．（填写一个符合条件的的值）．
【答案】-2
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】当a=-2时，=2，此时=-a，说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，
故答案为：-2（答案不唯一）.
【分析】根据绝对值得性质分析不同取值范围的a即可得解.
7．（2025八上·嘉兴期末）要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”是假命题，
∴，
∴反例的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据不等式的基本性质举反例即可．
四、变式3提高
8．（2024七下·路桥期中） 要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当　 　时，　 　，得　 　a，所以这是一个假命题．
【答案】；；
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，，
∵，
∴，
∴这是一个假命题.
故答案为：、、.
【分析】举例说明一个命题是假命题的反例，需要满足命题的题设，不满足命题的结论，据此解答即可.
9．用举反例的方法说明命题“若a【答案】-1；0(答案不唯一)
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当a=-1，b=0时，
∴“若a故答案为：a=-1，b=0(答案不唯一)
【分析】举反例就是给出符合命题条件但不符合命题结论的例子来说明命题不成立.
10．（2025七下·北京市期中）能说明命题“如果、都是无理数，那么它们的和也为无理数”为假命题的反例是：　 　，　 　．
【答案】（答案不唯一）；（答案不唯一）
【知识点】无理数的概念；举反例判断命题真假
五、原题14
11．（2025·北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为　 　°.
【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
六、变式1（基础）
12．（2025·玉环二模）如图，AB切于点，且，连接OB，OA，若，则的半径为　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB与相切于点B
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°
∵，AB=3
∴
∴，即的半径为.
故答案为：.
【分析】由已知条件AB与相切，可得半径OB与切线AB垂直，再利用锐角三角函数，即，可以求出的半径。
13．（2025·龙泉二模）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，B为切点，连结AC。若BC=3，AC=5，则直径AB的长为　 　。
【答案】4
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的直径 ，AB与 ⊙O相切， B为切点
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°
在Rt△ABC中，.
故答案为：4.
【分析】直线与圆相切时，根据切线的性质定理得到AB⊥BC，再根据勾股定理计算出AB的长度即可。
14．（2023·金东模拟）如图，是的直径，点D在的延长线上，DC切⊙O于点C，若，则的度数为 　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
有切线连半径是解决圆的计算与证明的常用技巧，因此先连接OC得到直角三角形ODC，显然再利用直角三角形两锐角互余的性质结合同弧所对的圆周角与圆心角的关系定理即可．
七、变式2（巩固）
15．（2024·浙江模拟）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是 　 　°．
【答案】27
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：27．
【分析】由切线性质可得∠A=90°，由直角三角形的两锐角互余可算出∠AOC的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠B的度数.
16．（2025九下·金华月考）如图，为的切线点A为切点，交于点C，点D在上，连接、、，若，则的度数为　 　．
【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
17．（2025九下·瑞安开学考）如图，AB是的直径，AC切于点A，BC与交于点，连结OD.若，则的度数为　 　.
【答案】66°
【知识点】切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 是的直径，切于点又故答案为：.
【分析】由圆周角定理知等于的2倍，由切线的概念知是直角等于90度，再直角三角形两锐角互余可得的度数，则可求.
八、变式3（提高）
18．（2024·金华模拟）如图，过外一点作圆的切线，点A，B为切点，为直径，设，，则的等量关系为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；切线的性质
19． 如图，AB切⊙O于 A 点，连结 BO交⊙O于点C，D 是⊙O优弧ADC 上一点.若∠B=α，则∠ADC=　 　（用含α的代数式表示）.
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AB切⊙O于A点 ，
∴∠OAB=90°，
又∵∠B= α ，
∴∠AOB=90°- α ，
∴∠ADC=.
故答案为：.
【分析】连接OA，由圆的切线垂直于经过切点的半径得∠OAB=90°，由直角三角形的量锐角互余算出∠AOB的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠ADC的度数.
20．如图，AB切于点，连接BO交于点C，D是优弧上一点，若为，则　 　(用含的代数式表示).
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OA，如图：
∵ AB切于点，
∴∠OAB=90°，
∴∠AOB=90°-α，
∴
故答案为：
【分析】由切线的性质知∠OAB=90°，即可得∠AOC，由圆周角与圆心角的关系可得∠ADC的度数.
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