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【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第19~20题
一、原题19
1．（2025·北京） 已知a+b-3 =0，求代数式 的值.
二、变式1基础
2．（2020七下·青岛月考）当x=﹣1，y= 时，求x2+xy﹣y2的值．
3．（2021八下·无为期中）已知，求代数式的值．
4．（2020七上·徐州月考）已知a=﹣4，b=2，求式子 的值.
三、变式2巩固
5．（2025·西城模拟）已知，求代数式的值．
6．（2025·朝阳模拟）已知，求代数式的值．
7．已知 m+3n-9=0，求代数式 的值
四、变式3提高
8．（2024·东莞模拟）如果，那么代数式的值．
9．先化简，再求值： 其中x满足
10．（2024·广元） 先化简，再求值：，其中a，b满足．
五、原题20
11．（2025·北京） 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为 F，点G在DE的延长线上，DG = FC.
（1） 求证：四边形 DFCG是矩形；
（2） 若∠B =45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长.
六、变式1（基础）
12．（2025八下·椒江期末） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，，.
求证：四边形 OCED 是矩形.
13．（2025九上·顺德月考）如图，在中，，D是BC的中点，过点作，使，连接BE.求证：四边形是矩形.
14．（2025·二道模拟）如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形．
七、变式2（巩固）
15．（2025八下·衡阳期末） 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．
（1）求证：；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
16．（2025八下·阜宁月考）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．
（1）求证：D是的中点；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明．
17．（2025八下·江门期末）如图，在□ABCD中，BE⊥AD，交DA的延长线于点E，AE=AD.
（1）求证：四边形AEBC是矩形.
（2）F为CD的中点，连接AF，BF.已知AB=6，BF⊥AF，求BF的长.
八、变式3（提高）
18．（2025八下·苍南期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，对角线AC，BD交于点O，E为OC上一点（不与点O，C重合），延长BE到点F，使BE=EF，交边CD于点P，连结DF.
（1）求证：DF∥AC.
（2）当CE=2OE时，求BF的长.
（3）如图2，连结CF，当∠DCF等于△ABC的某个内角时，求所有符合条件的四边形DOEF的面积.
19．（2024八下·江门月考）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
20．（2023·广宁模拟）综合与实践：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】解：∵a+b-3=0
∴a+b=4
∴原式=
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由题意可得a+b=4，化简代数值再整体代入即可求出答案.
2．【答案】解：当 ， 时，原式 .
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】把x、y的值代入代数式即可求值.
3．【答案】解：．
当时，
原式
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】将
代入
，再利用平方差公式计算即可。
4．【答案】解：∵a=﹣4，b=2，
∴ = = .
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】把a=﹣4，b=2的值代入 计算即可.
5．【答案】解：
．
∵，
∴，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将分式化简，然后再根据变形得的值，代入求解即可．
6．【答案】解：
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】
本题考查了代数式求值。先求出，再化简后把2x+y=3代入计算即可.
7．【答案】解：∵m+3n-9=0，
∴m+3n=9，
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由题意可得m+3n=9，根据提公因式，完全平方公式化简分式，再整体代入即可求出答案.
8．【答案】解：
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后根据可以得到，然后整体代入化简后的式子即可求出答案.
9．【答案】解：原式
=x(x+3)
∴原式=4.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的四则混合运算顺序计算，异分母分式加减，先通分，再计算，分式乘除计算前，对于分式的分子分母先进行因式分解，再计算，最后根据已知条件，整体代值即可计算出结果.
10．【答案】解：原式
，
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将第二个分式的分子分母分别分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，进而计算同分母分数的减法得出最简结果；由已知等式可得b=2a，从而代入化简结果进行计算即可．
11．【答案】（1）证明：∵D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF， 即DG∥CF ，
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF ⊥ BC，
∴平行四边形DFCG 是矩形；
（2）解：∵DG=5，
∴CF =DG=5；
∵DF ⊥ BC，
∴∠DFB=90°，
在Rt△BDF中， ∠B=45°， DF=3，
∴
∴BC=BF+CF=8；
∵点D为AB的中点，
∴
如图所示， 过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，
∴CH=BC-BH=2，
在Rt△AHC中， 由勾股定理得
【知识点】勾股定理；矩形的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥CF， 即DG∥CF ，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BD，BF，再根据边之间的关系可得BC，根据线段中点可得AB，过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形可得AH，BH，再根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
12．【答案】证明：，，
四边形 OCED 是平行四边形，
又四边形 ABCD 是菱形，
，
，
四边形 OCED 是矩形.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，根据菱形性质求出 根据矩形的判定推出即可.
13．【答案】证明：∵，
∴四边形AEBD是平行四边形
∵，D是BC的中点
∴AD⊥BC
∴四边形AEBD是矩形
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形AEBD是平行四边形，再根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，再根据矩形判定定理即可求出答案.
14．【答案】解：，，
四边形是平行四边形．
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法求出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质求出AE=BD，最后根据矩形的判定方法证明求解即可.
15．【答案】（1）证明：∵是平行四边形，
∴.
∵延长至点，
∴.
∴.
∵ 点是边的中点，
∴.
又∵.
∴ .
证毕.
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）可知，，且，
∴四边形是平行四边形.
∵，且，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴四边形是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质，先证明得到，然后结合已知条件、，即由ASA可证；
（2）利用（1）的过程与结论，易知四边形是平行四边形. 在此基础上，通过证明其对角线，从而可知四边形是矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）.
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D是的中点.
（2）解：若，则四边形是矩形．
证明如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，用全等三角形的性质可得AF=CD，再利用等量代换可得，即可得到D是的中点；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形是矩形．
（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D是的中点；
（2）解：若，则四边形是矩形．证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
17．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD// BC， AD=BC，
∵AE=AD，
∴AE// BC， AE=BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵BE ⊥ AD，
∴∠AEB=90°，
∴四边形AEBC是矩形.
（2） 解：由(1)得四边形AEBC是矩形，AD=BC，
∴∠CAD=∠CAE=90°，
∵F为CD的中点，
∴AF=CD =AB= 3，
∵BF⊥AF
∴∠AFB=90° ，
由勾股定理得BF=
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD// BC， AD=BC，结合已知条件得到四边形AEBC是平行四边形，即可根据一个直角的平行四边形判定四边形AEBC是矩形，解答即可；
(2)利用矩形的性质得到AF=CD =AB= 3，再利用勾股定理得计算即可解答.
18．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中
OA=OC=OB=OD.
又∵BE=EF，
∴OE是△BDF的中位线.
∴DF∥OE，即DF∥AC
（2）解：由（1）可得，DF=2OE，∵CE=2OE，∴CE=DF∵DF∥AC
∴∠CEP=∠F，∠ECP=∠PDF，
∴△ECP≌△FDP
在中，
∵BE=EF，
∵BP=EF+=，
∵BF=2EF
（3）解：由已知条件可知，△ABC的内角分别为30°，60°，90°
①当∠DCF=30°时，过点O作OH⊥DF，
可得BD//CF，
由（1）知DF//AC，
∴四边形DOCF是平行四边形.
且OC=OD，∴□DOCF是菱形，
∠ODC=60°，
OD=BD，
在Rt△BCD中，
BD=，
∴OD=4，
在Rt△ODH中，
OH=OD×sin60°=4×=2
∴OE=DF=2，
∴S梯形DOEP=
②当∠DCF=60°时，
∠ACF=∠ACD+∠DCF=90°
∵DF//AC，∴∠DFC=90°，在Rt△DCF中
③当∠DCF=90°时，此时点E与点C重合，不符合题意
∴四边形DOEF的面积为6或9
【知识点】矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可知OA=OC=OB=OD，再根据已知条件可知OE是△BDF的中位线，根据三角形中位线定理可推断出结论.
（2）根据（1）可知DF=2OE，∠CEP=∠F，∠ECP=∠PDF，推断出三角形全等，△ECP≌△FDP，推断出边之间的关系，根据勾股定理，求出BP的长，根据已知条件，找到BF与BP的关系，即可计算出BF的长；
（3）根据已知条件，分三种情况讨论，当∠DCF=30°，通过作图，根据平行四边形、菱形的性质以及勾股定理，解直角三角形，分别求出梯形的上底下底和高，即可计算出，当∠DCF=60°，根据已知条件，解直角三角形，勾股定理，分别求出梯形的上底下底和高，即可计算出，当∠DCF=90°时不符合.
19．【答案】解：（1）证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF.
∵MN∥BC，
∴∠OEC=BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠ACE，∠OFC=∠ACF，
∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）由（1）得：∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF.
∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=180°，
∴∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，
∴∠ECF=90°，△ECF是直角三角形，
∵CE=12，CF=5，
∴．
∴
（3）连接AE，AF，如图所示：
当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF；根据平行线的性质得∠OEC=BCE，∠OFC=∠DCF，等量代换再结合等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知得出∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，可得△ECF是直角三角形，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
20．【答案】（1）解：四边形是矩形，理由：
∵点D是的中点，点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图2，过点N作于G，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长到点G，使得，连接，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
设AM＝AN＝a，则，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，即可得到，然后根据三个角是直角的四边形是矩形得到结论即可．
（2）过点N作于G，先根据勾股定理求出的长，然后求出CG长，再根据余弦的定义解答即可．
（3）延长到点G，使得，连接，，，即可得到，得到，，然后求出，再根据勾股定理求出AN长即可解题．
（1）四边形是矩形，
理由：∵点D是的中点，点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）如图2，过点N作于G，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）延长到点G，使得，连接，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
设AM＝AN＝a，则，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
1 / 1【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第19~20题
一、原题19
1．（2025·北京） 已知a+b-3 =0，求代数式 的值.
【答案】解：∵a+b-3=0
∴a+b=4
∴原式=
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由题意可得a+b=4，化简代数值再整体代入即可求出答案.
二、变式1基础
2．（2020七下·青岛月考）当x=﹣1，y= 时，求x2+xy﹣y2的值．
【答案】解：当 ， 时，原式 .
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】把x、y的值代入代数式即可求值.
3．（2021八下·无为期中）已知，求代数式的值．
【答案】解：．
当时，
原式
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】将
代入
，再利用平方差公式计算即可。
4．（2020七上·徐州月考）已知a=﹣4，b=2，求式子 的值.
【答案】解：∵a=﹣4，b=2，
∴ = = .
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】把a=﹣4，b=2的值代入 计算即可.
三、变式2巩固
5．（2025·西城模拟）已知，求代数式的值．
【答案】解：
．
∵，
∴，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将分式化简，然后再根据变形得的值，代入求解即可．
6．（2025·朝阳模拟）已知，求代数式的值．
【答案】解：
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】
本题考查了代数式求值。先求出，再化简后把2x+y=3代入计算即可.
7．已知 m+3n-9=0，求代数式 的值
【答案】解：∵m+3n-9=0，
∴m+3n=9，
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由题意可得m+3n=9，根据提公因式，完全平方公式化简分式，再整体代入即可求出答案.
四、变式3提高
8．（2024·东莞模拟）如果，那么代数式的值．
【答案】解：
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后根据可以得到，然后整体代入化简后的式子即可求出答案.
9．先化简，再求值： 其中x满足
【答案】解：原式
=x(x+3)
∴原式=4.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】根据分式的四则混合运算顺序计算，异分母分式加减，先通分，再计算，分式乘除计算前，对于分式的分子分母先进行因式分解，再计算，最后根据已知条件，整体代值即可计算出结果.
10．（2024·广元） 先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】解：原式
，
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将第二个分式的分子分母分别分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，进而计算同分母分数的减法得出最简结果；由已知等式可得b=2a，从而代入化简结果进行计算即可．
五、原题20
11．（2025·北京） 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为 F，点G在DE的延长线上，DG = FC.
（1） 求证：四边形 DFCG是矩形；
（2） 若∠B =45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长.
【答案】（1）证明：∵D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF， 即DG∥CF ，
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF ⊥ BC，
∴平行四边形DFCG 是矩形；
（2）解：∵DG=5，
∴CF =DG=5；
∵DF ⊥ BC，
∴∠DFB=90°，
在Rt△BDF中， ∠B=45°， DF=3，
∴
∴BC=BF+CF=8；
∵点D为AB的中点，
∴
如图所示， 过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，
∴CH=BC-BH=2，
在Rt△AHC中， 由勾股定理得
【知识点】勾股定理；矩形的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥CF， 即DG∥CF ，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BD，BF，再根据边之间的关系可得BC，根据线段中点可得AB，过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形可得AH，BH，再根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
六、变式1（基础）
12．（2025八下·椒江期末） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，，.
求证：四边形 OCED 是矩形.
【答案】证明：，，
四边形 OCED 是平行四边形，
又四边形 ABCD 是菱形，
，
，
四边形 OCED 是矩形.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，根据菱形性质求出 根据矩形的判定推出即可.
13．（2025九上·顺德月考）如图，在中，，D是BC的中点，过点作，使，连接BE.求证：四边形是矩形.
【答案】证明：∵，
∴四边形AEBD是平行四边形
∵，D是BC的中点
∴AD⊥BC
∴四边形AEBD是矩形
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形AEBD是平行四边形，再根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，再根据矩形判定定理即可求出答案.
14．（2025·二道模拟）如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形．
【答案】解：，，
四边形是平行四边形．
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法求出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质求出AE=BD，最后根据矩形的判定方法证明求解即可.
七、变式2（巩固）
15．（2025八下·衡阳期末） 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．
（1）求证：；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵是平行四边形，
∴.
∵延长至点，
∴.
∴.
∵ 点是边的中点，
∴.
又∵.
∴ .
证毕.
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）可知，，且，
∴四边形是平行四边形.
∵，且，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴四边形是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质，先证明得到，然后结合已知条件、，即由ASA可证；
（2）利用（1）的过程与结论，易知四边形是平行四边形. 在此基础上，通过证明其对角线，从而可知四边形是矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）.
16．（2025八下·阜宁月考）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．
（1）求证：D是的中点；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D是的中点.
（2）解：若，则四边形是矩形．
证明如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，用全等三角形的性质可得AF=CD，再利用等量代换可得，即可得到D是的中点；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形是矩形．
（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D是的中点；
（2）解：若，则四边形是矩形．证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
17．（2025八下·江门期末）如图，在□ABCD中，BE⊥AD，交DA的延长线于点E，AE=AD.
（1）求证：四边形AEBC是矩形.
（2）F为CD的中点，连接AF，BF.已知AB=6，BF⊥AF，求BF的长.
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD// BC， AD=BC，
∵AE=AD，
∴AE// BC， AE=BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵BE ⊥ AD，
∴∠AEB=90°，
∴四边形AEBC是矩形.
（2） 解：由(1)得四边形AEBC是矩形，AD=BC，
∴∠CAD=∠CAE=90°，
∵F为CD的中点，
∴AF=CD =AB= 3，
∵BF⊥AF
∴∠AFB=90° ，
由勾股定理得BF=
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AD// BC， AD=BC，结合已知条件得到四边形AEBC是平行四边形，即可根据一个直角的平行四边形判定四边形AEBC是矩形，解答即可；
(2)利用矩形的性质得到AF=CD =AB= 3，再利用勾股定理得计算即可解答.
八、变式3（提高）
18．（2025八下·苍南期末）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，对角线AC，BD交于点O，E为OC上一点（不与点O，C重合），延长BE到点F，使BE=EF，交边CD于点P，连结DF.
（1）求证：DF∥AC.
（2）当CE=2OE时，求BF的长.
（3）如图2，连结CF，当∠DCF等于△ABC的某个内角时，求所有符合条件的四边形DOEF的面积.
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中
OA=OC=OB=OD.
又∵BE=EF，
∴OE是△BDF的中位线.
∴DF∥OE，即DF∥AC
（2）解：由（1）可得，DF=2OE，∵CE=2OE，∴CE=DF∵DF∥AC
∴∠CEP=∠F，∠ECP=∠PDF，
∴△ECP≌△FDP
在中，
∵BE=EF，
∵BP=EF+=，
∵BF=2EF
（3）解：由已知条件可知，△ABC的内角分别为30°，60°，90°
①当∠DCF=30°时，过点O作OH⊥DF，
可得BD//CF，
由（1）知DF//AC，
∴四边形DOCF是平行四边形.
且OC=OD，∴□DOCF是菱形，
∠ODC=60°，
OD=BD，
在Rt△BCD中，
BD=，
∴OD=4，
在Rt△ODH中，
OH=OD×sin60°=4×=2
∴OE=DF=2，
∴S梯形DOEP=
②当∠DCF=60°时，
∠ACF=∠ACD+∠DCF=90°
∵DF//AC，∴∠DFC=90°，在Rt△DCF中
③当∠DCF=90°时，此时点E与点C重合，不符合题意
∴四边形DOEF的面积为6或9
【知识点】矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可知OA=OC=OB=OD，再根据已知条件可知OE是△BDF的中位线，根据三角形中位线定理可推断出结论.
（2）根据（1）可知DF=2OE，∠CEP=∠F，∠ECP=∠PDF，推断出三角形全等，△ECP≌△FDP，推断出边之间的关系，根据勾股定理，求出BP的长，根据已知条件，找到BF与BP的关系，即可计算出BF的长；
（3）根据已知条件，分三种情况讨论，当∠DCF=30°，通过作图，根据平行四边形、菱形的性质以及勾股定理，解直角三角形，分别求出梯形的上底下底和高，即可计算出，当∠DCF=60°，根据已知条件，解直角三角形，勾股定理，分别求出梯形的上底下底和高，即可计算出，当∠DCF=90°时不符合.
19．（2024八下·江门月考）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF.
∵MN∥BC，
∴∠OEC=BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠ACE，∠OFC=∠ACF，
∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）由（1）得：∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF.
∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=180°，
∴∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，
∴∠ECF=90°，△ECF是直角三角形，
∵CE=12，CF=5，
∴．
∴
（3）连接AE，AF，如图所示：
当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF；根据平行线的性质得∠OEC=BCE，∠OFC=∠DCF，等量代换再结合等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知得出∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，可得△ECF是直角三角形，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
20．（2023·广宁模拟）综合与实践：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长．
【答案】（1）解：四边形是矩形，理由：
∵点D是的中点，点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图2，过点N作于G，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长到点G，使得，连接，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
设AM＝AN＝a，则，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，即可得到，然后根据三个角是直角的四边形是矩形得到结论即可．
（2）过点N作于G，先根据勾股定理求出的长，然后求出CG长，再根据余弦的定义解答即可．
（3）延长到点G，使得，连接，，，即可得到，得到，，然后求出，再根据勾股定理求出AN长即可解题．
（1）四边形是矩形，
理由：∵点D是的中点，点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）如图2，过点N作于G，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）延长到点G，使得，连接，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
设AM＝AN＝a，则，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
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