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【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~22题
一、原题21
1．（2025·北京） 在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0) 的图象经过点(1，3) 和(2，5).
（1）求k，b的值；
（2） 当x＜1时，对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值，也小于函数y=x+k的值，直接写出m的取值范围.
二、变式1基础
2．（2025八下·饶平期末） 已知一次函数的图象经过 M(-4，9) 和 N(2，3) 两点，求这个一次函数的解析式.
3．（2025八下·封开月考） 已知一次函数的图象过A(1，3)，B(3，7)两点，求这个一次函数的解析式.
4．（2025八下·潮南月考）若与成正比例，且当时，．若点在该函数的图象上，求的值．
三、变式2巩固
5．在平面直角坐标系xOy中，点 P 的坐标为(m+1，m-1).
（1）试判断点 P 是否在一次函数y=x-2的图象上，并说明理由.
（2）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，若点 P 在△AOB 的内部，求 m 的取值范围.
6．（2025八下·绵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线CD与轴、轴分别交于点，与直线交于点．
（1）求直线CD的解析式及点的坐标；
（2）若点在此平面直角坐标系中，在轴上是否存在点，使以CE为边，点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2025八下·雨花期末）在平面直角坐标系中，点，．
（1）求直线的解析式；
（2）将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标.
四、变式3提高
8．如图，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）若直线，表示的两个一次函数都大于0，此时恰好，求直线的函数解析式．
9．（2025八下·潮南月考） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点M(4，a)，直线AB，CD分别交坐标轴于点A、B、C、D.
（1） 求直线CD的函数表达式，并求出点A、B、C、D的坐标；
（2） 如图2，点P为线段CD上的一个动点，将BP绕点B逆时针旋转得到BQ.点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式；
（3） 直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.
10．（2025八下·潮南月考） 如图，直线与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点，直线与 y 轴相交于点 C(0，1)，与直线 相交于点 D(1，3).
（1）① 求线段 AB 的长度；
② 方程组的解为 ▲ ；
（2） 结合图形直接写出 的解集：　 　；
（3） 求 的面积.
五、原题22
11．（2025·北京）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的 AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
六、变式1（基础）
12．（2024七上·杭州期中）长为2，宽为a的长方形纸片，用如图所示的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第一次操作）；再把剩下的长方形用同样的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的纸片为正方形，则操作终止．当时，求a的值．
13．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边。一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 。某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm。若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长。
14． 两个圆柱体容器如图所示， 它们的底面直径分别为4 cm和8cm，高分别为39cm和10cm。先在右侧容器中倒满水，然后将其倒入左侧容器中。倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米
小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有xcm。列方程 解得x=-1。你能对他的结果作出合理的解释吗
你能联系生活实际编写一道可以用一元一次方程解决的应用题吗
七、变式2（巩固）
15．（2025七下·义乌月考）如图，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，m为正整数，正方形的面积记为，长方形的面积记为.
（1）若，求m的值；
（2）若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值.
16．（2023九上·金东期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
17．（2025七下·浙江期中）如图甲，小红制作靠垫面子，其四周是由图乙剪出的四块相同的长方形布料拼接而成，正中间是一块正方形布料.
（1）求正中间这块正方形布料的面积.
（2）小明发现，若知道图乙大长方形布料的周长为160cm，就可以求出图甲靠垫面子的总面积.你同意他的说法吗？若同意，请求出靠垫面子的面积；若不同意，请说明理由.
八、变式3（提高）
18．（2025七下·电白开学考）【问题背景】学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放，
【提出问题】
（1）当活动针对应的读数为140时，__________；当活动针平分时，对应的读数为_________．
（2）将三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺旋转一周时，两把三角尺同时停止转动．
①若在旋转过程中，活动针始终平分．当时，求旋转所用的时间和活动针对应的读数；
②若两把三角尺开始旋转时，活动针同时从的位置绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当与重合后，活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转．当与重合后停止旋转，求活动针停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）．
19．（2025七上·龙岗期末）根据一下素材，探索完成任务：
如何设计宣传牌
素材1 一块长方形宣传牌如图(a)所示，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字，宣传牌中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍；四周空白部分的宽度相等.
素材2 如图(b)所示，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏日与栏日之间的中缝间距相等.
素材3 如图(c)所示，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中 间间隔宽度比为1：2.
任务1 (1)分析数量关系.设四周宽度为xcm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽
任务2 (2)确定四周宽度，求出四周宽度x的值.
任务3 (3)确定栏目大小. ①求每个栏目的竖直高度； ②求长方形栏目与栏目之间中缝的间距
20．（2025七上·江北期末）花窗映蛇岁，新春共欢颜，如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第①个图形共有8个小平行四边形；第②个图形共有15 个小平行四边形；第③个图形共有 22个小平行四边形；…
（1）第⑤个图形共有　 　个小平行四边形。
（2）第个图形共有　 　个小平行四边形（用n的代数式表示）
（3）循此规律，是否存在由 2025 个小平行四边形组成的图形 若存在，请求出是第几个图形：若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
解得
（2）2≤m≤3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（2）解：由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，
当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，
当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，
∵当x＜1时， 对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值， 也小于函数y=x+k的值，
∴m-2≥0， 且m-1≥0，
∴m≥2，
当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意；
当m＞2时， 则 且
当 时， 则
解不等式 得m≤3， 解不等式m≤3，
∴2＜m≤3；
当 时， 则
解不等式 得m＞3， 解不等式 得m≤3，此时不符合题意；
综上所述， 2≤m≤3.
【分析】（1）根据待定系数法将点(1，3)和(2，5)代入函数解析式即可求出答案.
（2）由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，当x＜1时，根据题意建立不等式，解不等式可得m≥2，当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意，当m＞2时， 则 且 当 时， 则 解不等式可得2＜m≤3，当 时， 则 解不等式即可求出答案.
2．【答案】解：设这个一次函数的解析式为 。
∵ 函数的图象经过点 M(-4，9) 和 N(2，3)
∴
解得：
∴ 这个函数的解析式为 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，熟知用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题关键.
设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，根据一次函数的图象经过M(-4，9)和N(2，3)两点，故将点M和点N坐标代入一次函数解析式，得出关于k和b的二元一次方程组，即，解得k与b的值，即可得出答案.
3．【答案】解：设所求的一次函数的解析式为
∵一次函数的图象过点A(1，3)和B(3，7)，
∴；
解得：
∴这个一次函数的解析式为；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】根据待定系数法设所求的一次函数的解析式为，进而代入点A和点B即可求解。
4．【答案】解：设与之间的函数关系式为．
把时，代入得：，
解得，
∴，即；
∵点在该函数的图象上
∴，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】本题主要对正比例函数、函数图象点的坐标特征、待定系数法等知识点进行考查．因为 若与成正比例 ，所以有，将已知点带入函数中可得，进一步得出y与x函数关系为 ，再带入可得。
5．【答案】（1）解： 点 P 在一次函数y=x-2的图象上， 理由如下：
把x=m+1代入 y=x-2 中，得：y=m+1-2=m-1，
∴ 点 P (m+1，m-1) 在 一次函数y=x-2的图象上 。
（2）解：联立直线AB的解析式和直线 y=x-2 ，可组成方程组：，解得
∴两直线交点为
又∵直线 y=x-2与x轴交点为(2，0)，点 P (m+1，m-1) 在 一次函数y=x-2的图象上 ，且 在△AOB 的内部
∴解得：
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）在 y=x-2 中，令x=m+1，可求得y= m-1 ，即可得出 点 P 在一次函数y=x-2的图象上；
（2）联立直线AB的解析式和直线 y=x-2 ，求出两直线的交点，又直线 y=x-2与x轴交点为(2，0)，然后根据点P的位置，即可得出关于m的不等式组，解不等式组，即可得出 m 的取值范围.
6．【答案】（1）解：设一次函数的解析式为．
由题意，得解得
一次函数的解析式为．
由解得
即．
（2）解：，
，
在轴上存在点，使以CE为边，点为顶点的四边形为菱形．
①将向左平移5个单位长度，得，此时菱形为．
②将向右平移5个单位长度，得，此时菱形为．
③将沿轴对称，得，此时菱形为．
满足题意得点有．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】(1)设一次函数的解析式为，利用待定系数法列出方程解得，进而得到一次函数的解析式为，再利用一次函数的性质求得点E坐标.
(2)利用两点之间距离公式计算出CE的长度，当CH为菱形的边时，则EG//x轴，且EG=5，故或；当CH为菱形对角线时，点E、G关于x轴对称，则.
7．【答案】（1）解：设直线的解析式的解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式为
（2）解：记直线与y轴的交点，
∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，
∴直线l解析式为
令，得；令，得；直线l与坐标轴的交点坐标是
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）待定系数法求直线解析式的方法是先设出直线解析式，再将已知点坐标代入求出参数即可；
（2）将直线向下平移4个单位，对应的是解析式后面减4，故可以求出平移后的解析式为，再分别令x=0，y=0即可求出直线与坐标轴的交点坐标。
8．【答案】（1）解：因为点在直线上，
所以当时，
（2）解：方程组的解即直线和的交点坐标P，
即方程组的解为
（3）解：∵当直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，
所以直线过点．
又因为直线过点，
所以
解得
所以直线的函数表达式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由点在直线上，代入可求出a＝ 5；
（2）因为直线y＝3x＋1直线y＝mx＋n交于点P，方程组的解即直线和的交点坐标P；
（3）因为直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，
所以直线过点，又有直线过点，可得关于m、n的方程组，解方程组即可．
9．【答案】（1）解： 已知点 在直线 的图象上，
，，
把点 代入直线 ，得 ，
解得，，
直线 CD 的函数表达式为：；
在直线 中，令 ，则 ，，
令 ，解得 ，，
直线 中，令 ，则 ，
，
令 ，解得 ，
（2）解：如图所示，过点P作轴于点R，过点Q作轴于点S，
∵旋转，
，，
，且，
，
，；
点P在直线的图象上，
设，则，
，，，
；
令，，
，，
，整理得，；
或：当P与D重合时，得Q(5，3)；
当P与C重合时，得Q(，
∴点Q运动所形成的线段所在直线的解析式为：
（3）存在点 N，使得以点 B、D、F、N 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为 或 或 或 .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）解： 存在点 N，使得以点 B、D、F、N 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为 或 或 或 ；理由如下：
在直线 中，令 ，则 ，
∴，则 ，
∵ 点 F 是直线 上有任意一点，
∴ 设 ，
第一种情况，如图所示，以 BD、BF 为边，四边形 BDNF 是菱形，过点 F 作 轴于点 T，
则 ，，
∴，，
∴，即 ，
解得，，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
第二种情况，如图所示，以 BF 为对角线，四边形 BDFN 是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
点 F 于点 M 重合；
∴F(4，1)，
∴N(4，6)；
第三种情况，如图所示，以BD为对角线，四边形BFDN是菱形，连接FN交BD于点W，
，
，
四边形BFDN是菱形，
，，
点F的纵坐标为，即，
解得，，
，
；
综上所述，存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或.
【分析】（1）根据题意先求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线 CD 的函数表达式为：，最后计算求解即可；
（2）利用AAS证明，再求出点Q的坐标，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出BD的值，再分类讨论，结合函数图象，利用菱形的性质等计算求解即可.
10．【答案】（1）解： ①在中，
当时，；当时，，
.
，
线段AB的长度为
②；
（2）
（3）解：，
，
，
的面积为
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵ 直线 和 直线 相交于点D，
又∵点D的坐标为（1，3），
∴ 方程组的解为，
故答案为：；
（2）∵ ，
∴的函数值大于0，
则此时x的取值范围是x＜4，
∵，
∴x＞1，
综上所述， 的解集为.
【分析】（1）①根据题意先求出点A和B的坐标，再求出OA和OB的长，最后利用勾股定理计算求解即可；
②观察函数图象求出点D的坐标为（1，3），再求解即可；
（2）根据题意先求出x的取值范围是x＜4，再求出x＞1，最后求解集即可；
（3）根据点B和点C的坐标求出BC=3，再利用三角形的面积公式计算求解即可.
11．【答案】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，
，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，
由AD=AB+BC+CD，可得：，
解得：x=20：
∴这只风筝的骨架的总高4x=80cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】解：第一次操作后，剩下的长方形纸片长为a，宽为，第二次操作后，剩下的长方形的相邻两边长为和，
∵第三次操作后，剩下的纸片为正方形，
∴或，
解得：或．
答：或.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据操作的程序找出“若第n次操作后剩下纸片为正方形，则第次操作后剩余纸片相邻两边存在2倍关系”可列关于a的方程，解方程可求解．
13．【答案】解：设天头长为6xcm，地头长为4xcm，则左、右边的宽为xcm；
根据题意得，100+(6x+4x)=4×(27+x+x)，
解得x=4，
所以天头长为6x=6×4=24(cm)，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设天头长为6xcm，地头长为4xcm，则左、右边的宽为xcm；用含x的式子分别表示出对联装裱后的长与宽，然后根据“对联装裱后的长是装裱后的宽的4倍 ”列出方程，求解得出x的值，即可解决此题.
14．【答案】解：小明去文具店买笔记本和铅笔.已知每本笔记本的价格是5元，每支铅笔的价格是1元.小明一共买了10件文具，总共花费了30元.请问小明买了几本笔记本？
设小明买了x本笔记本，因为一共买了10件文具，所以买铅笔的数量就是(10 - x)支，
可列方程：5x + (10 - x) = 30.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】联系生活实际进行编写即可.
15．【答案】（1）解：S1-S2=(m+5)2-(m+3)(m+4)=3m+13
∵S1-S2=22
∴3m+13=22
解得：m=3
（2）解：S1-S2-am=3m+13-am=(3-a)m+13
由题意得：3-a=0
∴a=3
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据正方形，长方形的面积公式可得S1-S2=3m+13，由S1-S2=22，进而可以得到答案；
(2)根据S1-S2-am始终有一个定值可得3-a=0，即可得到答案.
16．【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设CG为am，DG为(12-a)m，根据矩形面积公式列方程解答即可；
（2）设两块矩形总种植面积为ym2， BC长为xm，根据矩形的面积公式列二次函数，化成顶点式求出最值解答即可 .
（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
17．【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：同意，理由如下：
图乙的周长为160cm
因为所以
靠垫面子的边长为
它的面积为
所以它的面积是.
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)可以用大正方形的面积减去四周四块矩形的面积和得结果，所以应先求得大正方形的边长.
（2）根据周长计算公式可求出a的值，进而可求出图甲的边长，进而可求出面积.
18．【答案】（1）95，82.5
（2）解：①三角尺旋转一周需要的时间是．
设经过秒后，．
当追上之前，
由题意得：，
解得，
此时，活动针对应的读数是：；
当追上之后，
由题意得：，
解得，
此时，活动针对应的读数是：．
综上所述，当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是．
②设运动的时间为秒，当与重合时，
根据题意可知，，
解得，此时旋转，旋转，即，
此时；
当活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转，与重合时，
由题意可知，，
解得，
此时．
即活动针停止时对应的读数为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；钟面角
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，，
，
；
，，
，
当平分时，，
．
故答案为：95，82.5；
【分析】（1）根据圆周角的度数为，结合，求得的度数，再由平分，求得，结合，即可求解；
（2）①设经过秒后，，分追上之前和追上之后，两种情况讨论，根据题意，列出算式，即可求解；
②设运动的时间为秒，先算出当与重合后，活动针的位置，再计算当与重合时，根据题意，列出三是求得的值，以及的位置，即可求解．
（1）解：由题意可知，，
，
；
，，
，
当平分时，，
．
故答案为：95，82.5；
（2）解：①三角尺旋转一周需要的时间是．
设经过秒后，．
当追上之前，
由题意得：，
解得，
此时，活动针对应的读数是：；
当追上之后，
由题意得：，
解得，
此时，活动针对应的读数是：．
综上所述，当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是．
②设运动的时间为秒，当与重合时，
根据题意可知，，
解得，此时旋转，旋转，即，
此时；
当活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转，与重合时，
由题意可知，，
解得，
此时．
即活动针停止时对应的读数为．
19．【答案】解：（1）根据题意，设计部分的长为（330﹣2x）cm，宽为（220﹣2x）cm．（2）∵设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，
∴330﹣2x＝1.55（220﹣2x），解得x＝10．
∴四周宽度是10cm．（3）①设计部分的长为330﹣2×10＝310（cm），宽为220﹣2×10＝200（cm），
设每个栏目的竖直高度为y cm，每栏横向两行中间间隔是a cm，则竖向中间间隔宽度为2a cm，
根据正方形边长相等，可得，解得y＝100．
∴每个栏目的竖直高度为100cm．
②∵＝5（cm），
∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意，设计部分的长为（330-2x）cm，宽为（220-2x）cm；
（2）由设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，得330-2x=1.55（220-2x），可解得答案；
（3）① 设每个栏目的水平宽度为ycm，每栏竖行两列中间间隔是acm，根据正方形边长相等可得：， 可解得每个栏目的水平宽度为100cm；② 列出算式即可求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm.
20．【答案】（1）36
（2）（7n+1）
（3）解：根据题意可以列出方程7n+1=2025解得
因为 n是正整数，
因此按照此规律，不存在由 2025 个小平行四边形组成的图形。
也可：以 2024 非 7 的倍数等来说明，酌情即可。
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：(1)由所给图形可知，
第①个图形中小平四边形的个数为：
第②个图形中小平四边形的个数为：
第③个图形中小平四边形的个数为：
… ，
所以第n个图形中小平四边形的个数为( 个.
当 时，
(个)，
即第⑤个图形中小平四边形的个数为36个.
故答案为： 36.
(2)由 (1) 知，
第n个图形中小平四边形的个数为( 个.
故答案为：
【分析】(1)根据所给图形，依次求出图形中小平行四边形的个数，发现规律即可解决问题.
(2)根据 (1)中发现的规律即可解决问题.
(3)根据 (1)中发现的规律进行计算即可.
1 / 1【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~22题
一、原题21
1．（2025·北京） 在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0) 的图象经过点(1，3) 和(2，5).
（1）求k，b的值；
（2） 当x＜1时，对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值，也小于函数y=x+k的值，直接写出m的取值范围.
【答案】（1）解：∵在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
解得
（2）2≤m≤3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（2）解：由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，
当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，
当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，
∵当x＜1时， 对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值， 也小于函数y=x+k的值，
∴m-2≥0， 且m-1≥0，
∴m≥2，
当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意；
当m＞2时， 则 且
当 时， 则
解不等式 得m≤3， 解不等式m≤3，
∴2＜m≤3；
当 时， 则
解不等式 得m＞3， 解不等式 得m≤3，此时不符合题意；
综上所述， 2≤m≤3.
【分析】（1）根据待定系数法将点(1，3)和(2，5)代入函数解析式即可求出答案.
（2）由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，当x＜1时，根据题意建立不等式，解不等式可得m≥2，当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意，当m＞2时， 则 且 当 时， 则 解不等式可得2＜m≤3，当 时， 则 解不等式即可求出答案.
二、变式1基础
2．（2025八下·饶平期末） 已知一次函数的图象经过 M(-4，9) 和 N(2，3) 两点，求这个一次函数的解析式.
【答案】解：设这个一次函数的解析式为 。
∵ 函数的图象经过点 M(-4，9) 和 N(2，3)
∴
解得：
∴ 这个函数的解析式为 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，熟知用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题关键.
设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，根据一次函数的图象经过M(-4，9)和N(2，3)两点，故将点M和点N坐标代入一次函数解析式，得出关于k和b的二元一次方程组，即，解得k与b的值，即可得出答案.
3．（2025八下·封开月考） 已知一次函数的图象过A(1，3)，B(3，7)两点，求这个一次函数的解析式.
【答案】解：设所求的一次函数的解析式为
∵一次函数的图象过点A(1，3)和B(3，7)，
∴；
解得：
∴这个一次函数的解析式为；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】根据待定系数法设所求的一次函数的解析式为，进而代入点A和点B即可求解。
4．（2025八下·潮南月考）若与成正比例，且当时，．若点在该函数的图象上，求的值．
【答案】解：设与之间的函数关系式为．
把时，代入得：，
解得，
∴，即；
∵点在该函数的图象上
∴，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】本题主要对正比例函数、函数图象点的坐标特征、待定系数法等知识点进行考查．因为 若与成正比例 ，所以有，将已知点带入函数中可得，进一步得出y与x函数关系为 ，再带入可得。
三、变式2巩固
5．在平面直角坐标系xOy中，点 P 的坐标为(m+1，m-1).
（1）试判断点 P 是否在一次函数y=x-2的图象上，并说明理由.
（2）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，若点 P 在△AOB 的内部，求 m 的取值范围.
【答案】（1）解： 点 P 在一次函数y=x-2的图象上， 理由如下：
把x=m+1代入 y=x-2 中，得：y=m+1-2=m-1，
∴ 点 P (m+1，m-1) 在 一次函数y=x-2的图象上 。
（2）解：联立直线AB的解析式和直线 y=x-2 ，可组成方程组：，解得
∴两直线交点为
又∵直线 y=x-2与x轴交点为(2，0)，点 P (m+1，m-1) 在 一次函数y=x-2的图象上 ，且 在△AOB 的内部
∴解得：
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）在 y=x-2 中，令x=m+1，可求得y= m-1 ，即可得出 点 P 在一次函数y=x-2的图象上；
（2）联立直线AB的解析式和直线 y=x-2 ，求出两直线的交点，又直线 y=x-2与x轴交点为(2，0)，然后根据点P的位置，即可得出关于m的不等式组，解不等式组，即可得出 m 的取值范围.
6．（2025八下·绵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线CD与轴、轴分别交于点，与直线交于点．
（1）求直线CD的解析式及点的坐标；
（2）若点在此平面直角坐标系中，在轴上是否存在点，使以CE为边，点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设一次函数的解析式为．
由题意，得解得
一次函数的解析式为．
由解得
即．
（2）解：，
，
在轴上存在点，使以CE为边，点为顶点的四边形为菱形．
①将向左平移5个单位长度，得，此时菱形为．
②将向右平移5个单位长度，得，此时菱形为．
③将沿轴对称，得，此时菱形为．
满足题意得点有．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】(1)设一次函数的解析式为，利用待定系数法列出方程解得，进而得到一次函数的解析式为，再利用一次函数的性质求得点E坐标.
(2)利用两点之间距离公式计算出CE的长度，当CH为菱形的边时，则EG//x轴，且EG=5，故或；当CH为菱形对角线时，点E、G关于x轴对称，则.
7．（2025八下·雨花期末）在平面直角坐标系中，点，．
（1）求直线的解析式；
（2）将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标.
【答案】（1）解：设直线的解析式的解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式为
（2）解：记直线与y轴的交点，
∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，
∴直线l解析式为
令，得；令，得；直线l与坐标轴的交点坐标是
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）待定系数法求直线解析式的方法是先设出直线解析式，再将已知点坐标代入求出参数即可；
（2）将直线向下平移4个单位，对应的是解析式后面减4，故可以求出平移后的解析式为，再分别令x=0，y=0即可求出直线与坐标轴的交点坐标。
四、变式3提高
8．如图，已知直线：与y轴交于点A，且和直线：交于点，根据以上信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）若直线，表示的两个一次函数都大于0，此时恰好，求直线的函数解析式．
【答案】（1）解：因为点在直线上，
所以当时，
（2）解：方程组的解即直线和的交点坐标P，
即方程组的解为
（3）解：∵当直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，
所以直线过点．
又因为直线过点，
所以
解得
所以直线的函数表达式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由点在直线上，代入可求出a＝ 5；
（2）因为直线y＝3x＋1直线y＝mx＋n交于点P，方程组的解即直线和的交点坐标P；
（3）因为直线和表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好，
所以直线过点，又有直线过点，可得关于m、n的方程组，解方程组即可．
9．（2025八下·潮南月考） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点M(4，a)，直线AB，CD分别交坐标轴于点A、B、C、D.
（1） 求直线CD的函数表达式，并求出点A、B、C、D的坐标；
（2） 如图2，点P为线段CD上的一个动点，将BP绕点B逆时针旋转得到BQ.点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式；
（3） 直线AB上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： 已知点 在直线 的图象上，
，，
把点 代入直线 ，得 ，
解得，，
直线 CD 的函数表达式为：；
在直线 中，令 ，则 ，，
令 ，解得 ，，
直线 中，令 ，则 ，
，
令 ，解得 ，
（2）解：如图所示，过点P作轴于点R，过点Q作轴于点S，
∵旋转，
，，
，且，
，
，；
点P在直线的图象上，
设，则，
，，，
；
令，，
，，
，整理得，；
或：当P与D重合时，得Q(5，3)；
当P与C重合时，得Q(，
∴点Q运动所形成的线段所在直线的解析式为：
（3）存在点 N，使得以点 B、D、F、N 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为 或 或 或 .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）解： 存在点 N，使得以点 B、D、F、N 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为 或 或 或 ；理由如下：
在直线 中，令 ，则 ，
∴，则 ，
∵ 点 F 是直线 上有任意一点，
∴ 设 ，
第一种情况，如图所示，以 BD、BF 为边，四边形 BDNF 是菱形，过点 F 作 轴于点 T，
则 ，，
∴，，
∴，即 ，
解得，，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
第二种情况，如图所示，以 BF 为对角线，四边形 BDFN 是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
点 F 于点 M 重合；
∴F(4，1)，
∴N(4，6)；
第三种情况，如图所示，以BD为对角线，四边形BFDN是菱形，连接FN交BD于点W，
，
，
四边形BFDN是菱形，
，，
点F的纵坐标为，即，
解得，，
，
；
综上所述，存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或.
【分析】（1）根据题意先求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线 CD 的函数表达式为：，最后计算求解即可；
（2）利用AAS证明，再求出点Q的坐标，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出BD的值，再分类讨论，结合函数图象，利用菱形的性质等计算求解即可.
10．（2025八下·潮南月考） 如图，直线与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点，直线与 y 轴相交于点 C(0，1)，与直线 相交于点 D(1，3).
（1）① 求线段 AB 的长度；
② 方程组的解为 ▲ ；
（2） 结合图形直接写出 的解集：　 　；
（3） 求 的面积.
【答案】（1）解： ①在中，
当时，；当时，，
.
，
线段AB的长度为
②；
（2）
（3）解：，
，
，
的面积为
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵ 直线 和 直线 相交于点D，
又∵点D的坐标为（1，3），
∴ 方程组的解为，
故答案为：；
（2）∵ ，
∴的函数值大于0，
则此时x的取值范围是x＜4，
∵，
∴x＞1，
综上所述， 的解集为.
【分析】（1）①根据题意先求出点A和B的坐标，再求出OA和OB的长，最后利用勾股定理计算求解即可；
②观察函数图象求出点D的坐标为（1，3），再求解即可；
（2）根据题意先求出x的取值范围是x＜4，再求出x＞1，最后求解集即可；
（3）根据点B和点C的坐标求出BC=3，再利用三角形的面积公式计算求解即可.
五、原题22
11．（2025·北京）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的 AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
【答案】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，
，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，
由AD=AB+BC+CD，可得：，
解得：x=20：
∴这只风筝的骨架的总高4x=80cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
六、变式1（基础）
12．（2024七上·杭州期中）长为2，宽为a的长方形纸片，用如图所示的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第一次操作）；再把剩下的长方形用同样的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的纸片为正方形，则操作终止．当时，求a的值．
【答案】解：第一次操作后，剩下的长方形纸片长为a，宽为，第二次操作后，剩下的长方形的相邻两边长为和，
∵第三次操作后，剩下的纸片为正方形，
∴或，
解得：或．
答：或.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据操作的程序找出“若第n次操作后剩下纸片为正方形，则第次操作后剩余纸片相邻两边存在2倍关系”可列关于a的方程，解方程可求解．
13．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边。一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 。某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm。若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长。
【答案】解：设天头长为6xcm，地头长为4xcm，则左、右边的宽为xcm；
根据题意得，100+(6x+4x)=4×(27+x+x)，
解得x=4，
所以天头长为6x=6×4=24(cm)，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设天头长为6xcm，地头长为4xcm，则左、右边的宽为xcm；用含x的式子分别表示出对联装裱后的长与宽，然后根据“对联装裱后的长是装裱后的宽的4倍 ”列出方程，求解得出x的值，即可解决此题.
14． 两个圆柱体容器如图所示， 它们的底面直径分别为4 cm和8cm，高分别为39cm和10cm。先在右侧容器中倒满水，然后将其倒入左侧容器中。倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米
小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有xcm。列方程 解得x=-1。你能对他的结果作出合理的解释吗
你能联系生活实际编写一道可以用一元一次方程解决的应用题吗
【答案】解：小明去文具店买笔记本和铅笔.已知每本笔记本的价格是5元，每支铅笔的价格是1元.小明一共买了10件文具，总共花费了30元.请问小明买了几本笔记本？
设小明买了x本笔记本，因为一共买了10件文具，所以买铅笔的数量就是(10 - x)支，
可列方程：5x + (10 - x) = 30.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】联系生活实际进行编写即可.
七、变式2（巩固）
15．（2025七下·义乌月考）如图，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，m为正整数，正方形的面积记为，长方形的面积记为.
（1）若，求m的值；
（2）若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值.
【答案】（1）解：S1-S2=(m+5)2-(m+3)(m+4)=3m+13
∵S1-S2=22
∴3m+13=22
解得：m=3
（2）解：S1-S2-am=3m+13-am=(3-a)m+13
由题意得：3-a=0
∴a=3
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据正方形，长方形的面积公式可得S1-S2=3m+13，由S1-S2=22，进而可以得到答案；
(2)根据S1-S2-am始终有一个定值可得3-a=0，即可得到答案.
16．（2023九上·金东期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设CG为am，DG为(12-a)m，根据矩形面积公式列方程解答即可；
（2）设两块矩形总种植面积为ym2， BC长为xm，根据矩形的面积公式列二次函数，化成顶点式求出最值解答即可 .
（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x-)2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC=m时，y最大=m2．
17．（2025七下·浙江期中）如图甲，小红制作靠垫面子，其四周是由图乙剪出的四块相同的长方形布料拼接而成，正中间是一块正方形布料.
（1）求正中间这块正方形布料的面积.
（2）小明发现，若知道图乙大长方形布料的周长为160cm，就可以求出图甲靠垫面子的总面积.你同意他的说法吗？若同意，请求出靠垫面子的面积；若不同意，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：同意，理由如下：
图乙的周长为160cm
因为所以
靠垫面子的边长为
它的面积为
所以它的面积是.
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)可以用大正方形的面积减去四周四块矩形的面积和得结果，所以应先求得大正方形的边长.
（2）根据周长计算公式可求出a的值，进而可求出图甲的边长，进而可求出面积.
八、变式3（提高）
18．（2025七下·电白开学考）【问题背景】学习了角的度量单位后，好学的小明在网上搜索发现了如图①所示的量角演示器，他将一副三角尺和量角演示器按如图②所示位置摆放，
【提出问题】
（1）当活动针对应的读数为140时，__________；当活动针平分时，对应的读数为_________．
（2）将三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时，三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺旋转一周时，两把三角尺同时停止转动．
①若在旋转过程中，活动针始终平分．当时，求旋转所用的时间和活动针对应的读数；
②若两把三角尺开始旋转时，活动针同时从的位置绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当与重合后，活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转．当与重合后停止旋转，求活动针停止时对应的读数，请直接写出答案（结果保留整数）．
【答案】（1）95，82.5
（2）解：①三角尺旋转一周需要的时间是．
设经过秒后，．
当追上之前，
由题意得：，
解得，
此时，活动针对应的读数是：；
当追上之后，
由题意得：，
解得，
此时，活动针对应的读数是：．
综上所述，当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是．
②设运动的时间为秒，当与重合时，
根据题意可知，，
解得，此时旋转，旋转，即，
此时；
当活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转，与重合时，
由题意可知，，
解得，
此时．
即活动针停止时对应的读数为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；钟面角
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，，
，
；
，，
，
当平分时，，
．
故答案为：95，82.5；
【分析】（1）根据圆周角的度数为，结合，求得的度数，再由平分，求得，结合，即可求解；
（2）①设经过秒后，，分追上之前和追上之后，两种情况讨论，根据题意，列出算式，即可求解；
②设运动的时间为秒，先算出当与重合后，活动针的位置，再计算当与重合时，根据题意，列出三是求得的值，以及的位置，即可求解．
（1）解：由题意可知，，
，
；
，，
，
当平分时，，
．
故答案为：95，82.5；
（2）解：①三角尺旋转一周需要的时间是．
设经过秒后，．
当追上之前，
由题意得：，
解得，
此时，活动针对应的读数是：；
当追上之后，
由题意得：，
解得，
此时，活动针对应的读数是：．
综上所述，当时，当旋转7.5秒时，活动针对应的读数是；当旋转67.5秒时，活动针对应的读数是．
②设运动的时间为秒，当与重合时，
根据题意可知，，
解得，此时旋转，旋转，即，
此时；
当活动针立即以同样的速度逆时针方向旋转，与重合时，
由题意可知，，
解得，
此时．
即活动针停止时对应的读数为．
19．（2025七上·龙岗期末）根据一下素材，探索完成任务：
如何设计宣传牌
素材1 一块长方形宣传牌如图(a)所示，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字，宣传牌中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍；四周空白部分的宽度相等.
素材2 如图(b)所示，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏日与栏日之间的中缝间距相等.
素材3 如图(c)所示，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中 间间隔宽度比为1：2.
任务1 (1)分析数量关系.设四周宽度为xcm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽
任务2 (2)确定四周宽度，求出四周宽度x的值.
任务3 (3)确定栏目大小. ①求每个栏目的竖直高度； ②求长方形栏目与栏目之间中缝的间距
【答案】解：（1）根据题意，设计部分的长为（330﹣2x）cm，宽为（220﹣2x）cm．（2）∵设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，
∴330﹣2x＝1.55（220﹣2x），解得x＝10．
∴四周宽度是10cm．（3）①设计部分的长为330﹣2×10＝310（cm），宽为220﹣2×10＝200（cm），
设每个栏目的竖直高度为y cm，每栏横向两行中间间隔是a cm，则竖向中间间隔宽度为2a cm，
根据正方形边长相等，可得，解得y＝100．
∴每个栏目的竖直高度为100cm．
②∵＝5（cm），
∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意，设计部分的长为（330-2x）cm，宽为（220-2x）cm；
（2）由设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，得330-2x=1.55（220-2x），可解得答案；
（3）① 设每个栏目的水平宽度为ycm，每栏竖行两列中间间隔是acm，根据正方形边长相等可得：， 可解得每个栏目的水平宽度为100cm；② 列出算式即可求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm.
20．（2025七上·江北期末）花窗映蛇岁，新春共欢颜，如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第①个图形共有8个小平行四边形；第②个图形共有15 个小平行四边形；第③个图形共有 22个小平行四边形；…
（1）第⑤个图形共有　 　个小平行四边形。
（2）第个图形共有　 　个小平行四边形（用n的代数式表示）
（3）循此规律，是否存在由 2025 个小平行四边形组成的图形 若存在，请求出是第几个图形：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）36
（2）（7n+1）
（3）解：根据题意可以列出方程7n+1=2025解得
因为 n是正整数，
因此按照此规律，不存在由 2025 个小平行四边形组成的图形。
也可：以 2024 非 7 的倍数等来说明，酌情即可。
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：(1)由所给图形可知，
第①个图形中小平四边形的个数为：
第②个图形中小平四边形的个数为：
第③个图形中小平四边形的个数为：
… ，
所以第n个图形中小平四边形的个数为( 个.
当 时，
(个)，
即第⑤个图形中小平四边形的个数为36个.
故答案为： 36.
(2)由 (1) 知，
第n个图形中小平四边形的个数为( 个.
故答案为：
【分析】(1)根据所给图形，依次求出图形中小平行四边形的个数，发现规律即可解决问题.
(2)根据 (1)中发现的规律即可解决问题.
(3)根据 (1)中发现的规律进行计算即可.
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