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【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第23~24题
一、原题23
1．（2025·北京）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b.丙运动员 10次测试成绩：
12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c.四名运动员 10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
（1） 表中m的值为　 　；
（2）表中n　 　0.056(填“＞”“=”或“＜”)；
（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为　 　.
二、变式1基础
2．（2025八下·椒江期末）杭州宇树科技公司生产的人形机器人亮相央视2025春晚，让我们看到了一个技术深度嵌入日常生活，人机协作成为常态的未来已来.某人形机器人公司为参加人形机器人半程马拉松比赛，研发团队对H1、G1两款人形机器人的性能进行6次综合测评，测评结果绘制成如下统计图表：
型号 平均数 (分) 中位数(分) 众数(分) 方差 (分2)
H1 96 95.5 a
G1 b 96 96 5
（1） 填空：=　 　，=　 　；
（2） 根据测评结果，公司决定选H1机器人参加半程马拉松比赛，请你根据相关统计量说明公司选择的理由.
3．（2025八下·诸暨期末）为了提升学生身体素质，某小学开展“跳绳打卡”活动，某班级体育老师分别对甲乙两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，测试结果数据如下表1，并根据测试数据绘制数据分析表如下表2.
表1甲乙两名同学一分钟跳绳个数统计表
甲 185 165 160 185 175 180 165 185
乙 175 180 173 172 180 180 165 175
表2测试数据分析表
平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a 185 93.75
乙 b 175 c 23.5
（1）根据表中的信息答下列问题：表中a=　 　；b=　 　；C=　 　.
（2）如果从甲乙中选择一位，代表班级参加学校组织的校跳绳比赛，您作为同班级的一份子，您会建议谁参赛较好，请说明理由。
4．（北师大版数学八年级上册第六章　数据的分析 质量评价）某校元旦文艺演出中，10位评委给某个节目打分如下（单位：分）：
7.20，7.25，7.00，7.10，9.50，7.30，7.20，7.20，6.10，7.25。
（1）求该节目得分的平均数、中位数和众数；
（2）在平均数、中位数、众数这三个统计量中，你认为哪一个统计量比较恰当地反映了该节目的水平？请设计一个能较好反映该节目水平的统计方案。
三、变式2巩固
5．（北师大版数学八年级上册第六章 数据的分析 能力提优测试卷）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势.网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分)：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9.
乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9.
②服务质量得分统计图（满分10分)：
③配送速度和服务质量得分统计表：
快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 7.9 m n 7
乙 7.9 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m=　 　，n=　 　.比较大小：　 　（填“>”“=”或“<”).
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司 请说明理由.
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息 （列出一条即可)
6．为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分。王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题。为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表：
甲、乙成绩统计图
甲、乙成绩统计表
项目 平均成绩/分 中位数/分 方差
甲 96 a 8.6
乙 96 96 b
（1）a=　 　，b=　 　。
（2）你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛 请说明理由。
（3）若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将　 　（填“变大”“变小”或“不变”）。
7．一段时间内，一家鞋店销售了某种品牌的女鞋30双，其中鞋号为24 cm和24.5 cm的销售量还未统计完毕。各种鞋号的鞋的销售量如表所示：
鞋号/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 9 8 a b 2
（1）这30双女鞋鞋号的中位数为　 　，众数为　 　；
（2）当b=2时， 求出这30双女鞋中鞋号为24 cm，24.5 cm和25 cm的三种鞋的鞋号的平均数；
（3）在（1）（2）中求出的三个数据中，你认为鞋店老板最感兴趣的是　 　。
四、变式3提高
8．（北师大版八年级上册数学6.2 第1课时 中位数 分层练习）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐.小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天.该汽车租赁公司有A，B，C三种型号纯电动汽车.为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
C型纯电动汽车满电续航里程统计情况
续航里程 430 440 450 460 470
车辆数/辆 2 3 6 5 4
型号 平均里程 中位数 众数
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
（1）【分析数据】小明共调查了 ▲ 辆A型纯电动汽车，请补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390 km”对应的圆心角度数为　 　；
（3）由上表填空：m＝　 　，n＝　 　；
（4）【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由.
9．（2025·潍坊） 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
10．（2025八上·宝安期末）发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡。某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了1班和2班各10名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图。
数据分析结果详见下表：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
1班 8.1 x 9 2.09
2班 y 9 9 1.24
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）x=　 　，y=　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在　 　班（填“1”或“2”）；
（4）在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异 请说明理由。
五、原题24
11．（2025·北京）如图，过点 P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交 ⊙O 于点 D，连接BD.
（1） 求证：∠ADB =∠AOP；
（2） 延长OP交DB的延长线于点 E. 若AP = 10， 求 DE 的长.
六、变式1（基础）
12．（2025·西藏）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝60°，过点C的切线交BA的延长线于点D．求证：CD＝CB．
13．（2025·广东）如图，点O是 斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D. 求证： AD平分∠BAC.
14．（2025·隆昌模拟）如图所示，在四边形中，，是四边形的内切圆，E为与的切点．若，，求的长．
七、变式2（巩固）
15． 如图所示，在 中， ⊙O 为 的外接圆，BE 为⊙O的切线，AC为⊙O 的直径，连结 DC 并延长，交 BE 于点E.
（1）求证：
（2）若 求⊙O 的半径.
16． 如图所示，在四边形ABCD 中， ，以 D 为圆心，AD 为半径的弧恰好与BC 相切，切点为 E.
（1）求证：BC=CD.
（2）若 求 sinC 的值.
17．（2025·南通）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．
（1）连接OB，求证：OB⊥PB；
（2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积．
八、变式3（提高）
18．（2025·上虞二模）如图1，已知点D在的边BC上，连接AD，是的外接圆，AC切于点A.
（1）【探究发现】小敏通过探究发现：如图2中，过点A作的直径AE，连接ED，根据已知条件，可以证明.请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程.
（2）【拓展迁移】当，时.
①求的值；
②求面积的最大值，并求出此时的半径.
19．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图所示，AB是的直径，直线是的切线，为切点.P，Q是圆上两点（不与点重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线于点C，D.
（1）如图甲所示，当，的长为时，求BC的长.
（2）如图乙所示，当，时，求的值.
（3）如图丙所示，当，时，连结BP，PQ，请直接写出的值.
20．（2025·大庆） 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足．
（1）求证：平分；
（2）证明：；
（3）若射线与相切于点A，，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）12.5
（2）＜
（3）乙、丁、甲、丙
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲的成绩按从小到大的顺序排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9
处在最中间的两个数为12.5，12.5
∴
故答案为：12.5
（2）由题意可得：
故答案为：<
（3）丙的平均数
=12.7
∴丙的平均数最大，则实力最弱
∵方差0.024< 0.034<0.056
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为12.45，
∴第5，6次成绩和为24.9，
∴前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙
故答案为：乙、丁、甲、丙.
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义求出n的值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
2．【答案】（1）95；96
（2）解：选H1器人参加半程马拉松比赛，是因为两款机器人测评成绩的平均数相同，但H1的方差比G1小，成绩更稳定.
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】(1)由题意可知，H1款人形机器人的6次测评成绩中，95分出现的次数最多，故众数
故答案为： 95， 96；
【分析】(1)分别根据众数和平均数的定义解答即可；
(2)根据平均数和方差的意义解答即可.
3．【答案】（1）177.5；175；180
（2）解：乙，理由：甲和乙的平均数相同，说明两人的平均水平一样，但乙的方差23.5小于甲的方差93.75，方差越小，数据的波动越小，说明乙的成绩更稳定，所以选乙参赛较好。
【知识点】统计表；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）【第1空】将甲的跳绳个数从小到大排列：160、165、165、175、180、185、185、185。一共有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数，即，所以a = 177.5；
【第2空】乙的跳绳个数为175、180、173、172、180、180、165、175.所以平均数；
【第3空】乙的数据中180出现了3次，出现的次数最多，所以c=180.
故答案为：a=177.5，b=175，c=180.
【分析】（1）【第1空】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数），或者最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）；通过排列计算，即可得出中位数a；
【第2空】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；通过计算，即可得出平均数b；
【第3空】众数是一组数据中出现次数最多的数据。通过观察数据，即可得出众数c.
（2）方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定；通过比较方差，即可得出答案.
4．【答案】（1）解：平均数为
因为排序后位于中间的两数为7.20和7.20，所以中位数为7.20。因为数据7.20出现了3次，出现的次数最多，所以众数为7.20。
（2）解：大多数数据都比较接近众数和中位数，故用众数或中位数比较恰当地反映该节目的水平。为了能较好地反映该节目的水平，在评分时可以去掉一个最高分和一个最低分。
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)利用众数、中位数及平均数的计算方法求解即可；
(2)根据哪一个数比较均水平就选哪一个数可以确定.
5．【答案】（1）8；9；<
（2）解：小刘应选择甲公司.
理由：配送速度方面，甲、乙两公司的平均数相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好；
服务质量方面，二者的平均数相同，但甲的方差明显小于乙，这说明甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司
（3）解：根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势，
所以除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围(答案不唯一，言之有理即可)
【知识点】折线统计图；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：(1)将甲配送速度得分数据从小到大排列为6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，
从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为(8+8)÷2=8，即m=8，
其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即n=9，
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于5~8分，乙的服务质量得分分布于4~10分，
从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即<.
故答案为8，9，<
【分析】(1)根据中位数、众数和方差的概念即可解答；
(2)综合分析表中的统计量，即可解答；
(3)根据已有的数据，合理提出建议即可，答案不唯一.
6．【答案】（1）96；1.2
（2）解：选择甲，理由：甲的成绩呈上升趋势，甲的最好成绩比乙高，甲比乙的高分次数多；
或选择乙，理由：乙的方差较小，乙的成绩更稳定。（答案不唯一）
（3）变小
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）甲的成绩（单位：分）从低到高依次为91，92，94，95，95，97，98，99，99，100，
其中位数为=96（分）。
乙的所有成绩（单位：分）为94，95，96，95，96，98，97，96，97，96，
所以其方差为×[（94-96）2+（95-96）2+（96-96）2+（95-96）2+（96-96）2+（98-96）2+（97-96）2+（96-96）2+（97-96）2+（96-96）2]=1.2，
故答案为：96；1.2；
（3）　解析：若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则所有的成绩离平均成绩的差都会减小，故甲这10次成绩的方差将变小.
故答案为：甲.
【分析】(1)先列出甲的所有成绩，然后找到中位数即可；直接利用方差的计算公式直接计算乙的方差即可；
(2)可通过成绩的上升趋势或者方差进行选择，言之有理即可；
(3)根据方差的公式可知，当每个数与平均数的差值变小时，方差也会减小，即可答题.
7．【答案】（1）23.5 cm；23 cm
（2）解：因为b=2，
所以a=30-1-2-9-8-2-2=6。
这30双女鞋中鞋号为24 cm，24.5 cm和25 cm的三种鞋的鞋号的平均数=×（24×6+24.5×2+25×2）=24.3（cm）。
（3）众数
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）30双女鞋鞋号的中位数为=23.5（cm），众数为23 cm，
故答案为：23.5cm；23 cm；
（3）鞋店老板最感兴趣的是众数，原因是这组数据中的众数是23 cm，故销售的女鞋中鞋号为23 cm的鞋卖得最好。
故答案为：众数.
【分析】(1)利用中位数以及众数的定义得出答案即可；
(2)直接利用平均数公式求出即可；
(3)利用众数的意义得出答案.
8．【答案】（1）解：20； 400 km的数量为20－3－4－6－2＝5（辆），补全条形统计图如图.
（2）72°
（3）430；450
（4）解：∵三个型号中C型号的纯电动汽车的平均数、中位数、众数都是最高的，∴选择C型号的纯电动汽车较为合适.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）6÷30％＝20（辆），
故答案为20.
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390 km”对应的圆心角度数为360°×＝72°，
故答案为72°.
（3）由折线统计图知，B型纯电动汽车满电续航里程共调查了20辆，从低到高排列后中位数应为第10，11辆的平均数，2＋3＋6＝11，7＋2＝9，∴m＝＝430.
C型纯电动汽车满电续航里程中，续航里程450 km的出现次数最多，共6辆，∴n＝450.
故答案为430，450.
【分析】(1)用“410km”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“400km”的数量，再补全条形统计图即可；
(2) 用 乘续航里程为390km的占比即可；
(3)分别根据中位数和众数的定义解答即可；
(4)结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可.
9．【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
10．【答案】（1）8.5；8.4
（2）解：补全条形统计图如下图
（3）1
（4）解：2班更优异，因为2班的平均数，中位数均大于1班，方差小于1班(言之有理即可得分)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由题意得1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，
∵1班学生抽取了10人，
∴中位数应该是第5和第6位同学得分的平均数，
∴，
∴，
故答案为：8.5；8.4；
（3）∵小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，
∴9＞8.5，
∴小颖在1班，
故答案为：1
【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图得到1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，进而根据中位数的定义和平均数的计算方法结合题意即可求解；
（2）根据（1）补全统计图即可求解；
（3）根据题意比较中位数即可求解；
（4）根据平均数、中位数、方差结合题意进行数据分析，进而即可求解。
11．【答案】（1）证明：∵AP， BP分别切⊙O于A点， B点，
∴OP 平分∠AOB，
∵
∴∠ADB=∠AOP .
（2）解：延长AO交⊙O于点F， 连接DF， 则∠ADF=90°，
∵ AP ， BP分别切⊙O 于A 点， B 点，
∴PA⊥OA，
∵C为OP的中点，
∴PC=OC，
又∵
∵AC=OC，
∴∠CAO=∠AOC，
又∵∠PAO=∠ADF=90°，
∵∠AOP=∠ADB， ∠ACO=∠ECD，
∴△ACO∽△ECD，
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得OP 平分∠AOB，根据角平分线定义可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，则∠ADB=∠AOP，即可求出答案.
（2）延长AO交⊙O于点F， 连接DF， 则∠ADF=90°，根据切线性质可得PA⊥OA，再根据线段中点可得PC=OC，再根据直角三角形中斜边上的中线性质可得，根据正切定义可得AO，根据勾股定理可得OP，根据等边对等角可得∠CAO=∠AOC，再根据相似三角形性质可得，代值计算可得DA，根据边之间的关系可得CD，再根据相似三角形判定定理可得△ACO∽△ECD，则，代值计算即可求出答案.
12．【答案】证明： 连接OC， 则OC= OA，
∵∠CAB=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵CD与⊙O相切于点C，交BA的延长线于点D，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD = 30°，
∴∠B=∠D，
∴CD=CB.
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】连接OC， 则OC=OA， 因为∠CAB=60°， 所以△AOC是等边三角形， 则∠COD =60°， 所以∠ 由切线的性质得∠OCD=90°， 则∠D=90°-∠COD=30°， 所以∠B =∠D， 即可证明结论.
13．【答案】证明：如图， 连接OD，
∵BC切⊙O于 D
∴OD⊥BC
∵△ABC为直角三角形
∴AB⊥BC
∴OD∥AB
∴∠ODA=∠BAD
∵OD=OA
∴∠ODA=∠OAD
∴∠BAD=∠OAD
∴AD平分∠BAC
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】： 利用圆的切线性质、平行线判定及性质、等腰三角形性可以证明。
连OD，构建切线与半径的垂直关系；
由BC切⊙O于D，得OD⊥BC；
因 △ABC是Rt△，AB⊥BC，结合OD⊥BC，推出OD∥AB；由OD平行AB得∠ODA = ∠BAD；又OD = OA（半径相等），得∠ ODA = ∠OAD，从而∠BAD =∠OAD，证得AD平分∠BAC。
14．【答案】．
【知识点】勾股定理；切线的性质
15．【答案】（1）证明：连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，
∵AB=BD，OA=OD，∴BO垂直平分AD，∴BH⊥AD，AH=DH，∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴四边形BHDE为矩形，∴DE⊥BE
（2）解：由(1)知四边形BHDE为矩形，BH⊥AD，AH=DH，∴AH=设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OH=BH-OB=5-r，在Rt△AOH中，由勾股定理，得解得即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，根据等腰三角形的三线合一，结合圆的切线的性质，由于直径所对圆周角为直角，由矩形的判定与性质即可证明；
（2）首先由矩形性质与勾股定理求出AH和BH的长，然后利用角度关系与同弧所对圆周角相等，最后设半径，利用方程思想求半径.
16．【答案】（1）证明：连结DB，DE，
∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点E，∴BC⊥DE，EB=AB.易得Rt△ABD≌Rt△EBD.∴∠CBD=∠ABD.∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB.∴∠CBD=∠CDB.
∴CB=CD
（2）解：设AB=m，则EB=AB=m.∵AB=CD，∴CD=3AB=3m.
∴CE=CB-EB=3m-m=2m.∵∠CED=90°，∴DE=√CD2-CE2=√(3m)2-(2m)2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接DB，DE，根据切线的定义可知AB为⊙D的切线，然后根据切线的性质得到BC⊥DE，EB=AB，进而证明Rt△ABD≌Rt△EBD，进而利用平行线的性质和等角对等边得到CB=CD；
（2）根据题意知然后得到CD与AB的倍数关系，然后设未知数，利用勾股定理求出DE的长，最后根据锐角三角函数的定义得到sinC 的值.
17．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得，然后证明，得，即可得证结论；
（2）连接，先求出，从而得，进而证明为等边三角形，于是得，然后由（1）中的全等三角形得到，则，即可证明，得到，接下来解直角三角形求出，利用扇形面积公式得到的值.
18．【答案】（1）解： 过点A的⊙O的直径AE，连结ED，如图.
，.
又切于点A，
，即.
.
又，
.
（2）解：①知，
又，
.
设，，.
.
，解得，(舍去).
..
②由题意：当BA⊥AC时，△ABC面积最大，如图，
∵AC切☉O于点A，BA⊥AC，
∴AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
由①知：，
∴
∵
∴BA=4.
∴此时⊙O的半径为.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)过点A作☉O的直径AE，连结ED，利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和直角三角形的性质，以及同角的余角相等的性质解答即可；
(2)①利用相似三角形的判定与性质求得CD，再利用相似三角形的性质解答即可；
②当BA⊥AC时，△ABC面积最大，画出符合题意的图形，利用圆周角定理和勾股定理解答即可.
19．【答案】（1）解：如图甲所示，连结OP，设∠BOP的度数为n.
∵，BP长为，
∴，即.
∴.
∵直线l是☉O的切线，∴∠ABC=90°.
∴BC=AB×tan∠BAC=6×tan30°=6×
（2）解：如图乙所示，连结BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为直径，∴∠BQA=90°.
∵=，∴∠BAC=∠DAC.
∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF=CB.
∵∠BAQ+∠ADB=90°，∠FCD+∠ADB=90°，
∴∠FCD=∠BAQ
（3）解：如图，连结BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ=90°-∠QBD=∠ADC，
∵∠ABQ=∠APQ，
∴∠APQ=∠ADC
∵∠PAQ=∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴①，
∵∠ABC=90°=∠APB，∠BAC=∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴②，由BC=CD，将①②两式相除得，
∵，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；弧长的计算；直角三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据扇形的弧长公式即可求出∠BOP度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出BC的长；
(2)根据等弧所对圆周角相等推出∠BAC=∠DAC，再根据角平分线的性质定理推出CF=CB，利用直角三角形的性质即可求出∠FCD=∠BAQ，通过等量转化和余弦值可求出答案；
(3)连结BQ，证明△APQ∽△ADC，得①，证明△APB∽△ABC，得②，由BC=CD，将①②两式相除得，从而可得的值.
20．【答案】（1）证明：∵DE为 E外接圆 的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠BAD=∠EAC+∠DAC=90°，
∵∠CAE=∠MAE，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接 AO，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： 射线BM与相切于点A
，
由（2）知，，
，
，
∴设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠DAE=90°，再利用余角结合已知条件计算得到∠BAD=∠CAD，解答即可；
（2）连接 AO，根据等边对等角得到再根据角度的和差运算得到，即可根据AA判定，再根据相似三角形的性质解答即可；
（3）由切线的性质和相似的性质设，表示出OD，OB建立方程计算即可得到，利用勾股定理可得AC，再利用余角的性质计算得到，再根据正切的定义计算即可解答.
1 / 1【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第23~24题
一、原题23
1．（2025·北京）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b.丙运动员 10次测试成绩：
12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c.四名运动员 10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
（1） 表中m的值为　 　；
（2）表中n　 　0.056(填“＞”“=”或“＜”)；
（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为　 　.
【答案】（1）12.5
（2）＜
（3）乙、丁、甲、丙
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲的成绩按从小到大的顺序排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9
处在最中间的两个数为12.5，12.5
∴
故答案为：12.5
（2）由题意可得：
故答案为：<
（3）丙的平均数
=12.7
∴丙的平均数最大，则实力最弱
∵方差0.024< 0.034<0.056
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为12.45，
∴第5，6次成绩和为24.9，
∴前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙
故答案为：乙、丁、甲、丙.
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义求出n的值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
二、变式1基础
2．（2025八下·椒江期末）杭州宇树科技公司生产的人形机器人亮相央视2025春晚，让我们看到了一个技术深度嵌入日常生活，人机协作成为常态的未来已来.某人形机器人公司为参加人形机器人半程马拉松比赛，研发团队对H1、G1两款人形机器人的性能进行6次综合测评，测评结果绘制成如下统计图表：
型号 平均数 (分) 中位数(分) 众数(分) 方差 (分2)
H1 96 95.5 a
G1 b 96 96 5
（1） 填空：=　 　，=　 　；
（2） 根据测评结果，公司决定选H1机器人参加半程马拉松比赛，请你根据相关统计量说明公司选择的理由.
【答案】（1）95；96
（2）解：选H1器人参加半程马拉松比赛，是因为两款机器人测评成绩的平均数相同，但H1的方差比G1小，成绩更稳定.
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】(1)由题意可知，H1款人形机器人的6次测评成绩中，95分出现的次数最多，故众数
故答案为： 95， 96；
【分析】(1)分别根据众数和平均数的定义解答即可；
(2)根据平均数和方差的意义解答即可.
3．（2025八下·诸暨期末）为了提升学生身体素质，某小学开展“跳绳打卡”活动，某班级体育老师分别对甲乙两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，测试结果数据如下表1，并根据测试数据绘制数据分析表如下表2.
表1甲乙两名同学一分钟跳绳个数统计表
甲 185 165 160 185 175 180 165 185
乙 175 180 173 172 180 180 165 175
表2测试数据分析表
平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a 185 93.75
乙 b 175 c 23.5
（1）根据表中的信息答下列问题：表中a=　 　；b=　 　；C=　 　.
（2）如果从甲乙中选择一位，代表班级参加学校组织的校跳绳比赛，您作为同班级的一份子，您会建议谁参赛较好，请说明理由。
【答案】（1）177.5；175；180
（2）解：乙，理由：甲和乙的平均数相同，说明两人的平均水平一样，但乙的方差23.5小于甲的方差93.75，方差越小，数据的波动越小，说明乙的成绩更稳定，所以选乙参赛较好。
【知识点】统计表；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）【第1空】将甲的跳绳个数从小到大排列：160、165、165、175、180、185、185、185。一共有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数，即，所以a = 177.5；
【第2空】乙的跳绳个数为175、180、173、172、180、180、165、175.所以平均数；
【第3空】乙的数据中180出现了3次，出现的次数最多，所以c=180.
故答案为：a=177.5，b=175，c=180.
【分析】（1）【第1空】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数），或者最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）；通过排列计算，即可得出中位数a；
【第2空】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；通过计算，即可得出平均数b；
【第3空】众数是一组数据中出现次数最多的数据。通过观察数据，即可得出众数c.
（2）方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定；通过比较方差，即可得出答案.
4．（北师大版数学八年级上册第六章　数据的分析 质量评价）某校元旦文艺演出中，10位评委给某个节目打分如下（单位：分）：
7.20，7.25，7.00，7.10，9.50，7.30，7.20，7.20，6.10，7.25。
（1）求该节目得分的平均数、中位数和众数；
（2）在平均数、中位数、众数这三个统计量中，你认为哪一个统计量比较恰当地反映了该节目的水平？请设计一个能较好反映该节目水平的统计方案。
【答案】（1）解：平均数为
因为排序后位于中间的两数为7.20和7.20，所以中位数为7.20。因为数据7.20出现了3次，出现的次数最多，所以众数为7.20。
（2）解：大多数数据都比较接近众数和中位数，故用众数或中位数比较恰当地反映该节目的水平。为了能较好地反映该节目的水平，在评分时可以去掉一个最高分和一个最低分。
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)利用众数、中位数及平均数的计算方法求解即可；
(2)根据哪一个数比较均水平就选哪一个数可以确定.
三、变式2巩固
5．（北师大版数学八年级上册第六章 数据的分析 能力提优测试卷）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势.网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分)：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9.
乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9.
②服务质量得分统计图（满分10分)：
③配送速度和服务质量得分统计表：
快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 7.9 m n 7
乙 7.9 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m=　 　，n=　 　.比较大小：　 　（填“>”“=”或“<”).
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司 请说明理由.
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息 （列出一条即可)
【答案】（1）8；9；<
（2）解：小刘应选择甲公司.
理由：配送速度方面，甲、乙两公司的平均数相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好；
服务质量方面，二者的平均数相同，但甲的方差明显小于乙，这说明甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司
（3）解：根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势，
所以除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围(答案不唯一，言之有理即可)
【知识点】折线统计图；中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：(1)将甲配送速度得分数据从小到大排列为6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，
从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为(8+8)÷2=8，即m=8，
其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即n=9，
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于5~8分，乙的服务质量得分分布于4~10分，
从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即<.
故答案为8，9，<
【分析】(1)根据中位数、众数和方差的概念即可解答；
(2)综合分析表中的统计量，即可解答；
(3)根据已有的数据，合理提出建议即可，答案不唯一.
6．为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分。王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题。为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表：
甲、乙成绩统计图
甲、乙成绩统计表
项目 平均成绩/分 中位数/分 方差
甲 96 a 8.6
乙 96 96 b
（1）a=　 　，b=　 　。
（2）你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛 请说明理由。
（3）若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将　 　（填“变大”“变小”或“不变”）。
【答案】（1）96；1.2
（2）解：选择甲，理由：甲的成绩呈上升趋势，甲的最好成绩比乙高，甲比乙的高分次数多；
或选择乙，理由：乙的方差较小，乙的成绩更稳定。（答案不唯一）
（3）变小
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）甲的成绩（单位：分）从低到高依次为91，92，94，95，95，97，98，99，99，100，
其中位数为=96（分）。
乙的所有成绩（单位：分）为94，95，96，95，96，98，97，96，97，96，
所以其方差为×[（94-96）2+（95-96）2+（96-96）2+（95-96）2+（96-96）2+（98-96）2+（97-96）2+（96-96）2+（97-96）2+（96-96）2]=1.2，
故答案为：96；1.2；
（3）　解析：若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则所有的成绩离平均成绩的差都会减小，故甲这10次成绩的方差将变小.
故答案为：甲.
【分析】(1)先列出甲的所有成绩，然后找到中位数即可；直接利用方差的计算公式直接计算乙的方差即可；
(2)可通过成绩的上升趋势或者方差进行选择，言之有理即可；
(3)根据方差的公式可知，当每个数与平均数的差值变小时，方差也会减小，即可答题.
7．一段时间内，一家鞋店销售了某种品牌的女鞋30双，其中鞋号为24 cm和24.5 cm的销售量还未统计完毕。各种鞋号的鞋的销售量如表所示：
鞋号/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 9 8 a b 2
（1）这30双女鞋鞋号的中位数为　 　，众数为　 　；
（2）当b=2时， 求出这30双女鞋中鞋号为24 cm，24.5 cm和25 cm的三种鞋的鞋号的平均数；
（3）在（1）（2）中求出的三个数据中，你认为鞋店老板最感兴趣的是　 　。
【答案】（1）23.5 cm；23 cm
（2）解：因为b=2，
所以a=30-1-2-9-8-2-2=6。
这30双女鞋中鞋号为24 cm，24.5 cm和25 cm的三种鞋的鞋号的平均数=×（24×6+24.5×2+25×2）=24.3（cm）。
（3）众数
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）30双女鞋鞋号的中位数为=23.5（cm），众数为23 cm，
故答案为：23.5cm；23 cm；
（3）鞋店老板最感兴趣的是众数，原因是这组数据中的众数是23 cm，故销售的女鞋中鞋号为23 cm的鞋卖得最好。
故答案为：众数.
【分析】(1)利用中位数以及众数的定义得出答案即可；
(2)直接利用平均数公式求出即可；
(3)利用众数的意义得出答案.
四、变式3提高
8．（北师大版八年级上册数学6.2 第1课时 中位数 分层练习）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐.小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天.该汽车租赁公司有A，B，C三种型号纯电动汽车.为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
C型纯电动汽车满电续航里程统计情况
续航里程 430 440 450 460 470
车辆数/辆 2 3 6 5 4
型号 平均里程 中位数 众数
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
（1）【分析数据】小明共调查了 ▲ 辆A型纯电动汽车，请补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390 km”对应的圆心角度数为　 　；
（3）由上表填空：m＝　 　，n＝　 　；
（4）【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由.
【答案】（1）解：20； 400 km的数量为20－3－4－6－2＝5（辆），补全条形统计图如图.
（2）72°
（3）430；450
（4）解：∵三个型号中C型号的纯电动汽车的平均数、中位数、众数都是最高的，∴选择C型号的纯电动汽车较为合适.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）6÷30％＝20（辆），
故答案为20.
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390 km”对应的圆心角度数为360°×＝72°，
故答案为72°.
（3）由折线统计图知，B型纯电动汽车满电续航里程共调查了20辆，从低到高排列后中位数应为第10，11辆的平均数，2＋3＋6＝11，7＋2＝9，∴m＝＝430.
C型纯电动汽车满电续航里程中，续航里程450 km的出现次数最多，共6辆，∴n＝450.
故答案为430，450.
【分析】(1)用“410km”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“400km”的数量，再补全条形统计图即可；
(2) 用 乘续航里程为390km的占比即可；
(3)分别根据中位数和众数的定义解答即可；
(4)结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可.
9．（2025·潍坊） 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
10．（2025八上·宝安期末）发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡。某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了1班和2班各10名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图。
数据分析结果详见下表：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
1班 8.1 x 9 2.09
2班 y 9 9 1.24
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）x=　 　，y=　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在　 　班（填“1”或“2”）；
（4）在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异 请说明理由。
【答案】（1）8.5；8.4
（2）解：补全条形统计图如下图
（3）1
（4）解：2班更优异，因为2班的平均数，中位数均大于1班，方差小于1班(言之有理即可得分)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由题意得1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，
∵1班学生抽取了10人，
∴中位数应该是第5和第6位同学得分的平均数，
∴，
∴，
故答案为：8.5；8.4；
（3）∵小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，
∴9＞8.5，
∴小颖在1班，
故答案为：1
【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图得到1班学生得分为9分的人数为10-2-2-1-2=3人，2班中得分为8分的人数所占百分比为100-50-10-10-10=20%，进而根据中位数的定义和平均数的计算方法结合题意即可求解；
（2）根据（1）补全统计图即可求解；
（3）根据题意比较中位数即可求解；
（4）根据平均数、中位数、方差结合题意进行数据分析，进而即可求解。
五、原题24
11．（2025·北京）如图，过点 P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交 ⊙O 于点 D，连接BD.
（1） 求证：∠ADB =∠AOP；
（2） 延长OP交DB的延长线于点 E. 若AP = 10， 求 DE 的长.
【答案】（1）证明：∵AP， BP分别切⊙O于A点， B点，
∴OP 平分∠AOB，
∵
∴∠ADB=∠AOP .
（2）解：延长AO交⊙O于点F， 连接DF， 则∠ADF=90°，
∵ AP ， BP分别切⊙O 于A 点， B 点，
∴PA⊥OA，
∵C为OP的中点，
∴PC=OC，
又∵
∵AC=OC，
∴∠CAO=∠AOC，
又∵∠PAO=∠ADF=90°，
∵∠AOP=∠ADB， ∠ACO=∠ECD，
∴△ACO∽△ECD，
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得OP 平分∠AOB，根据角平分线定义可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，则∠ADB=∠AOP，即可求出答案.
（2）延长AO交⊙O于点F， 连接DF， 则∠ADF=90°，根据切线性质可得PA⊥OA，再根据线段中点可得PC=OC，再根据直角三角形中斜边上的中线性质可得，根据正切定义可得AO，根据勾股定理可得OP，根据等边对等角可得∠CAO=∠AOC，再根据相似三角形性质可得，代值计算可得DA，根据边之间的关系可得CD，再根据相似三角形判定定理可得△ACO∽△ECD，则，代值计算即可求出答案.
六、变式1（基础）
12．（2025·西藏）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝60°，过点C的切线交BA的延长线于点D．求证：CD＝CB．
【答案】证明： 连接OC， 则OC= OA，
∵∠CAB=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵CD与⊙O相切于点C，交BA的延长线于点D，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD = 30°，
∴∠B=∠D，
∴CD=CB.
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】连接OC， 则OC=OA， 因为∠CAB=60°， 所以△AOC是等边三角形， 则∠COD =60°， 所以∠ 由切线的性质得∠OCD=90°， 则∠D=90°-∠COD=30°， 所以∠B =∠D， 即可证明结论.
13．（2025·广东）如图，点O是 斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D. 求证： AD平分∠BAC.
【答案】证明：如图， 连接OD，
∵BC切⊙O于 D
∴OD⊥BC
∵△ABC为直角三角形
∴AB⊥BC
∴OD∥AB
∴∠ODA=∠BAD
∵OD=OA
∴∠ODA=∠OAD
∴∠BAD=∠OAD
∴AD平分∠BAC
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】： 利用圆的切线性质、平行线判定及性质、等腰三角形性可以证明。
连OD，构建切线与半径的垂直关系；
由BC切⊙O于D，得OD⊥BC；
因 △ABC是Rt△，AB⊥BC，结合OD⊥BC，推出OD∥AB；由OD平行AB得∠ODA = ∠BAD；又OD = OA（半径相等），得∠ ODA = ∠OAD，从而∠BAD =∠OAD，证得AD平分∠BAC。
14．（2025·隆昌模拟）如图所示，在四边形中，，是四边形的内切圆，E为与的切点．若，，求的长．
【答案】．
【知识点】勾股定理；切线的性质
七、变式2（巩固）
15． 如图所示，在 中， ⊙O 为 的外接圆，BE 为⊙O的切线，AC为⊙O 的直径，连结 DC 并延长，交 BE 于点E.
（1）求证：
（2）若 求⊙O 的半径.
【答案】（1）证明：连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，
∵AB=BD，OA=OD，∴BO垂直平分AD，∴BH⊥AD，AH=DH，∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴四边形BHDE为矩形，∴DE⊥BE
（2）解：由(1)知四边形BHDE为矩形，BH⊥AD，AH=DH，∴AH=设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OH=BH-OB=5-r，在Rt△AOH中，由勾股定理，得解得即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，根据等腰三角形的三线合一，结合圆的切线的性质，由于直径所对圆周角为直角，由矩形的判定与性质即可证明；
（2）首先由矩形性质与勾股定理求出AH和BH的长，然后利用角度关系与同弧所对圆周角相等，最后设半径，利用方程思想求半径.
16． 如图所示，在四边形ABCD 中， ，以 D 为圆心，AD 为半径的弧恰好与BC 相切，切点为 E.
（1）求证：BC=CD.
（2）若 求 sinC 的值.
【答案】（1）证明：连结DB，DE，
∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点E，∴BC⊥DE，EB=AB.易得Rt△ABD≌Rt△EBD.∴∠CBD=∠ABD.∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB.∴∠CBD=∠CDB.
∴CB=CD
（2）解：设AB=m，则EB=AB=m.∵AB=CD，∴CD=3AB=3m.
∴CE=CB-EB=3m-m=2m.∵∠CED=90°，∴DE=√CD2-CE2=√(3m)2-(2m)2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接DB，DE，根据切线的定义可知AB为⊙D的切线，然后根据切线的性质得到BC⊥DE，EB=AB，进而证明Rt△ABD≌Rt△EBD，进而利用平行线的性质和等角对等边得到CB=CD；
（2）根据题意知然后得到CD与AB的倍数关系，然后设未知数，利用勾股定理求出DE的长，最后根据锐角三角函数的定义得到sinC 的值.
17．（2025·南通）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．
（1）连接OB，求证：OB⊥PB；
（2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得，然后证明，得，即可得证结论；
（2）连接，先求出，从而得，进而证明为等边三角形，于是得，然后由（1）中的全等三角形得到，则，即可证明，得到，接下来解直角三角形求出，利用扇形面积公式得到的值.
八、变式3（提高）
18．（2025·上虞二模）如图1，已知点D在的边BC上，连接AD，是的外接圆，AC切于点A.
（1）【探究发现】小敏通过探究发现：如图2中，过点A作的直径AE，连接ED，根据已知条件，可以证明.请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程.
（2）【拓展迁移】当，时.
①求的值；
②求面积的最大值，并求出此时的半径.
【答案】（1）解： 过点A的⊙O的直径AE，连结ED，如图.
，.
又切于点A，
，即.
.
又，
.
（2）解：①知，
又，
.
设，，.
.
，解得，(舍去).
..
②由题意：当BA⊥AC时，△ABC面积最大，如图，
∵AC切☉O于点A，BA⊥AC，
∴AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
由①知：，
∴
∵
∴BA=4.
∴此时⊙O的半径为.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)过点A作☉O的直径AE，连结ED，利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和直角三角形的性质，以及同角的余角相等的性质解答即可；
(2)①利用相似三角形的判定与性质求得CD，再利用相似三角形的性质解答即可；
②当BA⊥AC时，△ABC面积最大，画出符合题意的图形，利用圆周角定理和勾股定理解答即可.
19．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图所示，AB是的直径，直线是的切线，为切点.P，Q是圆上两点（不与点重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线于点C，D.
（1）如图甲所示，当，的长为时，求BC的长.
（2）如图乙所示，当，时，求的值.
（3）如图丙所示，当，时，连结BP，PQ，请直接写出的值.
【答案】（1）解：如图甲所示，连结OP，设∠BOP的度数为n.
∵，BP长为，
∴，即.
∴.
∵直线l是☉O的切线，∴∠ABC=90°.
∴BC=AB×tan∠BAC=6×tan30°=6×
（2）解：如图乙所示，连结BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为直径，∴∠BQA=90°.
∵=，∴∠BAC=∠DAC.
∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF=CB.
∵∠BAQ+∠ADB=90°，∠FCD+∠ADB=90°，
∴∠FCD=∠BAQ
（3）解：如图，连结BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ=90°-∠QBD=∠ADC，
∵∠ABQ=∠APQ，
∴∠APQ=∠ADC
∵∠PAQ=∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴①，
∵∠ABC=90°=∠APB，∠BAC=∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴②，由BC=CD，将①②两式相除得，
∵，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；弧长的计算；直角三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据扇形的弧长公式即可求出∠BOP度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出BC的长；
(2)根据等弧所对圆周角相等推出∠BAC=∠DAC，再根据角平分线的性质定理推出CF=CB，利用直角三角形的性质即可求出∠FCD=∠BAQ，通过等量转化和余弦值可求出答案；
(3)连结BQ，证明△APQ∽△ADC，得①，证明△APB∽△ABC，得②，由BC=CD，将①②两式相除得，从而可得的值.
20．（2025·大庆） 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足．
（1）求证：平分；
（2）证明：；
（3）若射线与相切于点A，，，求的值．
【答案】（1）证明：∵DE为 E外接圆 的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠BAD=∠EAC+∠DAC=90°，
∵∠CAE=∠MAE，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接 AO，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： 射线BM与相切于点A
，
由（2）知，，
，
，
∴设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠DAE=90°，再利用余角结合已知条件计算得到∠BAD=∠CAD，解答即可；
（2）连接 AO，根据等边对等角得到再根据角度的和差运算得到，即可根据AA判定，再根据相似三角形的性质解答即可；
（3）由切线的性质和相似的性质设，表示出OD，OB建立方程计算即可得到，利用勾股定理可得AC，再利用余角的性质计算得到，再根据正切的定义计算即可解答.
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