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【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第9~10题
一、原题9
1．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、变式1基础
2．（2025九上·江北期末）如图，弓形的弓高 为 1 ，弦长 为 ，则此弓形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
3． 如图5，正方形 ABCD 的边长为3，以点 A为圆心，AB长为半径作弧，交DA 的延长线于点 E，连结CE，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB 为1米，则淤泥横截面的面积 （　　）
A． B． C． D．
三、变式2巩固
5． 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是AO 的中点.过点 C 作CE⊥AO交. 于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点 D.在扇形内随机选取一点 P，则点 P 落在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·合江期末）如图，正方形的边长为2，分别以、为圆心，正方形的边长为半径画弧，在正方形中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·高唐模拟）如图，中，，点分别是边的中点依次以为圆心长为半径画弧得到．若在区域随机任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
四、变式3提高
8．（2024·河东模拟）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
9．（2025九上·牟平期末）如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·高阳期末）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
五、原题10
11．（2025·广东） 如图， 在矩形ABCD中， E， F是BC边上的三等分点， 连接DE， AF相交于点G， 连接CG. 若AB=8， BC=12， 则tan∠GCF的值是（　　）
A． B． C． D．
六、变式1（基础）
12．（2025·深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于点O，∠AOD=2∠AOB=120°，则BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
13．（2024七下·厦门期末）如图，矩形中，对角线、交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
14．（2025八下·雨花期末） 如图，在矩形中，，相交于点.若的面积为2，则矩形的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
七、变式2（巩固）
15．（2025九下·萧山月考）如图是由正方形和矩形横向拼接而成，连接，，其中交于点G．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
16．（第二章整合拔尖之综合素能提升—【拔尖特训】浙教版数学九年级下册课时训练） 如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，以顶点 C 为圆心，BC 的长为半径画. 交CD 于点 H，过 AB 的中点 P 作扇形 BCH的切线 PE，E为切点，连结 AE 并延长交CD 于点F，则 tan∠DAF 的值为(　　)
A． B． C． D．
17．（2024·宁波模拟）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
八、变式3（提高）
18．（2023·舟山模拟）如图，将矩形沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
19．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交于两点．若，则的长度为（　　）
A．1 B．2 C． D．
20． 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 的顶点 分别在 轴、 轴的正半轴上， 已知边 的中点 在 轴上， 且 ．若反比例函数 的图象经过点 ， 则 的值为 (　　)
A． B．8 C．6 D．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率；圆的面积
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令扇形所在圆的半径为r，
则
因为 于点D，且
所以
在 中，
解得
所以
所以
所以
又因为
所以
所以
又因为 ，
所以
故答案为： B.
【分析】先利用垂径定理及勾股定理求出半径，再分别求出扇形OAB及 的面积即可解决问题.
3．【答案】D
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，设AB、CE的交点为F，
∵四边形ABCD是正方形，正方形边长为3，
∴AB=BC=3，∠CBA=∠BAD=90°，
∵AB=AE，∠BAE=90°，
∴BC=AE，∠CBA=∠BAE，∠BFC=∠AFE
∴△BCF≌△AEF，
∴阴影部分的面积=扇形BAE的面积=．
故选：D．
【分析】利用正方形的性质易证△BCF≌△AEF，等积变形，即可得到阴影部分的面积=扇形BAE的面积，根据扇形面积公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过O点做OH⊥AB，
由垂径定理得，AH=HB=0.5，
圆的直径为2，则半径OB=1，
∵∠OHB=90°，且，
∴∠HOB=30°，∠AOB=60°，OH=，
∴S△OAB=12AB×OH=34 ，
∴阴影部分面积=，
故答案为：A.
【分析】作OH⊥AB，根据垂径定理得HB=0.5，由边HB和OB推出△OHB为含30°的直角三角形，从而∠AOB=60度，可求扇形OAB和△OAB的面积，最后相减即可得到阴影部分面积.
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：
四边形EDOC是矩形
、
故答案为：B.
【分析】由三个角是直角的四边形是矩形得四边形OCED是矩形，则与全等，即阴影部分面积等于扇形EOB的面积，再由矩形的性质知ED等于OC等于半径的一半，则解可得，则扇形BOE是扇形AOB面积的三分之一.
6．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；几何概率
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】设AB=BC=AC=2x，AD=x，
是等边三角形
故答案为：A．
【分析】先利用扇形面积公式求出阴影部分的面积，求出三角形的面积，最后利用几何概率公式求解即可。
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；几何概率
9．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率
10．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：如图，连接PA、PB、过点P作OP⊥AB于点O，
则S半圆O=，S△ABP=×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为，
故选：A．
【分析】连接PA、PB、过点P作OP⊥AB于点O，先求出半圆O和△ABP的面积，再求出阴影部分的面积，再利用概率公式即可求出米粒落在阴影部分的概率.
11．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建系，得各点坐标：B(0，0)，C(12，0)，A(0，8)，D(12，8)，E(4，0)，F(8，0)
直线AF：代入A(0，8)、F(8，0)，得y = -x + 8
直线DE：代入D(12，8)、E(4，0)，得y = x - 4
联立两方程式得G（6，2）
过G作GH⊥BC于H，GH = 2，CH = 6，由tan∠GCF = ，得tan∠GCF=.
故答案为：B.
【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标求出直线解析式，进而得到点G坐标，最后根据三角函数的定义求解tan∠GCF的值。
12．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：首先，因为四边形ABCD是矩形：矩形的对角线相等且互相平分，
所以OA = OB = OC = OD，
已知 ∠AOB=60° ， ∠AOD=120（因为AOD = 2AOB)
又因为OA = OB且AOB = 60°，所以 AOB是等边三角形
则OA = OB = AB = 5cm，所以AC = 2OA = 10cm
然后，在RtABC中：根据勾股定理BC=
已知AB = 5cm，AC = 10cm，
代入可得：BC=
故选：C.
【分析】本题围绕矩形性质（对角线相等且平分）、等边三角形判定（有一个角为60 ° 的等腰三角形是等边三角形 ）以及勾股定理展开，利用矩形对角线关系得出等边三角形，进而结合勾股定理求边.
13．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可得出OA=OB=4，再根据∠AOB=60°，可得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出AB=4。
14．【答案】C
【知识点】矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC=OB=OD
∴，
在与中，根据等底同高的三角形面积相等可知
∴
∴
故答案为：C.
【分析】易证，，再根据等底同高三角形的面积相等关系可知这四个三角形的面积都相等且为2，故可求矩形ABCD 面积为8.
15．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；求正切值
16．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；切线长定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连结 PC，BE，CE，PC 与BE 交于点 G.
∵ 四边形 ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，即AB⊥BC.
∵ BC 是扇形 BCH 的半径，
∴ PB 是扇形 BCH 的切线.
∵ PE 是扇形BCH 的切线，
∴ PB=PE.
∵ BC=CE，
∴ PC 垂直平分BE.
∴∠BGC = 90°.
∴ ∠BCG +∠CBG=90°，
∴∠ABC=90°，
∴∠PBG+∠CBG=90°.
∴∠ABE=∠BCP.
∵ P 是AB的中点，
∴ AP=PB=4.
∴ AP=BP=PE.
∴∠PAE=∠AEP，∠PBE=∠PEB.
∴ ∠BAE+∠ABE =90°.
∵∠BAE+∠DAF=90°，
∴ ∠DAF=∠ABE=∠BCP.
∴ tan ∠DAF =
故答案为：D.
【分析】先利用切线长定理得到线段相等关系，再通过角度转换将∠DAF转化为与∠BCP相等的角，最后在直角三角形中计算正切值.
17．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
，，
，，
设，则，，
在中，
即，
解得，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：C．
【分析】根据折叠得到，设，则，即可得到，在中可得，求得，即可得到长，然后利用，即可得到，解得，然后再在中，根据勾股定理解题即可．
18．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；求正切值
19．【答案】A
【知识点】矩形的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，
∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°-30°=30°，
∴OF=CF，
又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=，
∴OF=tan30°×BO=1，
∴CF=1，
故选：A．
【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形的运用.先利用角的运算可得∠EDO=30°，∠DEO=60°，再利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，根据等边对等角可得：∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，利用角的运算可得：∠FOC=60°-30°=30°，据此可得OF=CF，在t△BOF中，利用正切的定义可求出OF的长，进而可求出CF的长．
20．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；反比例函数-动态几何问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，如图所示：
由题意得∠DHA=∠DGC=∠BFA=90°
在Rt DHA中，∠DHA=30°，AD=4，
∴DH=
AH=
∵E为AD的中点，
∴AE= ，
∴OE= ，
∴OA= ，
OH=HA-OA= ，
又四边形DHOG为矩形，
∴DG=HO= ，
∵AE∥BC，
∴∠AEO=∠BCG=60°，
∴∠DCG=90°-60°=30°，
∴∠CDG=90°-30°=60°
又∵∠BAF=90°-∠EAO=90°-30°=60°，
∵矩形ABCD中，AB=AC，
在△DGC和△AFB中， ，
∴△DGC △AFB，
∴DG=AF= ，
在Rt AFB中，
∵tan∠BAF= ，
∴BF=AFtan30°= ，
∴OF=OA+AF=2 ，
BF=3，
∴
将代入y=
得k= ，
故答案为：D
【分析】过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，由题意得∠DHA=∠DGC=∠BFA=90°，再根据含30°角的直角三角形的性质得到DH= ，根据勾股定理即可求出AH，再求出OA，从而根据三角形全等的判定与性质证明△DGC △AFB（AAS）即可得到DG=AF= ，根据正切函数结合题意即可求出BF，从而得到OF即可得到点B的坐标，再运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式。
1 / 1【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第9~10题
一、原题9
1．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率；圆的面积
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
二、变式1基础
2．（2025九上·江北期末）如图，弓形的弓高 为 1 ，弦长 为 ，则此弓形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：令扇形所在圆的半径为r，
则
因为 于点D，且
所以
在 中，
解得
所以
所以
所以
又因为
所以
所以
又因为 ，
所以
故答案为： B.
【分析】先利用垂径定理及勾股定理求出半径，再分别求出扇形OAB及 的面积即可解决问题.
3． 如图5，正方形 ABCD 的边长为3，以点 A为圆心，AB长为半径作弧，交DA 的延长线于点 E，连结CE，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，设AB、CE的交点为F，
∵四边形ABCD是正方形，正方形边长为3，
∴AB=BC=3，∠CBA=∠BAD=90°，
∵AB=AE，∠BAE=90°，
∴BC=AE，∠CBA=∠BAE，∠BFC=∠AFE
∴△BCF≌△AEF，
∴阴影部分的面积=扇形BAE的面积=．
故选：D．
【分析】利用正方形的性质易证△BCF≌△AEF，等积变形，即可得到阴影部分的面积=扇形BAE的面积，根据扇形面积公式计算即可.
4．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB 为1米，则淤泥横截面的面积 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过O点做OH⊥AB，
由垂径定理得，AH=HB=0.5，
圆的直径为2，则半径OB=1，
∵∠OHB=90°，且，
∴∠HOB=30°，∠AOB=60°，OH=，
∴S△OAB=12AB×OH=34 ，
∴阴影部分面积=，
故答案为：A.
【分析】作OH⊥AB，根据垂径定理得HB=0.5，由边HB和OB推出△OHB为含30°的直角三角形，从而∠AOB=60度，可求扇形OAB和△OAB的面积，最后相减即可得到阴影部分面积.
三、变式2巩固
5． 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是AO 的中点.过点 C 作CE⊥AO交. 于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点 D.在扇形内随机选取一点 P，则点 P 落在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：
四边形EDOC是矩形
、
故答案为：B.
【分析】由三个角是直角的四边形是矩形得四边形OCED是矩形，则与全等，即阴影部分面积等于扇形EOB的面积，再由矩形的性质知ED等于OC等于半径的一半，则解可得，则扇形BOE是扇形AOB面积的三分之一.
6．（2025九上·合江期末）如图，正方形的边长为2，分别以、为圆心，正方形的边长为半径画弧，在正方形中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；几何概率
7．（2022·高唐模拟）如图，中，，点分别是边的中点依次以为圆心长为半径画弧得到．若在区域随机任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】设AB=BC=AC=2x，AD=x，
是等边三角形
故答案为：A．
【分析】先利用扇形面积公式求出阴影部分的面积，求出三角形的面积，最后利用几何概率公式求解即可。
四、变式3提高
8．（2024·河东模拟）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；几何概率
9．（2025九上·牟平期末）如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率
10．（2024九上·高阳期末）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；几何概率
【解析】【解答】解：如图，连接PA、PB、过点P作OP⊥AB于点O，
则S半圆O=，S△ABP=×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为，
故选：A．
【分析】连接PA、PB、过点P作OP⊥AB于点O，先求出半圆O和△ABP的面积，再求出阴影部分的面积，再利用概率公式即可求出米粒落在阴影部分的概率.
五、原题10
11．（2025·广东） 如图， 在矩形ABCD中， E， F是BC边上的三等分点， 连接DE， AF相交于点G， 连接CG. 若AB=8， BC=12， 则tan∠GCF的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建系，得各点坐标：B(0，0)，C(12，0)，A(0，8)，D(12，8)，E(4，0)，F(8，0)
直线AF：代入A(0，8)、F(8，0)，得y = -x + 8
直线DE：代入D(12，8)、E(4，0)，得y = x - 4
联立两方程式得G（6，2）
过G作GH⊥BC于H，GH = 2，CH = 6，由tan∠GCF = ，得tan∠GCF=.
故答案为：B.
【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标求出直线解析式，进而得到点G坐标，最后根据三角函数的定义求解tan∠GCF的值。
六、变式1（基础）
12．（2025·深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于点O，∠AOD=2∠AOB=120°，则BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：首先，因为四边形ABCD是矩形：矩形的对角线相等且互相平分，
所以OA = OB = OC = OD，
已知 ∠AOB=60° ， ∠AOD=120（因为AOD = 2AOB)
又因为OA = OB且AOB = 60°，所以 AOB是等边三角形
则OA = OB = AB = 5cm，所以AC = 2OA = 10cm
然后，在RtABC中：根据勾股定理BC=
已知AB = 5cm，AC = 10cm，
代入可得：BC=
故选：C.
【分析】本题围绕矩形性质（对角线相等且平分）、等边三角形判定（有一个角为60 ° 的等腰三角形是等边三角形 ）以及勾股定理展开，利用矩形对角线关系得出等边三角形，进而结合勾股定理求边.
13．（2024七下·厦门期末）如图，矩形中，对角线、交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可得出OA=OB=4，再根据∠AOB=60°，可得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出AB=4。
14．（2025八下·雨花期末） 如图，在矩形中，，相交于点.若的面积为2，则矩形的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC=OB=OD
∴，
在与中，根据等底同高的三角形面积相等可知
∴
∴
故答案为：C.
【分析】易证，，再根据等底同高三角形的面积相等关系可知这四个三角形的面积都相等且为2，故可求矩形ABCD 面积为8.
七、变式2（巩固）
15．（2025九下·萧山月考）如图是由正方形和矩形横向拼接而成，连接，，其中交于点G．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；求正切值
16．（第二章整合拔尖之综合素能提升—【拔尖特训】浙教版数学九年级下册课时训练） 如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，以顶点 C 为圆心，BC 的长为半径画. 交CD 于点 H，过 AB 的中点 P 作扇形 BCH的切线 PE，E为切点，连结 AE 并延长交CD 于点F，则 tan∠DAF 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；切线长定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连结 PC，BE，CE，PC 与BE 交于点 G.
∵ 四边形 ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，即AB⊥BC.
∵ BC 是扇形 BCH 的半径，
∴ PB 是扇形 BCH 的切线.
∵ PE 是扇形BCH 的切线，
∴ PB=PE.
∵ BC=CE，
∴ PC 垂直平分BE.
∴∠BGC = 90°.
∴ ∠BCG +∠CBG=90°，
∴∠ABC=90°，
∴∠PBG+∠CBG=90°.
∴∠ABE=∠BCP.
∵ P 是AB的中点，
∴ AP=PB=4.
∴ AP=BP=PE.
∴∠PAE=∠AEP，∠PBE=∠PEB.
∴ ∠BAE+∠ABE =90°.
∵∠BAE+∠DAF=90°，
∴ ∠DAF=∠ABE=∠BCP.
∴ tan ∠DAF =
故答案为：D.
【分析】先利用切线长定理得到线段相等关系，再通过角度转换将∠DAF转化为与∠BCP相等的角，最后在直角三角形中计算正切值.
17．（2024·宁波模拟）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
，，
，，
设，则，，
在中，
即，
解得，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：C．
【分析】根据折叠得到，设，则，即可得到，在中可得，求得，即可得到长，然后利用，即可得到，解得，然后再在中，根据勾股定理解题即可．
八、变式3（提高）
18．（2023·舟山模拟）如图，将矩形沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；求正切值
19．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交于两点．若，则的长度为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，
∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°-30°=30°，
∴OF=CF，
又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=，
∴OF=tan30°×BO=1，
∴CF=1，
故选：A．
【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形的运用.先利用角的运算可得∠EDO=30°，∠DEO=60°，再利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，根据等边对等角可得：∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，利用角的运算可得：∠FOC=60°-30°=30°，据此可得OF=CF，在t△BOF中，利用正切的定义可求出OF的长，进而可求出CF的长．
20． 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 的顶点 分别在 轴、 轴的正半轴上， 已知边 的中点 在 轴上， 且 ．若反比例函数 的图象经过点 ， 则 的值为 (　　)
A． B．8 C．6 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；反比例函数-动态几何问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，如图所示：
由题意得∠DHA=∠DGC=∠BFA=90°
在Rt DHA中，∠DHA=30°，AD=4，
∴DH=
AH=
∵E为AD的中点，
∴AE= ，
∴OE= ，
∴OA= ，
OH=HA-OA= ，
又四边形DHOG为矩形，
∴DG=HO= ，
∵AE∥BC，
∴∠AEO=∠BCG=60°，
∴∠DCG=90°-60°=30°，
∴∠CDG=90°-30°=60°
又∵∠BAF=90°-∠EAO=90°-30°=60°，
∵矩形ABCD中，AB=AC，
在△DGC和△AFB中， ，
∴△DGC △AFB，
∴DG=AF= ，
在Rt AFB中，
∵tan∠BAF= ，
∴BF=AFtan30°= ，
∴OF=OA+AF=2 ，
BF=3，
∴
将代入y=
得k= ，
故答案为：D
【分析】过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，由题意得∠DHA=∠DGC=∠BFA=90°，再根据含30°角的直角三角形的性质得到DH= ，根据勾股定理即可求出AH，再求出OA，从而根据三角形全等的判定与性质证明△DGC △AFB（AAS）即可得到DG=AF= ，根据正切函数结合题意即可求出BF，从而得到OF即可得到点B的坐标，再运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式。
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