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【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第11~12题
一、原题11
1．（2024八下·罗湖期中）因式分解：a2b+ab2=　 　
【答案】ab(a+b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b+ab2=ab a+ab b=ab（a+b），
故答案为：ab（a+b）.
【分析】直接提取公因式ab，即可求解.
二、变式1基础
2．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册4.2提取公因式 同步练习---基础篇）因式分解：x2+2x=　 　
【答案】x（x+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x（x+2），
故答案为：x（x+2）．
【分析】直接利用提公因式法分解即可。
3．（2025九下·萧山开学考）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
4．（2025七下·莲都期末） 因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可.
三、变式2巩固
5．（2025七下·余姚期末）因式分解：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】本题是一个多项式因式分解问题，涉及两项的差，其中一项是立方项，另一项是线性与平方的乘积。关键在于提取公因式后，剩余部分是否可继续分解。
6．（2018·温州模拟）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
7．（2025七下·杭州月考）分解因式：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式进行分解，确保分解彻底.
四、变式3提高
8．（2025七下·杭州期末） 因式分解：　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解
∴
故答案为：.
【分析】将多项式因式分解时，先观察各项是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再观察剩余部分是否满足乘法公式。
9．（2025·柯桥模拟）因式分解：ab3+4ab﹣4ab2＝　 　．
【答案】ab（b﹣2）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解.
10．（2025·嘉兴模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】先提公因式m，然后根据完全平方公式因式分解解题．
五、原题12
11．（2025·广东） 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是　 　.
【答案】1：3
【知识点】坐标与图形性质；相似比
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中， △AOB 与 △COD ，OB和OD是对应边；
由图可知OB = 2，OD = 6；
相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比===.
故答案为：1：3 .
【分析】通过坐标系确定 △AOB 与 △COD 对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。
六、变式1（基础）
12．（2025九上·宝安开学考）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵的坐标分别为，
∴，，
∴，
∵四边形ABCD是 菱形 ，
∴，
在中，.
∴点C的坐标是.
故答案为：.
【分析】根据的坐标分别为得，，根据菱形性质得，在根据勾股定理得，即可求得点C的坐标.
13．已知等边△ABC 的边长为2，以BC的中点为原点，BC 所在的直线为x轴，则点A 的坐标为　 　.
【答案】(0，)或(
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示，因为△ABC为等边三角形，O为 BC 的中点，所以 在Rt△ABO 中， 所以 所以点 A 的坐标为(0， )或
故答案为：(0，)或( .
【分析】根据题意作出图形，有点A在BC的上方和下方两种情况，求出A到BC的距离，即可求出点A的坐标.
14．（2025七下·中山期末）已知点O（0，0），A（2，2），点B在x轴正半轴上，且三角形AOB的面积等于3，则点B的坐标是　 　.
【答案】（3，0）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点B得坐标为（x，0）（x＞0），
∵ 点O（0，0），A（2，2），
∴OB边上的高为2，
∵ 三角形AOB的面积等于3，
∴，
∴x=3，
∴点B的坐标为：（3，0）。
故答案为：（3，0）.
【分析】设点B得坐标为（x，0）（x＞0），根据点O和点A的坐标，可得出 三角形AOB 的OB边上的高为2，进而根据三角形面积计算公式，列出等式，进而可求得x的值，进一步即可得出点B的坐标。
七、变式2（巩固）
15．（2024九下·石嘴山月考）如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，过点B， 分别作轴于D，轴于E，
∴．
∵的位似图形是，
∴点B， C， 在一条直线上，
∴，
∴，
，
又，
．
又∵点的横坐标是2，点C的坐标是，
∴，
，
，
∴点B的横坐标为：．
故答案为：．
【分析】过B和B'向x轴引垂线，根据位似图形性质“对应点连线经过位似中心”得点B、C、B'在同一条直线上，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BCD∽△B'CE，根据相似三角形对应边的比等于相似比可得，那么利用相似比和所给B'的横坐标即可求得点B的横坐标．
16．（2020九上·高州期中）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为　 　．
【答案】（2.5，5）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故答案为（2.5，5）．
【分析】根据B点与D点是对应点，可求出位似比为：5：2，利用位似变换的性质即可.
17．（位似变换++++++++++++++++ ）如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA′B′，则顶点B的对应点B′的坐标为　 　．
【答案】（﹣4，﹣6）或（4，6）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2：1，将△OAB放大为△OA′B′，B（2，3），
则顶点B的对应点B′的坐标为（﹣4，﹣6）或（4，6），
故答案为（﹣4，﹣6）或（4，6）．
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．
八、变式3（提高）
18．（2024九上·叶县期末）如图，中三个顶点的坐标分别为、、，为的一条中线，以O为位似中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为　 　．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；坐标与图形变化﹣位似
19．（2021·建湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为　 　.
【答案】（3，2）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解： 正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为 .
，
而 ，
，
， ，
.
故答案为：（3，2）.
【分析】根据位似图形的性质得出，从而得出，求出BC，OB的长，即可得出点C的坐标.
20．（2020·连山模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的对角线相交于点 ，将正方形 以 为位似中心， 为位似比缩小，点 的对应点 的坐标是　 　
【答案】（3，1）或（1，-1）
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中， ，
∴BC=BA=AD=6－2=4，点E为AC的中点
∴点C的坐标为（6，4）
∴点E的坐标为（ ， ）=（4，2）
当正方形 的位似图形和正方形ABCD在点A同一侧时，如下图所示
∵正方形 以 为位似中心， 为位似比缩小，
∴ ：AE=1：2
∴点 为AE的中点
∴此时 的坐标为（ ， ）=（3，1）
当正方形 的位似图形和正方形ABCD在点A两侧时，如下图所示，过点E′作E′F⊥x轴于F，过点E作EG⊥x轴于G
∴AG=EG= =2，OA=2
∵正方形 以 为位似中心， 为位似比缩小，
∴ ：AE=1：2
∴AF：AG= F：EG= ：AE=1：2
∴AF=1， F=1
∴OF=OA－AF=1
∵ 在第四象限
∴点 的坐标为（1，-1）
综上：点 的坐标为（3，1）或（1，-1）
故答案为：（3，1）或（1，-1）.
【分析】先根据正方形的性质和中点公式求出点E的坐标，然后根据位似图形的位置分类讨论，分别画出对应的图形，然后根据位似图形的性质即可求出结论.
1 / 1【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第11~12题
一、原题11
1．（2024八下·罗湖期中）因式分解：a2b+ab2=　 　
二、变式1基础
2．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册4.2提取公因式 同步练习---基础篇）因式分解：x2+2x=　 　
3．（2025九下·萧山开学考）分解因式：　 　．
4．（2025七下·莲都期末） 因式分解：　 　．
三、变式2巩固
5．（2025七下·余姚期末）因式分解：　 　.
6．（2018·温州模拟）分解因式： 　 　．
7．（2025七下·杭州月考）分解因式：　 　.
四、变式3提高
8．（2025七下·杭州期末） 因式分解：　 　
9．（2025·柯桥模拟）因式分解：ab3+4ab﹣4ab2＝　 　．
10．（2025·嘉兴模拟）分解因式：　 　．
五、原题12
11．（2025·广东） 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是　 　.
六、变式1（基础）
12．（2025九上·宝安开学考）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　.
13．已知等边△ABC 的边长为2，以BC的中点为原点，BC 所在的直线为x轴，则点A 的坐标为　 　.
14．（2025七下·中山期末）已知点O（0，0），A（2，2），点B在x轴正半轴上，且三角形AOB的面积等于3，则点B的坐标是　 　.
七、变式2（巩固）
15．（2024九下·石嘴山月考）如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是　 　．
16．（2020九上·高州期中）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为　 　．
17．（位似变换++++++++++++++++ ）如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA′B′，则顶点B的对应点B′的坐标为　 　．
八、变式3（提高）
18．（2024九上·叶县期末）如图，中三个顶点的坐标分别为、、，为的一条中线，以O为位似中心，把每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为　 　．
19．（2021·建湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为　 　.
20．（2020·连山模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的对角线相交于点 ，将正方形 以 为位似中心， 为位似比缩小，点 的对应点 的坐标是　 　
答案解析部分
1．【答案】ab(a+b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b+ab2=ab a+ab b=ab（a+b），
故答案为：ab（a+b）.
【分析】直接提取公因式ab，即可求解.
2．【答案】x（x+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x（x+2），
故答案为：x（x+2）．
【分析】直接利用提公因式法分解即可。
3．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
4．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可.
5．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】本题是一个多项式因式分解问题，涉及两项的差，其中一项是立方项，另一项是线性与平方的乘积。关键在于提取公因式后，剩余部分是否可继续分解。
6．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
7．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式进行分解，确保分解彻底.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解
∴
故答案为：.
【分析】将多项式因式分解时，先观察各项是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再观察剩余部分是否满足乘法公式。
9．【答案】ab（b﹣2）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】先提公因式m，然后根据完全平方公式因式分解解题．
11．【答案】1：3
【知识点】坐标与图形性质；相似比
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中， △AOB 与 △COD ，OB和OD是对应边；
由图可知OB = 2，OD = 6；
相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比===.
故答案为：1：3 .
【分析】通过坐标系确定 △AOB 与 △COD 对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。
12．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵的坐标分别为，
∴，，
∴，
∵四边形ABCD是 菱形 ，
∴，
在中，.
∴点C的坐标是.
故答案为：.
【分析】根据的坐标分别为得，，根据菱形性质得，在根据勾股定理得，即可求得点C的坐标.
13．【答案】(0，)或(
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示，因为△ABC为等边三角形，O为 BC 的中点，所以 在Rt△ABO 中， 所以 所以点 A 的坐标为(0， )或
故答案为：(0，)或( .
【分析】根据题意作出图形，有点A在BC的上方和下方两种情况，求出A到BC的距离，即可求出点A的坐标.
14．【答案】（3，0）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点B得坐标为（x，0）（x＞0），
∵ 点O（0，0），A（2，2），
∴OB边上的高为2，
∵ 三角形AOB的面积等于3，
∴，
∴x=3，
∴点B的坐标为：（3，0）。
故答案为：（3，0）.
【分析】设点B得坐标为（x，0）（x＞0），根据点O和点A的坐标，可得出 三角形AOB 的OB边上的高为2，进而根据三角形面积计算公式，列出等式，进而可求得x的值，进一步即可得出点B的坐标。
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，过点B， 分别作轴于D，轴于E，
∴．
∵的位似图形是，
∴点B， C， 在一条直线上，
∴，
∴，
，
又，
．
又∵点的横坐标是2，点C的坐标是，
∴，
，
，
∴点B的横坐标为：．
故答案为：．
【分析】过B和B'向x轴引垂线，根据位似图形性质“对应点连线经过位似中心”得点B、C、B'在同一条直线上，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BCD∽△B'CE，根据相似三角形对应边的比等于相似比可得，那么利用相似比和所给B'的横坐标即可求得点B的横坐标．
16．【答案】（2.5，5）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故答案为（2.5，5）．
【分析】根据B点与D点是对应点，可求出位似比为：5：2，利用位似变换的性质即可.
17．【答案】（﹣4，﹣6）或（4，6）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2：1，将△OAB放大为△OA′B′，B（2，3），
则顶点B的对应点B′的坐标为（﹣4，﹣6）或（4，6），
故答案为（﹣4，﹣6）或（4，6）．
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．
18．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；坐标与图形变化﹣位似
19．【答案】（3，2）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解： 正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为 .
，
而 ，
，
， ，
.
故答案为：（3，2）.
【分析】根据位似图形的性质得出，从而得出，求出BC，OB的长，即可得出点C的坐标.
20．【答案】（3，1）或（1，-1）
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中， ，
∴BC=BA=AD=6－2=4，点E为AC的中点
∴点C的坐标为（6，4）
∴点E的坐标为（ ， ）=（4，2）
当正方形 的位似图形和正方形ABCD在点A同一侧时，如下图所示
∵正方形 以 为位似中心， 为位似比缩小，
∴ ：AE=1：2
∴点 为AE的中点
∴此时 的坐标为（ ， ）=（3，1）
当正方形 的位似图形和正方形ABCD在点A两侧时，如下图所示，过点E′作E′F⊥x轴于F，过点E作EG⊥x轴于G
∴AG=EG= =2，OA=2
∵正方形 以 为位似中心， 为位似比缩小，
∴ ：AE=1：2
∴AF：AG= F：EG= ：AE=1：2
∴AF=1， F=1
∴OF=OA－AF=1
∵ 在第四象限
∴点 的坐标为（1，-1）
综上：点 的坐标为（3，1）或（1，-1）
故答案为：（3，1）或（1，-1）.
【分析】先根据正方形的性质和中点公式求出点E的坐标，然后根据位似图形的位置分类讨论，分别画出对应的图形，然后根据位似图形的性质即可求出结论.
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