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【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第13~14题
一、原题13
1．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是　 　.
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
二、变式1基础
2．（2024·海口模拟）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　 　．
【答案】9
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
3．（2025八上·长宁期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：中，a＝1，b＝﹣4，c＝m，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用根的判别式，建立关于m的方程并求得即可得到答案．
4．（2024九下·北京市月考）关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．判别式大于0，方程有两个不同实数根，判别式等于0，方程有一个实数根，判别式小于零，方程没有实数根.
三、变式2巩固
5．（2024·宝丰模拟）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根；以及二次项系数不等于0，即可求出的取值范围．
6．（2024·邹平模拟）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴且，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据方程的根的判别式且，计算即可解答．
7．（2025·凉州模拟）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
∴的取值范围为，
故答案为： ．
【分析】
对于一元二次方程有根的判别式，当时方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；当时方程没有实数根．
四、变式3提高
8．（2023八下·长沙期末）定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，
∴a-b+c=0，
∴b=a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴a=c，
故答案为：a=c
【分析】先根据“蝴蝶”方程的定义结合题意即可得到b=a+c，再根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
9．（2024·南昌模拟）对于实数a、b定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则，得到方程，即可得到，求出k值即可．
10．（2025·娄底模拟）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程，且有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵方程是“湘”方程，
∴，
∴①，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴②，
将①代入②，得，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】根据题目中”湘“方程的定义得①，由一元二次方程根的判别式得②，然后将①代入②求出dd 值，从而得的值，进而得的值.
五、原题14
11．（2025·广东） 计算 的结果是　 　.
【答案】0
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：任何非零数的0次幂都等于1，即a0=1（a≠0）；
∵2≠0；
∴20=1；
∵sin30°=；
∴20-2sin30°=0.
故答案为：0 .
【分析】 通过零指数幂的运算法则（任何非零数的0次幂都等于1）以及特殊角的三角函数值来计算。
六、变式1（基础）
12．（2024九上·长春期中）计算的值等于　 　．
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
13．（2025·广东模拟）　 　
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
14．（2019九上·丰县期末）cos60°＝　 　．
【答案】0.5
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】特殊角的锐角三角函数值求解即可.
cos60°＝0.5．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解。
七、变式2（巩固）
15．（2024九下·北碚开学考）　 　．
【答案】
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】首先根据负整数指数的性质化简，并把30°锐角的余弦值代入原式，然后再进行运算，即可得出答案。
16．（2024九下·天河月考）计算：　 　．
【答案】5
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式==5.
故答案为：5.
【分析】此题考查对特殊三角函数值的记忆，tan60°=.
17．（2024·伊通模拟）计算：　 　．
【答案】2
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：2
【分析】根据零指数幂结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
八、变式3（提高）
18．（2024·市北区模拟）计算：　 　．
【答案】2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
=2
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
19．（2024九上·富裕期中）计算：＝　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
20．（2023·青岛模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算求解即可。
1 / 1【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第13~14题
一、原题13
1．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是　 　.
二、变式1基础
2．（2024·海口模拟）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　 　．
3．（2025八上·长宁期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为　 　．
4．（2024九下·北京市月考）关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是　 　．
三、变式2巩固
5．（2024·宝丰模拟）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
6．（2024·邹平模拟）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是　 　．
7．（2025·凉州模拟）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　 　．
四、变式3提高
8．（2023八下·长沙期末）定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是　 　．
9．（2024·南昌模拟）对于实数a、b定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为　 　．
10．（2025·娄底模拟）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程，且有两个相等的实数根，则　 　．
五、原题14
11．（2025·广东） 计算 的结果是　 　.
六、变式1（基础）
12．（2024九上·长春期中）计算的值等于　 　．
13．（2025·广东模拟）　 　
14．（2019九上·丰县期末）cos60°＝　 　．
七、变式2（巩固）
15．（2024九下·北碚开学考）　 　．
16．（2024九下·天河月考）计算：　 　．
17．（2024·伊通模拟）计算：　 　．
八、变式3（提高）
18．（2024·市北区模拟）计算：　 　．
19．（2024九上·富裕期中）计算：＝　 　．
20．（2023·青岛模拟）计算：　 　．
答案解析部分
1．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
2．【答案】9
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
3．【答案】5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：中，a＝1，b＝﹣4，c＝m，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用根的判别式，建立关于m的方程并求得即可得到答案．
4．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．判别式大于0，方程有两个不同实数根，判别式等于0，方程有一个实数根，判别式小于零，方程没有实数根.
5．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根；以及二次项系数不等于0，即可求出的取值范围．
6．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴且，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据方程的根的判别式且，计算即可解答．
7．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
∴的取值范围为，
故答案为： ．
【分析】
对于一元二次方程有根的判别式，当时方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；当时方程没有实数根．
8．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，
∴a-b+c=0，
∴b=a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴a=c，
故答案为：a=c
【分析】先根据“蝴蝶”方程的定义结合题意即可得到b=a+c，再根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则，得到方程，即可得到，求出k值即可．
10．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵方程是“湘”方程，
∴，
∴①，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴②，
将①代入②，得，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】根据题目中”湘“方程的定义得①，由一元二次方程根的判别式得②，然后将①代入②求出dd 值，从而得的值，进而得的值.
11．【答案】0
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：任何非零数的0次幂都等于1，即a0=1（a≠0）；
∵2≠0；
∴20=1；
∵sin30°=；
∴20-2sin30°=0.
故答案为：0 .
【分析】 通过零指数幂的运算法则（任何非零数的0次幂都等于1）以及特殊角的三角函数值来计算。
12．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
13．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案.
14．【答案】0.5
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】特殊角的锐角三角函数值求解即可.
cos60°＝0.5．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解。
15．【答案】
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】首先根据负整数指数的性质化简，并把30°锐角的余弦值代入原式，然后再进行运算，即可得出答案。
16．【答案】5
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式==5.
故答案为：5.
【分析】此题考查对特殊三角函数值的记忆，tan60°=.
17．【答案】2
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：2
【分析】根据零指数幂结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
18．【答案】2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
=2
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
19．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
20．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算求解即可。
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