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(共24张PPT)
3 平行线的证明
北师大版 八年级上册
第2课时 平行线的性质
回顾思考
1.掌握平行线的性质定理，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补.
2.了解性质定理和判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程.
3.进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力.
复习回顾
根据右图，填空：
① 如果∠1＝∠C，
　那么 ∥ .（ 　　　　　 　 ）
② 如果∠1＝∠B ，
那么 ∥ .（ 　　 　　 　 ）
③ 如果∠2＋∠B＝180°，
　那么 ∥ .（ 　　 ）
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
AB
CD
EC
BD
EC
BD
新课导入
问题：平行线的判定方法有哪些？
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
两直线平行
1.同位角？
2.内错角？
3.同旁内角？
思考：反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系？
知识点一
平行线的性质定理1
问题1：你能作出相关的图形吗？
证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
问题3：你能说说证明的思路吗？
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过M点作直线GH，使∠EMH =∠2，如图所示.
G
H
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.
问题3：你能说说证明的思路吗？
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
G
H
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
反证法
提出与结论相反的假设
将假设作为条件，通过推论导出矛盾
假设不成立，从而肯定原命题成立
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
①文字简述：两直线平行，同位角相等.
②符号语言：
如图，AB∥CD（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
A
C
E
2
1
B
F
D
M
N
知识点二
平行线的性质定理2
已知：如图，直线 l1∥l2，∠1和∠2是直线 l1 ， l2 被直线 l 截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
l1
l2
l
1
2
3
证明：∵ l1∥l2（已知），
∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
∴ ∠1=∠2（等量代换）.
又∵ ∠2=∠3（对顶角相等），
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
①文字简述：两直线平行，内错角相等.
②符号语言：
如图，l1∥l2（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
l1
l2
l
1
2
知识点三
平行线的性质定理3
l1
l2
l
1
2
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
①文字简述：两直线平行，同旁内角互补.
②符号语言：
如图，l1∥l2（已知），
∴∠1+∠2=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
请同学们课后自行证明
知识点四
平行线的性质定理4
例 已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线 d 截出的同位角.
求证：b∥c.
a
c
d
1
2
b
3
证明：∵b∥a（已知），
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵c∥a（已知），
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠3（等量代换）.
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
定理 平行于同一条直线的两条直线平行.
a
c
b
符号语言：
如图，b∥a，c∥a（已知），
∴ b∥c
（平行于同一条直线的两条直线平行）.
证明命题的一般步骤：
①弄清题设和结论；
②根据题意画出相应的图形；
③根据题设和结论写出已知、求证；
④分析证明思路，写出证明过程.
平行线的判定和性质的联系和区别
角的数量关系
线的位置关系
判定
性质
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
条件
结论
结论
条件
判定
性质
平行线的判定定理与性质定理互为逆命题
（1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？
（2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？
回顾·反思
随堂练习
1.如图，CD//AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF 的度数是（ ）
A.20° B.25° C.30° D.35°
D
2.如图，如果∠1=∠3，∠2= 60°，那么，∠4的度数为（ ）
A.60° B.100°
C.120° D.130°
C
3.如图，AB//CD，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线交于点 E，则∠1+∠2= .
90°
4.如图，在 ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由.
解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴DF//EC .
∴∠BDF=∠1， ∠EDF=∠3.
∵ED//AC， ∴∠3=∠2 ，
∴∠EDF=∠2.
又CE平分∠ACB ，
∴∠1=∠2 ，
∴∠BDF=∠EDF.
5.请你完成定理“两直线平行，同旁内角互补”的证明.
已知：如图，直线 l1∥l2，∠1和∠2是直线 l1 ， l2 被直线 l 截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：
∵ l1∥l2（已知），
∴ ∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1+∠3=180°（平角定义），
∴ ∠1+∠2=180°（等量代换）.
【选自教材P193 随堂练习】
课堂小结
平行线的性质
性质定理
命题证明步骤
两直线平行，同位角相等
根据题意画出图形
根据题意写出已知及求证
写出证明过程
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行于同一条直线的两条直线平行
课后作业
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册中本课时的习题.

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