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本章归纳总结
北师大版 八年级上册
学习目标
1.了解命题的概念与命题的结构.
2.进一步熟练掌握平行线的性质定理与判定定理、三角形内角和定理及三角形外角定理等推论.
3.体会证明的必要性，发展推理能力.
4.掌握证明的过程与书写格式.
知识构架
证明
命题
分类
结构
条件
结论
真命题
假命题
定理
推论
公理
反例
证明
应用
平行线
判定
性质
考点一
定义与命题
定义与命题
定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定
命题
定义：_____一件事情的句子
组成：由_____和_____两部分组成
形式：“如果……那么……”的形式
分类
______
______
判断
条件
结论
真命题
假命题
定理与证明
公理：公认的_______称为公理
定理：经过_____的真命题称为定理
证明
概念：________的过程称为证明
真命题的证明
形式：因为……所以……
依据：定义、基本事实、定理、推论等
假命题的证明：______
真命题
证明
演绎推理
举反例
符合命题条件，但不符合命题结论的例子
例1 下列语句不是命题的是（ ）
A．三角形的内角和是180°
B．角是几何图形
C．对顶角相等吗
D．两个锐角的和是一个直角
C
疑问句不是命题
【归纳】不是命题的形式：疑问句；感叹句；祈使句.
例2 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A.a=3，b=2 B.a=-3，b=2
C.a=3，b=-1 D.a=-1，b=3
举反例
a2＞b2，a≤b
a＞b
a＞b
a2＜b2
B
考点二
平行线的判定与性质
平行线的判定定理
平行线的性质定理
两直线平行，同位角相等
∵a∥b，∴∠1=∠2
两直线平行，内错角相等
∵a∥b，∴∠3=∠2
两直线平行，同旁内角互补
∵a∥b，∴∠2+∠4=180°
同位角相等，两直线平行∵∠1=∠2，∴a∥b
内错角相等，两直线平行
∵∠3=∠2，∴a∥b
同旁内角互补，两直线平行
∵∠2+∠4=180°，∴a∥b
互逆
例3 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（ ）
D
A.∠3=∠C
B.∠1+∠4=180°
C.∠1=∠AFE
D.∠1+∠2=180°
同位角相等，DE∥AC
同旁内角互补，DE∥AC
内错角相等，DE∥AC
同旁内角互补，EF∥BC
例4 如图，AB∥CD，∠C=110°，∠B=120°，则∠BEC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
C
分析：过点E作EF∥AB
1
2
F
EF∥AB∥CD
∠B+∠1=180°，∠C+∠2=180°
∠B+∠BEC+∠C=360°
例5 如图，直线AB∥ED. 求证：∠B+∠D=∠BCD.
证法一：如图，过点 C 作 CF∥AB .
∴∠ B =∠ BCF
（两直线平行，内错角相等）
∵ AB∥ED （已知） ,
∴ ED∥CF
（平行于同一直线的两条直线互相平行） ,
∴∠ D =∠ FCD
（两直线平行，内错角相等） ,
∴∠ BCF +∠ FCD =∠ B +∠ D
（等式性质） ,
即∠ BCD =∠ B +∠ D.
F
例5 如图，直线AB∥ED. 求证：∠B+∠D=∠BCD.
证法二：如图，延长 BC 交 DE 于点 G.
∵ AB∥DE （已知） ,
∴∠ B =∠ CGD
（两直线平行，内错角相等） .
∵∠ BCD 是△ CDG 的一个外角
（外角定义） ,
∴∠ BCD =∠ CGD +∠ D
（三角形的外角定理 1 ） ,
∴∠ BCD =∠ B +∠ D （等量代换）
G
随堂演练
1.如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（　　）
A．105° B．90°
C．75° D．60°
C
2．下列命题中是真命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．钝角三角形的两个锐角互余
C．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b
D．若实数a，b满足a<0，b>0，则ab>0
A
3．下列命题是假命题的是（ ）
A. 正比例函数的图象一定经过原点
B. 直角三角形的两锐角互余
C. x轴上的点的横坐标均为0
D. 两直线平行，同位角相等
C
4. 在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色.
小雅说：“红色球在我手上”；
小培说：“红色球不在我手上”；
小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”.
三个同学只有一个说对了，则红色球在______的手上。
小培
5. 如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠A″EF=105°，则∠CFE=__________°.
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6. 如图，已知DC∥AB，E，F分别在DC，AB的延长线上，∠DCB= ∠DAB，∠AGB=30°，∠AFE=60°，AE平分∠DAB.
（1）AD是否平行于BC？并说明理由；
（2）试说明：AE⊥EF.
解：（1）AD∥BC. 理由如下：
∵DC∥AB，∴∠DCB+∠ABC=180°.
∵∠DCB=∠DAB，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC.
（2）∵AE平分∠DAB，∴∠EAF=∠DAB.
∵∠AGB=30°，∴ ∠DAB+∠ABC=180°－30°=150°.
又∵∠DAB+∠ABC=180°，
∴ ∠DAB=30°，即∠EAF=30°，
∴∠AEF=180°－∠EAF-∠AFE=90°，
即AE⊥EF.
课后作业
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册中本课时的习题.

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