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高三数学
（时间：120分钟　分值：150分）　
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知集合A={x|x2-2x-8>0},则 RA等于 (　　)
A.[-4,2] B.(-4,2)
C.(-2,4) D.[-2,4]
2.已知p:x+y>3,q:x>1且y>2,则q是p的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数y=sin x+的图象大致是 (　　)
4.我国古代某数学著作中记载:“今有宛田,下周八步,径四步,问为田几何 ”译成现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长8步,其所在圆的直径是4步,则这块田的面积是 (　　)
A.8平方步 B.6平方步
C.4平方步 D.16平方步
5.已知a=log23,b=,c=20.4,则下列结论正确的是 (　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>b>c
6.已知α∈,则等于 (　　)
A.sin B.cos
C.-sin D.-cos
7.记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
8.已知奇函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x-1),则关于x的不等式g(x-3)+g(2x-7)>0的解集为 (　　)
A.(4,+∞) B.(-∞,4)
C.(4,5) D.(4,3)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知a,b,c,d均为实数,下列不等关系推导不成立的是 (　　)
A.若a>b,cb+d
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若a>b>0,c>d>0,则>
D.若bc-ad>0,->0,则ab<0
10.下列关于函数f(x)=tan的说法不正确的是 (　　)
A.在区间上单调递减
B.最小正周期是π
C.为非奇非偶函数
D.图象关于点中心对称
11.下列说法正确的是 (　　)
A.若x<1,则函数y=x+的最小值为3
B.若x+2y=2,则函数2x+4y的最小值为4
C.函数y=+的最小值为3+2
D.若x,y>0,且x+y+xy=2,则2x+y的最小值为2-3
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.函数f(x)=sin x-cos x+1的最小值为　　　　.
13.设函数f(x)=x3cos x+1,若f(2 023)=-2 022,则f(-2 023)=　　　　.
14.已知函数f(x)=则f=　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分)
15.(13分)已知集合A={x|1(1)当m=-1时,求A∪B;(5分)
(2)若B A,求实数m的取值范围.(8分)
16.(15分)(1)计算:+lg 5++lg 2+sin+tan+cos;(7分)
(2)若tan θ=2,求+的值.(8分)
17.(15分)已知函数f(x)=sin(x∈R).
(1)填写下表,并用“五点法”画出f(x)在[0,π]上的图象;(6分)
2x+
x 0 π
f(x)
(2)将y=f(x)的图象向上平移1个单位长度,横坐标缩短为原来的,再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后,得到g(x)的图象,求g(x)图象的对称轴方程.(9分)
18.(17分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的年收益f(x)与投资额x成正比,其关系如图1;投资股票等风险型产品的年收益g(x)与投资额x的算术平方根成正比,其关系如图2.
(1)分别写出两种产品的年收益f(x)和g(x)的函数关系式;(7分)
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,怎么分配资金能使投资获得最大年收益,其最大年收益是多少万元 (10分)
19.(17分)已知函数f(x)=log3+kx(k∈R)为偶函数.
(1)求k的值;(7分)
(2)若函数g(x)=+m·9x-1,x∈,是否存在实数m,使得g(x)的最小值为0,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.(10分)
参考答案
1.D　2.A　3.A　4.A　5.C
6.A　[∵α∈，
∴∈，∴sin>0，
∴=
==sin.]
7.A　[因为所以<<π，解得2<ω<3.
因为y=f(x)的图象关于点中心对称，
所以b=2，且sin=0，
所以ω+=kπ(k∈Z)，
即ω=-+k(k∈Z)，
令k=4，得ω=，
所以f(x)=sin+2，
所以f=sin+2=sin +2=1.]
8.A　[由已知可得g(x-3)=f(x-4)，g(2x-7)=f(2x-8)，
由g(x-3)+g(2x-7)>0可得，
f(x-4)+f(2x-8)>0，
因为奇函数f(x)是R上的增函数，
则f(2x-8)>-f(x-4)
=f(4-x)，
所以2x-8>4-x，解得x>4.]
9.ABD　[对于A，若a=2，b=1，c=-2，d=-1，
则a+c=b+d=0，所以A错误；
对于B，若a=2，b=1，c=-1，d=-2，则ac=bd=-2，所以B错误；
对于C，因为c>d>0，所以>>0，即>>0，因为a>b>0，所以>>0，所以>>0，所以C正确；
对于D，若a=1，b=2，c=2，d=1，满足bc-ad>0，->0，而此时ab=2>0，所以D错误.]
10.AB　[选项A，由x∈，得2x+∈，则函数f(x)=tan在区间上单调递增，故A错误；
选项B，函数f(x)=tan的最小正周期是，故B错误；
选项C，f(x)为非奇非偶函数，故C正确；
选项D，当x=-时，f(x)=tan 0=0，故f(x)关于点中心对称，故D正确.]
11.BCD　[对于A，x<1 x-1<0
y=x+
=x-1++1≤-2+1=-1，
当且仅当x-1=，即x=0时取等号，所以函数的最大值为-1，故A错误；
对于B，2x+4y≥2
=2=4，
当且仅当x=1，y=时取等号，所以=4，故B正确；
对于C，y=+=·=3++≥3+2，
当且仅当tan2x=时取等号，
故ymin=3+2，故C正确；
对于D，x+y+xy=2 y= 2x+y=2x+=2+-3≥2-3，
当且仅当x=-1，y=-1时取等号，
所以=2-3，故D正确.]
12.1-　13.2 024
14.　3+
解析　由题意知f=-+2=，
则f
=f=+-1
=+-1=.
作出函数f(x)的大致图象，如图所示，
结合图象，令-x2+2=1，
解得x=±1；
令x+-1=3，解得x=2±，
又x>1，所以x=2+，
所以(b-a)max=2+-(-1)
=3+.
15.解　(1)当m=-1时，
B={x|-2所以A∪B={x|-2(2)因为B A，
所以当B= 时，2m≥1-m，
解得m≥，
满足B A；
当B≠ 时，若满足B A，
则该不等式无解，
综上，若B A，
则实数m的取值范围是.
16.解　(1)原式=++lg 5+lg 2+sin+tan+cos
=++1+sin+tan+cos
=4++1+=6.
(2)因为tan θ=2，所以
+
=+
=+=
==
=2+=2+=.
17.解　(1)由题意可得表格如下，
2x+ π 2π
x 0 π
f(x) 0 - 0
可得图象如图所示.
(2)将y=f(x)的图象向上平移1个单位长度得到y=sin+1的图象，再将横坐标缩短为原来的可得到y=sin+1的图象，再向右平移个单位长度可得y=sin+1
=sin+1的图象，
即g(x)=sin+1，
令4x-=+kπ，k∈Z，
解得x=+，k∈Z，
所以g(x)图象的对称轴方程是x=+，k∈Z.
18.解　(1)由题意可设f(x)=mx，
g(x)=n，
由图知，函数f(x)和g(x)的图象分别过点
(1，0.125)和(1，0.5)，
代入解析式可得m=0.125，n=0.5，
所以f(x)=0.125x，g(x)=0.5.
(2)设用于投资稳健型产品的资金为x 万元，用于投资风险型产品的资金为(20-x)万元，年收益为y 万元，
则y=0.125x+0.5
=(x+4)，x∈[0，20]，
令t=，
则y=-(t2-4t-20)
=-[(t-2)2-24]，t∈[0，2]，
当t=2，即x=16时，ymax=3，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，投资风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
19.解　(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(x)=f(-x)，即log3(3x+1)+kx=log3(3-x+1)-kx，
所以log3=-2kx，
即x=-2kx对一切x∈R恒成立，
所以k=-.
(2)由(1)知，g(x)=3x+m·9x，x∈，
令t=3x∈[1，5]，则h(t)=mt2+t.
①当m=0时，h(t)=t在[1，5]上单调递增，
故h(t)min=h=1，不符合题意；
②当m>0时，h(t)图象的对称轴为t=-<0，则h(t)在[1，5]上单调递增，
故h(t)min=h(1)=m+1>1，不符合题意；
③当m<0时，h(t)图象的对称轴为t=->0.
(ⅰ)当-<3，即m<-时，h(t)min=h(5)=25m+5，令h(t)min=0，解得m=-，符合题意；
(ⅱ)当-≥3，即-≤m<0时，h(t)min=h(1)=m+1，令h(t)min=0，解得m=-1(舍).
综上，存在m=-，使得g(x)的最小值为0.

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