资源简介

广州市第一中学2025学年第一学期10月教学质量监测
数学试题
本试卷共4页，满分为 150 分。考试用时120 分钟。
注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号、试室号、座位号填写在答题卡指定位置上。
2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按上以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分 选择题（共 60 分）
单选题：在每题给出的四个选项中，只有一项是最答题意的。本大题共 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1. 1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：因为，，
因此，．
故选：．
2. 如图，是全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示的集合为( )
A. B. C. D.
【答案】B
3. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若B，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；
B. 若，则，所以该选项正确；
C. 若，则，所以该选项错误；
D. 若，则，所以该选项错误.
4.在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解答】
解：，
化简得，即，
．
故选：．
5. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
解：若不等式在上恒成立，
当，原不等式为，与题意不符；
故且判别式，得，
则不等式在上恒成立的一个必要不充分条件应该包含，
则满足条件的是，
故选：．
6. 已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题设，
当且仅当时等号成立，故的最小值为．
故选：．
7. 已知且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：因为且，
所以，且，
，解得
解得，
故选B
8.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解：如下图所示，
依据题意可知：，
肚脐到足底的距离大于腿长，即，，
，所以，
头顶至脖子下端长度为，即，，
，
，，
所以，
综上，．
结合选项可得其身高可能是．
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6分，满分 18 分。
9. 下面选项中正确的有( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“”的充要条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
10.已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】因为，，
所以，，
则，，，
即，，，则；
故AB正确，CD错.
故选：AB.
11. 已知集合，，下列判断正确的是( )
A. B. P
C. D.
【答案】BC
解，
，
第二部分 非选择题（共 92分）
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15分
12.已知集合，，且，则的值为 ．
【答案】
解：因为，所以，解得或，又集合的元素具有互异性，所以
13.若不等式的解集为，则的值为 ．
【答案】
【解答】
解：不等式的解集为，，
即方程的两个根为，
由根与系数的关系，得，，
，，
14．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是 ▲ ．
解：由题可知，不等式有且只有一个整数解，
显然，当时，，解得：，不满足条件；
故，关于的不等式，
即，
当时，不等式即，
得它的解集为：，不满足条件；
当时，不等式即，
由于此时，当且仅当时，等号成立，
可知：当时，不等式无解；
当且时，不等式的解集为，
，即
求得或，
则实数的取值范围．
故答案为：．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
15. 本小题分已知全集，集合，，求：
；
．
【答案】解：由 ，得 ，
所以 ，-------2分
因为 ，
所以 ；--------4分
因为 ，所以 或 ，------7分
因为 ，
所以 ．------------9分
（3）-------11分
--------13分
15题：
整体完成情况良好，主要问题集中在以下几点：
1.集合的描述法没有代表元素，或者没有花括号或者花括号只有一半或者把花括号写成方括号
2.集合描述法中的且，或，逗号分不清，乱用！还有中西结合把或字写成or
3.一道题一会儿用描述法，一会儿用区间表示，有一种炫技的感觉。
4.相当一部分聪明人只有结果，没有过程。
5.不会解一元二次不等式，不会求集合的交并补。
16. 本小题分 已知命题：，命题：．
若是的充分条件，求实数的取值范围；
解：，
由为假命题，得或
故的取值范围为．--------6分
，
若是的充分条件，则，------10分
可得，---------12分
解得．---------14分
实数的取值范围是．-------15分
16题：
整体完成情况较好，主要问题集中在以下几点：
第一问少部分同学一元二次不等式不会解，取补集出错，错误较多的是取等号问题；
第二问谁可以推谁搞不清，导致谁是谁的子集出问题，建立不等式是否可以取等出错较多。
17.本小题分某车站准备建造一间高为3米，底面积为15平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米300元，左右两面新建墙体的报价为每平方米160元，屋顶和地面以及其他报价共计2800元设屋子的左右两面墙的长度均为.
(1)请建立工程队报价y关于的函数关系式；
(2)当左右两面墙的长度为多少米时，工程队的报价最低，最低报价是多少？
【详解】（1）
由题意，保管室前面墙体长,所以工程队报价+2800，
化简得，--------8分（不写定义域扣2分）
（2）
由（1）可知=10000----------12分
当时，即x=时等号成立.---------14分
所以，当左右两面墙的长度为米时报价最低，最低报价是10000元---------15分
17题：
（1）列式错误、没有过程、错误变形（如图）、不写定义域
（2）不会使用基本不等式求最值、求最值运算错误、求x运算错误
18. 本小题分已知．
当时，求的最大值；
当 时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：因为，，，
所以有，………………………4’
当且仅当时，取等号，即且时取等号，………………………6’
所以的最大值为 ………………………………………………7’
因为，所以，………………………9’
而，，
所以
．
， ………………………………………………12’
当且仅当．时取等号，即且时取等号，…………………14’
因此，要想不等式恒成立，
只需成立，即，解得． ……………17’
18题：
18题第二问学生用换元的整体思想，计算正确率会更高一些，不过学生没有计算取等时对应自变量值，扣了两分
19.本小题分已知有限集，，若，则称为“完全集”．
判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
若为“完全集”，且，用列举法表示集合不需要说明理由；
若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于．
【答案】解：
集合，
由完全集的定义：
，
，
故集合为“完全集”；------4分
不妨设，
由于，
所以，
当时，即有，
又为正整数，所以，
于是，
则无解，即不存在满足条件的“完全集”，
当时，，
故只能，，求得，
于是“完全集”只有一个，为，
当时，
由，
即有，
而
，
又，
因此，故矛盾，
所以当时不存在“完全集”，
综上：“完全集”为；--------12分
证明：
若，是两个不同的正数，且是完全集，
设，
根据根和系数的关系知，
，相当于的两个根，
由，解得或舍，
所以．
又因为，都是正数，
若，都不大于，，矛盾，
所以，中至少有一个大于． -------17分
19题分析：
基本上都能理解并准确做出第（1）问，第（2）问基本上能写出结果，但没有学生能证明出来，第（3）问学生能证明出或，但不会用反证法证明结论，只证到这一步给4分。
第（3）问其他的解法如下：
第一种
第2种
第3种广州市第一中学2025学年第一学期10月教学质量监测
数学试题
本试卷共4页，满分为 150 分。考试用时120 分钟。
注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号、试室号、座位号填写在答题卡指定位置上。
2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按上以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分 选择题（共 60 分）
单选题：在每题给出的四个选项中，只有一项是最答题意的。本大题共 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1. 1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 如图，是全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示的集合为( )
A. B. C. D.
3. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若B，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.在上定义运算：，则满足的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
6. 已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 已知且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6分，满分 18 分。
9. 下面选项中正确的有( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“”的充要条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
10.已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
11. 已知集合，，下列判断正确的是( )
A. B. P
C. D.
第二部分 非选择题（共 92分）
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15分
12.已知集合，，且，则的值为 ．
13.若不等式的解集为，则的值为 ．
14．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
15. 本小题分已知全集，集合，，求：
；
．
16. 本小题分 已知命题：，命题：．
若是的充分条件，求实数的取值范围；
17.本小题分某车站准备建造一间高为3米，底面积为15平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米300元，左右两面新建墙体的报价为每平方米160元，屋顶和地面以及其他报价共计2800元设屋子的左右两面墙的长度均为.
(1)请建立工程队报价y关于的函数关系式；
(2)当左右两面墙的长度为多少米时，工程队的报价最低，最低报价是多少？
18. 本小题分已知．
当时，求的最大值；
当 时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分已知有限集，，若，则称为“完全集”．
判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
若为“完全集”，且，用列举法表示集合不需要说明理由；
若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于．

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