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人教版八年级数学上册
第十五章 轴对称
15.1.2 第1课时
线段的垂直平分线的性质
情 境 导 入
15.1.2 第1课时
线段的垂直平分线的性质
如图所示，某快递公司为方便居民收取快递，准备在幸福大道上修建一个快递收发点，请问快递收发点应建在什么地方，才能使居民区A和居民区B到它的距离相等
居民区A
·
居民区B
·
幸福大道
思考
新 课 探 究
15.1.2 第1课时
线段的垂直平分线的性质
思考：如图,直线l垂直平分线段AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点A与点B的距离之间的数量关系.
A
B
l
P1
P2
P3
APi的长 BPi的长
P1
P2
P3
...
猜想：AP=BP
任务一 线段垂直平分线的性质
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新课探究
情境导入
课堂小结
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上．
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB．
P
A
B
l
C
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
归纳
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课堂小结
例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D，
(1)若△BCD的周长为 8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
导引：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD
与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周
长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的
周长．
解： ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
典例精析
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课堂小结
1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
10cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
练一练
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
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课堂小结
3.如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 于E，求△ADE 的周长．
A
B
C
D
E
解：∵ DM为线段AB的垂直平分线，
∴DA =DB．
同理可得EA=EC
∴△ADE的周长=AD+DE+AE
=BD+DE+EC
=BC
=8.
练一练
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课堂小结
尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
A
B
C
D
E
K
已知：直线AB和AB外一点C .
求作：AB的垂线，使它经过点C .
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
F
应用
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课堂小结
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
想一想：
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课堂小结
合作探究
思考：
如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
P
A
B
已知：如图，PA = PB．
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C．
则∠PCA =∠PCB = 90°．
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，
PA = PB，PC = PC，
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC = BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
C
任务二 线段垂直平分线的判定
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课堂小结
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
任务二 线段垂直平分线的判定
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课堂小结
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.
P
A
B
C
l
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课堂小结
应用格式：
∵　AB =AC，MB =MC，
∴　直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
A
B
C
D
M
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.
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课堂小结
例2 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴ OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
典例精析
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例3 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ OA=OB.
同理OB=OC.
∴ OA=OC.
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
典例精析
归纳
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课堂小结
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　）
A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2.在锐角三角形ABC内一点P,满足PA=PB=PC,
则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点
D
练习
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课堂小结
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种.
无数
练习
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课堂小结
5.如图，△ABC中，AB=AC, AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
练习
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课堂小结
6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴
点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
∴
AO=BO.
练习
7.经过线段的　 　且与线段　 　的直线，叫做线段的垂直平分线．

几何语言：
如图，∵CA＝CB，
直线m⊥AB于C，
∴直线m是线段AB的垂直平分线．
　垂直　
　中点　
8．如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是
　 　(填序号)．
①AB⊥MN；②AD＝DB；③MN⊥AB；
④MD＝DN；⑤AB是MN的垂直平分线．
　①②③　
9.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
　 　．

几何语言：
如图，∵CA＝CB，
直线m⊥AB于C，
点P是直线m上的点，
∴PA＝PB．
　相等　
10．(2024青海)如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是　 　．
　13　
11.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
　 　上．
几何语言：
如图，∵PA＝PB，
直线m是线段AB的垂直平分线，
∴点P在直线m上．
　垂直平分线　
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
15.1.2 第1课时
线段的垂直平分线的性质
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新课探究
线段的垂直平分线
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
THANK YOU

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