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人教版八年级数学上册
第十五章 轴对称
15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
情 境 导 入
15.3.1 第1课时
等腰三角形的性质
生活中的数学
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情境导入
新课探究
课堂小结
A
B
C
1.有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
2.相等的两条边叫做腰.
3.另一条边叫做底边.
5.底边与腰的夹角叫做底角.
4.两腰所夹的角叫做顶角.
腰
腰
底边
顶角
底角
等腰三角形的概念
复习
新 课 探 究
15.3.1 第1课时
等腰三角形的性质
　　如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
探究
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情境导入
课堂小结
C
B
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角,填入表中:
重合的角
重合的线段
∠B与∠C
∠BAD与∠CAD
∠BDA与∠CDA
(B)
A
B
D
翻折
BD与CD
AB与AC
AD与AD
1
2
归纳
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情境导入
课堂小结
重合（相等）的线段 重合（相等）的角
　
A
C
B
D
AB=AC
BD=CD
∠B =∠C.
∠BAD=∠CAD
∠BDA =∠CDA
等腰三角形除了两腰相等以外,你还有何发现 小组讨论想想看.
AD=AD
探究
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情境导入
课堂小结
　
2.折痕AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，也是底边BC上的中线还是底边BC上的高.
A
B
C
D
1.等腰三角形的两个底角相等.
2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线，底边上的高互相重合.
如何论证你们的猜想呢？
证明一个命题有哪些步骤呢？
1.等腰△ABC的两个底角∠B＝∠C.
猜想
发现
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课堂小结
已知：在△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的三角形？
1.等腰三角形的两个底角相等.
A
B
C
D
猜想
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课堂小结
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
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课堂小结
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
方法三：作底边上高
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课堂小结
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
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情境导入
课堂小结
性质1：等腰三角形的两个底角相等.
(等边对等角)
符号语言：
在△ABC中
∵ AC=AB（已知）
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
A
B
C
总结归纳
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情境导入
课堂小结
练习1.等腰三角形一个底角为80°,求它的顶角是_____.　　
20 °
变式1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __________________.
变式2.等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_________.
30 °，30 °
70°,40°或55°,55°
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
练一练
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课堂小结
符号语言:
（1）∵ 在△ABC中，AB = AC ，∠BAD = ∠CAD
∴ ⊥ ， = ；
（2）∵在△ABC中， AB = AC，BD = CD
∴ ⊥ ，∴∠ = ∠ ；
（3）∵ 在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC,
∴∠ =∠ ， = .
性质2 ：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（可简记为“三线合一”）
BAD CAD
BAD CAD
AD BC
AD BC
BD CD
BD CD
归纳：知一推二
A
B
D
C
总结归纳
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课堂小结
1.等腰三角形的一个角等于20°,则另外两个内角分别为( )
A.20°、140° B.20°、140°或80°、80°
C.80°、80° D.20°、80°
2.等腰三角形中，AB长是BC长2倍，三角形的周长是40，则AB的长为( )
A.20 B.16 C.20或16 D.18
B
B
练一练
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课堂小结
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
1.图中有哪几个等腰三角形？
A
B
C
D
△ABC △ABD △BDC
2.有哪些相等的角？
∠ABC=∠ACB=∠BDC ∠ A=∠ABD
典例精析
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课堂小结
A
B
C
D
例 解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
归纳
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情境导入
课堂小结
1.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.60°
解：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴∠B=∠C，AD⊥BC.
∵∠B=90°-∠BAD=55°,
∴∠C=55°.
C
练习
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课堂小结
2.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于点E.求证：AE⊥BC.
证明：在△BAD与△CAD中
AB=AC
AD=AD
BD=CD
∴△BAD≌△CAD(SSS)
∴∠BAE=∠CAE
∵AB=AC
∴AE⊥BC
C
D
A
B
E
练习
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情境导入
课堂小结
解：∵AB=AC=CD，
∴∠B=∠C，∠1=∠2．
∵BD=AD，
∴∠B=∠3．
∵∠1=∠B＋∠3，∠B＋∠3＋∠2＋∠C=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
3.如图，在△ABC中，点D在BC上，且有AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各内角的度数．
1
3
2
A
B
C
D
练习
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课堂小结
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
A
B
C
A
B
C
70°或20°
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
练习
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
15.3.1 第1课时
等腰三角形的性质
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课堂小结
新课探究
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
THANK YOU

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