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人教版八年级数学上册
第十五章 轴对称
15.3.1 第2课时 等腰三角形的判定
情 境 导 入
15.3.1 第2课时
等腰三角形的判定
2.等腰三角形都有哪些性质呢？
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）
性质1：等腰三角形的两个底角相等；
（简写成“等边对等角”）
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
既是性质又是判定
性质3：等腰三角形是轴对称图形.
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A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
新 课 探 究
15.3.1 第2课时
等腰三角形的判定
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？
　　证明：过A点作AE⊥BC，垂足为E.
　　在△ABE 和△ACE 中，
∠B =∠C，
∠AEB = ∠AEC = 90°，
AE = AE，
∴ △ABE ≌△ACE(AAS) ．
∴ AB = AC ．
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB=AC．
A
B
C
你还有其他证明方法吗？
E
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课堂小结
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（简写成“等角对等边”）．
A
B
C
符号语言：
∵在△ABC 中，∠B =∠C，
∴AB =AC．
等腰三角形的判定定理：
总结归纳
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例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形.
　　已知：∠CAE 是△ABC 的外角,∠1 =∠2,AD∥BC.　
　求证：AB =AC.
∠2 =∠C
证明：∵AD∥BC ，
∴∠1 =∠B
(两直线平行，内错角相等)
(两直线平行，同位角相等)
∵∠1 =∠2，
∴∠B =∠C．
∴AB =AC
(等角对等边)
典例精析
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1、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
练一练
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2、如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
解：是
由折叠可知，∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
方法总结：平分角+平行=等腰三角形
练一练
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课堂小结
例2. 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
a
h
作法：
1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
N
D
典例精析
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课堂小结
2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
D
1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( )
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3 B．a∶b∶c＝2∶2∶3
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B＋∠C
D
练习
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3.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.
3cm
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为____．
9
练习
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5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 　 B．直角三角形 　
C．等腰三角形 　 D．等边三角形
A
C
练习
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7.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.求证：BC＝CD.
证明：连接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.
练习
8. 等腰三角形的判定
(1)定义：有两边　 　的三角形叫做等腰三角形．
(2)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也　 　．
(简写成“　 　”)
　等角对等边　
　相等　
　相等　
9．下列能断定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝50°，∠B＝80°
C．AB＝AC＝2，BC＝4
D．AB＝3，BC＝7，周长为13
B
10．(人教8上P78、北师8下P9)如图，已知AD平分∠CAE，AD∥BC．求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
已知：　 　；
求作：　 　．
解：如图，△ABC即为所求作．
　△ABC，使AB＝a，AC＝BC，AB边上的高为h　
11．(人教8上P78、北师8下P25)已知等腰三角形底边a及底边上的高h，求作等腰三角形．(不写作法，保留作图痕迹)
　线段a，h　
答案图
课 堂 小 结
15.3.1 第2课时
等腰三角形的判定
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
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等腰三角形的判定
等角对等边
判定
注意是指同一个三角形中
有两个角相等的三角形是等腰三角形
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