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人教版八年级数学上册
第十五章 轴对称
15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
情 境 导 入
15.3.2 第2课时
含30°角的直角三角形的性质
如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的高度BC为6m.你能算出电梯AB的长度吗
B
A
C
30°
生活中的数学
新 课 探 究
15.3.2 第2课时
含30°角的直角三角形的性质
如图，在Rt△ABC中，∠BCA =90°，如果∠A=30°，那么直角边 BC与斜边AB有什么关系呢
C
B
A
30°
活动一：测量 第一次 第二次 第三次
AB
BC
活动二：大胆假设 活动三：结论证明
探究
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新课探究
情境导入
课堂小结
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
分离
拼接
探究
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课堂小结
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
即 BC = CD = BD = AB.
性质：
在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，
∴ BC = AB.
猜想
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课堂小结
证明：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC.
∵∠B = 60°，BE = BC，
∴△BCE 是等边三角形.
∴∠BEC = 60°，BE = EC.
∵∠A = 30°，
∴∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°.
∴ AE = EC.
∴ AE = BE = BC.
∴ AB = AE + BE = 2BC.
证明方法一：截长法
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证明方法二：倍长法
证明：在△ABC 中，
∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，
∴∠B = 60°．
延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD，
则△ABD 是等边三角形．
∴ BC = BD = AB.
A
B
C
D
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课堂小结
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵　在Rt△ABC 中，
　　∠C =90°，∠A =30°，　　
A
B
C
∴　BC = AB．　　
总结归纳
判断下列说法是否正确：
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
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课堂小结
√
练一练
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课堂小结
例1 如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗
B
A
C
30°
解：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，
∴ AB=2BC=12m.
典例精析
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想一想：　图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
例2 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
A
B
C
D
E
典例精析
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课堂小结
例2 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= AB, DE= AD.
∴BC= AB= ×7.4=3.7(cm).
又AD= AB,
∴DE= AD= ×3.7=1.85 (cm).
答：立柱BC的长是3.7cm，DE的长是1.85cm.
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1.已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1: 2: 3,最短边BC=4 cm, 则最长边AB的长是( )
A、5cm B、6 cm C、7cm D、8 cm
D
2.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
A
B
C
D
练习
1
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4. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则
AB =______cm.
A
C
B
8
第4题图
练习
3.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2
C.1.5 D．1
E
C
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5.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，∠A=30°. 求证: AB=4BD.
解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°， ∴BC= AB.
又∠A+∠B=90°，∴∠B=60°.
在Rt△BCD中，∵∠B+∠BCD=90°，
∴∠BCD=90°－∠B=30°.
故BD= BC.
又BC= AB，
则BD= AB，即AB=4BD.
练习
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6. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E 分别为 BC、AC 上的点，且 CD = AE，AD、BE 相交于点 P，BQ⊥AD 于点 Q， 求证：BP = 2PQ.
∴△ADC≌△BEA (SAS).
证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴ AC = BC = AB，∠C =∠BAC = 60°.
∵ CD = AE，
∴∠CAD =∠ABE.
∵∠BAP +∠CAD = 60°，
∴∠BAP +∠ABE = 60°，即∠BPQ = 60°.
又∵ BQ⊥AD，
∴ BP = 2PQ.
∴∠PBQ = 30°.
∴∠BQP = 90°.
练习
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课堂小结
7.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
A
C
B
D
15 °
15 °
20
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
)
∴CD= AC= ×20=10.
在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
归纳
练习
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
15.3.2 第2课时
含30°角的直角三角形的性质
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课堂小结
新课探究
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中
含30°角的直角三角形
THANK YOU

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