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人教版八年级数学上册
第十五章 轴对称
综合与实践 最短路径问题
情 境 导 入
最短路径问题
1. 如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短.
2. 如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC 最短，因为垂线段最短.
3. 三角形的三边关系是？
三角形三边关系：两边之和大于第三边.
复习回顾
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情境导入
新课探究
课堂小结
如图，一位将军从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
抽象成
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
C
生活中的数学
新 课 探 究
最短路径问题
现在假设点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？
A
l
B
C
根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点 C 即为所求.
连接 AB，与直线 l 相交于点 C.
任务一 将军饮马问题
探究
新 课 探 究
最短路径问题
任务一 将军饮马问题
探究
如果点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，又应该如何解决？
能够借助异侧两点的思路来解决同侧问题？
如果将点B“移”到 l 的另一侧 B′ 处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB′ 的长度相等，就可以了！
A
l
利用轴对称，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B′.
B
B′
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新课探究
情境导入
课堂小结
(1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；
(2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求．
A
B
l
B′
C
如何证明？
总结归纳
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新课探究
情境导入
课堂小结
证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与
点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质知
BC = B′C，BC′ = B′C′．
∴ AC + BC = AC + B′C = AB′，
AC′ + BC′ = AC′ + B′C′．
在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′，
∴ AC + BC＜AC′ + BC′，
　 即 AC + BC 最短．
证明
A
B
l
B′
C
C′
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新课探究
情境导入
课堂小结
思考：
“将军饮马”问题解决过程中为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的 C′ 的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
思考：
你还有其他的方法吗？
(1) 作点 A 关于直线 l 的对称点 A′；
(2) 连接 A′B，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求．
A
B
l
A′
C
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新课探究
情境导入
课堂小结
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）
A.转化思想
B.三角形两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角


A
B
l
C
B′
D
练一练
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课堂小结
例 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
典例精析
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新课探究
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课堂小结
如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
B
此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
练一练
归纳
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新课探究
情境导入
课堂小结
如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
A
B
N
M
B
A
任务二 造桥选址问题
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课堂小结
思考：如何把“造桥选址”问题抽象成我们熟知的数学问题？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A
B
a
b


M
N
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课堂小结
B
A
●
●

N
M
N
M
N
M
如图，假定任选位置造桥 MN，连接 AM 和 BN，从 A 到 B 的路径是 AM + MN + BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
桥的宽度是不变的...
探究
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新课探究
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课堂小结
A
B
a
b


M
N
我们只需要将桥的长度减出来，再进行计算就可以了.
假设桥的位置可以改变，比如将桥平移到A或者B.
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新课探究
情境导入
课堂小结
由平移的性质知 AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
如图，平移 A 到 A1，使AA1 等于河宽，连接 A1B 交河岸于N，作桥 MN，此时路径 AM + MN + BN 最短.
B
A
A1
M
N
理由：另任作桥 M1N1，连接 AM1，BN1，A1N1.
N1
M1
AM＋MN＋BN 转化为 AA1＋A1B，而 AM1＋M1N1＋BN1 转化为 AA1＋A1N1＋BN1.
在△A1N1B 中，∵ A1N1＋BN1＞A1B，
∴ AM1＋M1N1＋BN1＞AM＋MN＋BN.
同理，我们也能平移 A 到 A1，使AA1 等于河宽，解决问题
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新课探究
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课堂小结
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
方法归纳
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新课探究
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课堂小结
1.如图，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由.
P
O
A
B
P'
P''
E
F
作法：过点P分别作关于直线OA,OB的对称点P'，P''，连接P'P''分别交直线OA,OB于点E,F，则点E,F即为所求.
练习
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情境导入
课堂小结
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）
A．10 B．15
C．20 D．30
A
练习
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情境导入
课堂小结
3.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
x
y
O
B
A
B'
P
练习
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情境导入
课堂小结
4.如图，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N 四点组成的四边形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由．
M'
N'
E
F
N
O
A
B
M
作法：过点M,N分别作关于直线OA,OB的对称点M' ,N' ，连接M' N' 分别交直线OA,OB于点E,F，则点E,F即为所求.
练习
课 堂 小 结
最短路径问题
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
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课堂小结
新课探究
原理
线段公理和垂线段最短
将军饮马问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
THANK YOU

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