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人教版八年级数学上册
第十七章
因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
情 境 导 入
单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
p(a+b+c)=pa+pb+pc
(a+b)( p+q)=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
复习
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课堂小结
1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
复习
新 课 探 究
计算下列各式:
(1)x(x+1) =__________;(2) (x+1) (x-1) =__________.
x2+x
x2-1
请把下列多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x =__________;(2)x2–1=__________.
x(x+1)
(x+1)(x-1)
上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
探究
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课堂小结
x2-1
因式分解
整式乘法
(x+1)(x-1)
因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
总结归纳
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课堂小结
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝a(a＋1 )　　　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
提示： 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．因为A变形错误，故A错误；因为(x＋1)(x－1)＝ x2－1不是和差化积，而是整式乘法，因此不是因式分解，B错误；因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，因此不是因式分解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念，因此是因式分解，D正确．
练一练
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课堂小结
认真观察等式两边各有什么特点？
如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积？
探究
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课堂小结
由p(a+b+c) = pa+pb+pc可得:pa+pb+pc=p(a+b+c)
这样就把pa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式p,另一个因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以p所得的商.像这种分解因式的方法叫做___________.
它的各项都有一个公共的因式p ,我们把因式p 叫做这个多项式的 _________ .
观察多项式 pa+pb+pc
公因式
提公因式法
归纳
pa+pb+pc=p(a+b+c)
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课堂小结
注意：
(1)因式分解是一种恒等变形，整式乘法是一种运算，故因式分解与整式乘法不是互逆运算，只是方向相反的变形；
(2)因式分解不针对单项式，只针对多项式，而且是针对多项式的整体，而不是部分.因式分解的结果中的每个因式都是整式且不能再分解.
重点：
(1)因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式；
(2)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
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课堂小结
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数
2.找相同字母
3.相同字母的最低指数
公因式为：4ab2
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2 2a2+4ab2 3bc
=4ab2(2a2+3bc)
4
ab
a1b2
典例精析
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课堂小结
小颖解的有误吗？
解：
8a3b2 –12ab3c + ab
= ab·8a b - ab·12b2 c +ab·1
= ab(8a2b - 12b2c).
错误
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1
结果应为:ab(8a2b - 12b2c+1).
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课堂小结
例2 把 2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c)–3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
提公因式法的一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
典例精析
归纳
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课堂小结
2.写出下列多项式各项的公因式.
（1）2ma+mb
（2）4kx－12ky
（3）5y3+25y2
（4）3a2b－2ab2+ab
m
4k
5y2
ab
1.下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　)
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B　
练一练
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课堂小结
3.判断下列式子中哪些是因式分解？
3x+6y=3(x+2y) ;
4m2n3+2mn2=2mn2(2mn+1) ;
(x+2y)2=x2+4xy+4y2 ;
(a+4)(a-4)=a2-16 .
是
是
否
否
练一练
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课堂小结
1.将下列各式分解因式：
(1)2ax+2ay ; (2)4mn2+2mn ; (3)2a(y-z)-3b(z-y) .
解：(1)2ax+2ay=2a(x+y) ;
(2)4mn2+2mn=2mn(2n+1) ;
(3)2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)
=(2a+3b)(y-z) .
练习
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课堂小结
2.把下列各式分解因式
（1）8x-48
（2）a2b-3ab
（3）4m3-8m2
（4）a2b-5ab+9b
（5）-2a2+4ab-6ac
（6）-2x3+4x2-2x
=8（x-6）
=ab（a-3）
=4m2（m-2）
=b（a2-5a+9）
解：原式=-（2a2-4ab+6ac）=-2a（a-2b+3c）
解：原式=-（2x3-4x2+2x）=-2x（x2-2x+1）
练习
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课堂小结
3. 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
练习
解：原式=（a+b-c)(a-b+c)-(b-a+c)(a-b+c)
=（a-b+c)［(a+b-c)-(b-a+c)］
=（a-b+c)(a+b-c-b+a-c）
=（a-b+c)(2a-2c）
=2（a-b+c)(a-c）
4.把(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)(b-a-c)分解因式
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
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课堂小结
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提公因式法分解因式
因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
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