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第十七章
因式分解
17.2第1课时 平方差公式
情 境 导 入
平方差公式
复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？
(a + b)( m + n)
=am
+an
+bm
+bn
新 课 探 究
平方差公式
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
问题 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
探究1
新课探究
情境导入
课堂小结
②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12
④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1，
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
问题 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
探究1
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课堂小结
平方差公式：
(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)= =
.
(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的 .
(3)符号语言：(a+b)(a-b)= .
a2-ab+ab-b2
a2-b2
平方差
a2-b2
总结归纳
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课堂小结
思考：
还有别的计算方法吗？
b
a
a
b
a
b
a-b
a2 b2
剩余纸片的面积为
探究2
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课堂小结
思考：
还有别的计算方法吗？
b
a
a
剩余纸片的面积为
b
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)
探究2
新课探究
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课堂小结
(a + b)(a b) = a2 – b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
1. (a – b)(a + b) = a2 – b2；
2. (b + a)(–b + a) = a2 – b2.
由于剩余纸片面积相等，于是有：
总结归纳
公式变形
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课堂小结
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个
多项式等．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同为 a
相反为 b
顺序可以不同，只关注相同的符号
可以合理加括号，只关注相反的符号
平方差公式解读
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课堂小结
思考：
判断下列式子是否可用平方差公式？
(1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b)
(3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2)
(5)
(6) (1-x)(-x-1)
(7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2)
符号都是相反
字母不对应
练一练
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课堂小结
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = _________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
练一练
注意：1.关注字母（或多项式）的符号与顺序无关！
2.常见的公式和变形要熟记！
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课堂小结
(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪个数相当于公式中的b，不要混淆．
(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
总结归纳
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课堂小结
公式再熟悉：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
(0.3x)2－12
(a + b)(a - b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
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课堂小结
例1
(1)(a+3b)(a– 3b)；
=4a2–9；
=4x4–y2.
原式=(2a+3)(2a–3)
=a2–9b2 ；
=(2a)2–32
原式=(–2x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
计算：
典例精析
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
归纳
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课堂小结
①位置变化
②符号变化
③系数变化
④指数变化
⑤增因式变化
(x+y)(x-y)(-x-y)(-x+y)
=(x2-y2)(x2-y2)
⑥增项变化
⑦连用公式变化
(x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4
练一练
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课堂小结
例2
运用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a － 3b);
(2) (3+2a)(－ 3+2a);
(3) 51 × 49;
(4) (3x+4)(3x－4)－(2x+3)(2x－3).
(1) 原式=a2－9b2；
(2) 原式=4a2－9；
(3) 原式=(50+1)(50-1)=502-12=2499；
(4) 原式=(3x)2－42－[(2x)2－32]=5x2－7.
解：
典例精析
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课堂小结
例3
计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：
(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
典例精析
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课堂小结
1. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　)
A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
A
2. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
3．计算：118×122＝________．
14396
4. 下列运算中，可用平方差公式计算的是 (　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
练习
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课堂小结
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1．
28－1
5.(x－y)(x+y)(x2+y2)；
解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
6.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．
练习
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课堂小结
7. 利用平方差公式计算：
（1）(a－2)(a＋2)(a2＋4)；
解：原式 = (a2－4)(a2＋4)
= a4－16.
(2) 20232－2022×2024.
练习
解：
原式
= 20232－(2023－1)(2023 + 1)
= 20232
－(20232－12 )
= 20232－20232 + 12
= 1.
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
14.2.1 平方差公式
情境导入
课堂小结
新课探究
平方差公式
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2;
2.抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
内容
THANK YOU

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