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(共21张PPT)
人教版八年级数学上册
第十七章
因式分解
17.2 第4课时
用完全平方公式进行因式分解
情 境 导 入
用完全平方公式进行因式分解
(a+b)2=__________；(a-b)2=__________.
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
也就是说,两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
完全平方公式
复习
情境导入
新课探究
课堂小结
法二：借助几何图形证明：
如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 .
情境导入
新课探究
课堂小结
法二：借助几何图形证明：
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 .
所以(a-b)2=a2-2ab+b2.
(a-b)2
(a-b2)
a-b
b
b
a-b
ab
ab
b2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
新 课 探 究
用完全平方公式进行因式分解
多项式a +2ab+b 和a -2ab+b 有什么特点？你能将它们分解因式吗？
这两个多项式是这两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数和或差的平方，
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作___________.
完全平方式
点拨归纳
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课堂小结
完全平方式的特点：
完全平方式:
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：
凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方形式,便实现了因式分解.
2ab
+b2
±
=(a±b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
首平方,尾平方,首尾两倍在中央.
新课探究
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课堂小结
1.下列各式是不是完全平方式？
(1)a2－4a+4；
(2)1+4a ；
(3)4b2+4b-1；
(4)a2+ab+b2；
是
因为它只有两项；
不是
4b 与-1的符号不统一；
不是
不是
因为ab不是a与b的积的2倍.
练一练
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课堂小结
例1 分解因式：(1)16x2+24x+9； (2)-x2+4xy-4y2.
解：(1)16x2+24x+9
=(4x+3)2；
=(4x)2+2·4x·3+(3)2
(2)-x2+4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
用完全平方公式进行因式分解时要注意的：
（1）首项是负，要将负号提出来；
（2）判断是否是完全平方式，若是，找准公式中的a，b ；
（3）利用公式进行因式分解.
典例精析
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课堂小结
例2 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2； (2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2；
=(a+b-6)2.
1.能提公因式的，要先提公因式再用完全平方公式进行因式分解；
2.注意整体思想运用.
典例精析
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课堂小结
因式分解： (1)-2a2x2+16a2x-32a2； (2)(a2+1)2-4a2.
=(a2+1+2a)(a2+1-2a)
解：(1)原式=-2a2(x2-8x+16)
=-2a2(x-4)2；
(2)原式=(a2+1)2-(2a)2
=(a+1)2(a-1)2.
(3)x2-14x+49； (4)9(2a+b)2-6(2a+b)+1； (5) y2+6y+9-x2.
(4)原式=[3(2a+b)] -2·3(2a+b)·1+1 =(6a+3b-1)2；
(3)原式=x2-2·x·7+72=(x-7)2；
(5)原式=(y+3) -x =(y+3+x)(y+3-x).
练一练
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1.(1)若x2＋2kx＋9是一个完全平方式，则k＝ ________
(2)若x2＋8x＋k2是一个完全平方式，则k＝ ________．
2.因式分解：x2－6x＋9＝ __________．
mn2＋2mn＋m ＝ ____________．
2a2＋4a＋2＝ ___________．
4a2－4a＋1＝ _________
±4
(x－3)2
m(n＋1)2
2(a＋1)2
(2a－1)2
±3
练习
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3.将下列多项式分解因式：
（1）x2+12x+36 ; （2）-2xy-x2-y2 ;
（3）a2+2a+1 ; （4）x4-2x2+1 .
(1)解:原式=x2+2 x 6+62
=(x+6)2 .
(3)解:原式= a2+2a+1
=a2+2 a 1+12
=(a+1)2 .
(2)解:原式=-(2xy+x2+y2)
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2 .
(4)解:原式=(x2)2-2x2 1+12
=(x2-1)2
=(x+1)2 (x-1)2.
练习
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课堂小结
4．已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值.
解：a3b＋2a2b2＋ab3
＝ab(a2 ＋2ab＋b2)．
＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时
原式＝2×52
＝50.
练习
5．下列等式成立的是( )
A.(x－y)2＝(－x－y)2　
B.(x＋y)2＝(－x－y)2　
C.(m＋n)2＝m2＋n2　
D.(－m－n)2＝m2－2mn＋n2
B
6．计算(c－a)2等于( )
A.c2－a2　 B.a2＋2ac＋c2　
C.c2＋a2　 D.c2－2ac＋a2
D
7．3ab－4bc＋1＝3ab－(　　)，括号中所填入的整式应是( )
A．－4bc＋1 B．4bc＋1
C．4bc－1 D．－4bc－1
C
8．计算:
(1)(x＋8)2＝　 　;
(2)(2a－3b)2＝　 　．
9．计算:
(1)(x＋y＋1)2＝　 　;
(2)(2a＋b＋1)(2a－b－1)＝　 　．
　4a2－b2－2b－1　
　x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＋1　
　4a2－12ab＋9b2　
　x2＋16x＋64　
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
用完全平方公式进行因式分解
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运用完全平方公式进行因式分解
公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
用完全平方公式进行因式分解时要注意的：
（1）首项是负，要将负号提出来
（2）判断是否是完全平方式，若是，找准公式中的a，b
（3）利用公式进行因式分解
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