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江苏省如皋中学2025－2026学年度高三年级限时规范练（一）
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
3．的展开式中，的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．
4．已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
A．52π B．39π C．26π D．13π
8．若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的有（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6的上四分位数为
B．若随机变量，则
C．若随机变量X服从正态分布，，则
D．已知x，y之间存在关系式，设，若x，z之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则
10．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（ ）
A．的准线方程为 B．直线与相切
C． D．
11. 在三棱锥中，，点在平面上的射影为点，直线与平面所成的角分别为，则（ ）
A．点的轨迹长度为
B．的取值范围是
C．三棱锥的体积的最小值是
D．当最大时，三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为 .
13．已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为 .
14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 .（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程．
15．甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有10个规格相同的乒乓球，其中4个黄球、6个白球，两人从各自袋中摸球．
(1)甲无放回摸出两个球，用表示摸出黄球的个数，求的分布列和数学期望；
(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲无放回摸球，乙有放回摸球，若两人各自都摸两次，每次摸出一个球，谁摸出的黄球个数多谁就获胜，判断谁获胜的概率较大，并说明理由．
16．设函数有两个极值点，且
⑴求的取值范围，并讨论的单调性；
⑵证明：.
17. 某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：
性别 愿意参与 不愿意参与 合计
男生
女生
合计
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？
(2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用比例分别的分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点．
（i）求证：；
（ii）求证：直线经过定点．
19.已知正方体的棱长为2．

(1)证明：平面；
(2)动点满足，且点，，，在同一球面上．设该球面的球心为，半径为．
①求的取值范围；
②当最大时，求二面角的余弦值．
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10
答案 D C D A D A D BC BC
题号 11
答案 ABD
13、 14、 28
15、【详解】（1）的可能取值为0，1，2.
因此，的分布列为
0 1 2
的数学期望.
（2）用表示乙摸出黄球的个数，因乙有放回摸球，且每次摸出黄球的概率为，则，
.
设事件：甲获胜，则．
则
设事件乙获胜，则．
则
因为，所以甲获胜的概率较大.
16、解: ⑴
令，其对称轴为。
由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，
其充要条件为，得
当时，在内为增函数；
当时，在内为减函数；
当时，在内为增函数；
⑵由⑴知，
由得，
设，
则
当时，在单调递增；
当时，，在单调递减。
所以，
故．
17、【详解】（1）零假设：愿意参与数学建模竞赛与性别无关.
根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立，即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别无关.
（2）根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为.
因此选出人中，男生人数为人，女生人数为人
由题意可知：，服从超几何分布，，.
，
，
所以这3人中女生人数的概率分布列为：
18、【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，
由题意得，则，
而，可得在的中垂线上，故设点的坐标为，
由两点间距离公式得，解得，
而点在上，则，即，解得，
故抛物线的方程为．
（2）（i）如图，设直线的方程为，并记点，
联立方程组，消去得，易知，
则，，
而，则，
可知，即．
（ii）由题意，点，设直线的方程为，
并记点，
联立方程组，消去得，则，
由三点共线，可得，
得到，将代入化简，
得，
所以，而，可知，同理可得，
则，解得，
故直线的方程为，过定点．
19、【详解】（1）解法一：如图所示：
在正方体中，连结，则，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
同理可得，
又因为，，平面，所以平面．
解法二：以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，，
，，．
因为，所以．
又因为，平面，平面，
所以平面．
（2）解法一：①如图所示：
，
取中点，取中点，依题意得：球心在直线上．
因为，所以，
即，
延长至，使得，连结．
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，．
同理得：，，所以，，故，
所以点在线段上．
设，则，
则．
易得，则有，所以，故有．
所以，整理得：，
由，得：．
所以，所以的取值范围是．
②当最大时，，，此时点与点重合．
因为，，，，平面，
所以平面．
因为，平面，所以，，
所以即为二面角的平面角．
在中，，，，，
所以，所以二面角的余弦值为0．
解法二：①以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：
取中点，中点，依题意得：球心在直线上．
设，
因为，
，
则，即，
化简得：．
因为，所以．
所以，
故该球半径的取值范围是．
②当最大时，点坐标为．．
由（1）得平面的一个法向量是．
设平面的一个法向量是，，，
，取得：，
因为，
所以二面角的余弦值为0．

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