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第一章 勾股定理 单元试卷 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册
一、选择题
1.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.满足下列条件的，不是直角三角形的是 ( )
A. B.
C. D.
3.如图，两个较小正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的面积为( )
A. B. C. D.
4.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的倍，那么斜边扩大到原来的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
5.在中，，，，那么的长是 ( )
A. B. C. D.
6.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是 ( )
A. 勾股定理 B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余
7.如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 ( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，点在上，，，是上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知直角三角形的两直角边长分别是，，则它的周长为 ．
12.已知一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积是 ．
13.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是，和，则这个教具 填“合格”或“不合格”．
14.如图，台阶处的蚂蚁要爬到处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．
15.在九章算术中有一个问题如图：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面 尺．
16.长方形零件尺寸单位：如图所示，则两孔中心和的距离为 ．
17.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为，较短直角边为，且，大正方形的面积为，则小正方形的边长为 ．
18.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点若，，则 ．
三、解答题
19.如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．
20.在中，，，的对边分别为，，，已知，，，则是直角三角形吗？
小亮的解答如下：
解：不是直角三角形．理由如下：
，，
．
不是直角三角形．
请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
21.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？
22.【问题背景】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．
【实践操作】实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离为实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．
【问题解决】
求绳子的总长度；
如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
23.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，且．
求证：；
若，，求的长．
如图，在中，，，，，求的面积；
如图，在中，，，，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
【解析】过点作于点，连接 在中，易知米，米 根据勾股定理得，所以米．
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】合格
14.【答案】
15.【答案】
【解析】设折断处离地面尺根据题意，得，解得．
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
【解析】，．
由勾股定理，得，
，．
，，．
19.【答案】解：，，在中，，在中，，．
20.【答案】解：小亮的解答不正确．正确的解答过程如下：是直角三角形．理由如下：，，是直角三角形．
21.【答案】符合
22.【答案】【小题】
解：根据题意得，，，
在中，，，
．
答：绳子的总长度为．
【小题】
如图，
根据题意得，，，，
，
在中，，
，
．
答：滑块向左滑动的距离为．

【解析】 略
略
23.【答案】【小题】
证明：如图，连接．
的垂直平分线分别交，于点，，，，，是直角三角形，且
解：，，，，，，．
【小题】
解：，，，，，，是直角三角形，且， 在中，由勾股定理，得 ，，， 如图，过点作，交的延长线于点 设，则 在和中，由勾股定理，得， ，，， 解得，即，，，．

【解析】 略
略

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