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2025-2026学年四川省成都实验外国语学校（西区）九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. 、b、c为常数
C. D.
2.下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是( )
A. ，，， B. ，，，
C. D. ，，，
3.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断∽的是( )
A. B. C. D.
4.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. 且 D. 且
5.已知，则的值为( )
A. B. 5 C. D. 2
6.如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路图中的阴影部分余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，要添加的条件是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在菱形ABCD中，，，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则的最小值是( )
A. 6
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.已知a：b：：3：4，且，则 .
10.已知方程有一个实数根为，则另一个实数根是 ， .
11.已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式______.
12.如图，在中，，，，，则 .
13.如图，在矩形ABCD中，，，连接分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接EF，AB相交于点与CD相交于点H，连接AH，则GH的长为______.
14.已知，则x的值为 .
15.已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是______________.
16.如图，D为中BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE交于点M，满足AM：：1，BD：：3，则AE： .
17.新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______.
18.如图，正方形ABCD的边长为4，是等边三角形，点F在边BC的上方，点E在射线BC上运动.连接CF，取CF的中点M，则线段AM的长度的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题16分
用适当的方法解下列关于x的方程：
；
；
；
20.本小题6分
在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化.酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色.现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液：
小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______；
张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率.
21.本小题6分
已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，
求实数k的取值范围；
若该方程的两个实数根，满足，求k的值．
22.本小题10分
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O；，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接
判断四边形CDEO的形状，并说明理由；
证明：；
当时，求四边形CDEO的面积及线段EG的长.
23.本小题10分
【知识技能】如图1，点E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，若正方形边长为3，，求EF的长.
【数学理解】如图2，点E是正方形ABCD内部一点，连接BE，CE，将绕点B逆时针方向旋转90度得到，延长CE交AF于点H，连接BH，请证明：
【拓展探索】如图3，正方形ABCD的边长为3，，将绕点B逆时针旋转一周，当时，求AE的长度.
24.本小题8分
成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.
求该品牌头盔销售量的月增长率；
经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价4元，则月销售量将减少80个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
25.本小题10分
材料1：法国数学家弗朗索瓦韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系韦达定理：，；
材料2：如果实数m、n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根.
请根据上述材料解决下面问题：
初步体验：已知实数m，n满足，，求的值；
类比应用：已知实数p，q满足，，且，求；
思维拓展：已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值.
26.本小题12分
【问题背景】
如图1，在正方形ABCD中，E是BD上一点，连接CE，F为线段AB上一点不与端点A、B重合，且求证：且；
【类比探究】
如图2，将中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，F为线段AB延长线上一点，其他条件不变，若，探究线段CE与EF之间的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
在的条件下，过点E作交BC于点H，延长FE交AD边于点G，若是等腰三角形，直接写出的值.
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】5
10.【答案】
11.【答案】1
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】或
15.【答案】3
16.【答案】
17.【答案】2025
18.【答案】
19.【答案】；
；
；
，，
20.【答案】
由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种，
小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是
故答案为：
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，，共2种，
混合后的溶液变红色的概率为
21.【答案】解：由题意，，
，
解得
依题意得：，，
由得：，
，，
、同为正根，
，
可化为：，
，
，
，
，
，，
，

22.【答案】解：四边形OCDE是菱形，理由如下：
，
，
是线段OD的垂直平分线，
，，，
在和中，
，
≌，
，
又，，
，
四边形OCDE是菱形；
证明：四边形OCDE是菱形，
，，
，
又，
∽，
，
，
；
解：四边形ABCD为矩形，
，，
是线段OD的垂直平分线，
，
，
为等边三角形，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，
四边形OCDE是菱形，
，
，
，
，

23.【答案】解：四边形ABCD是正方形，正方形边长为3，
，，
根据旋转可得，，
，，
点F，B，C三点共线，
，
；
证明：如图，在CE上截取，连接BG，
根据旋转可得≌，
，
，，，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
解：，将绕点B逆时针旋转一周，
点E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动，
当时，如图，过点B作，
则，
，
，
，
当时，过点B作，则，
，
，
综上，
24.【答案】
设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
设该品牌头盔每个应涨价m元，则每个盈利元，月销售量为个，即个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
要尽可能让顾客得到实惠，
，
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．
25.【答案】
实数m，n满足，，
，n是方程的两个不相等的实数根，
，，
；
，
，
，
，
即，
、可看作方程的两根，
，，
；
、，
，b是方程的两个根，
，
化简得：，
，
，
令，则，且，
代入得，
，
，
即，
，
的最大值为
26.【答案】证明：如图，过点E作于点H，作于Q，
四边形ABCD是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
解：EF：：3且，理由如下：
如图，过点E作于点H，作于Q，
四边形ABCD是矩形，
，，
四边形BHEQ为矩形，
，，
，，
∽，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
：：3；
解：若是等腰三角形，则分以下三种情况：
①当时，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
设BC与FG交于点M，
，，，
，，
，
，
，
；
②当时，过点C作于点P，
，
，
，
，
，
，
同①可得，
，
，
，
，，
，
，
，
；
③当时，过点E作于点Q，
，
，
，
是的中位线，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
垂直平分MG，
，
设，则，
，
，
解得，
，
综上，的值为或或

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