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2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】命题p：，，则命题p的否定为，,故选：D.
2．与集合相等的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】12的所以正因数有，所以.故选：B.
3．设集合 , 若 , 则 的值为（ ）
A． B．-3 C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.
【详解】由集合中元素的确定性知 或 .
当 时, 或 ; 当 时, .
当 时, 不满足集合中元素的互异性, 故 舍去;
当 时, 满足集合中元素的互异性, 故 满足要求;
当 时, 满足集合中元素的互异性, 故 满足要求.
综上, 或 .
故选: D.
4．已知，则与大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以.故选：C.
5．已知均为实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】证明由可推出，再举例说明由不能推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论.
【详解】由于，所以和均不为，
所以可以推断；
取，可得，但
故由不能推出.
所以“”是“的充分不必要条件.
故选：B.
6．已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．不确定
【答案】B
【详解】由，则集合有2个元素，所以的非空子集个数为个.
7．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由集合的包含关系可得，再分与时解不等式可得.
【详解】由条件得，又因为，
所以，即有．
当，有，解得：；
当，有，解得：．
综上，实数的取值范围为：．
故选：D．
8．定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【分析】结合集合新定义，讨论中元素个数即可；
【详解】由题意，
又非空集合A和B，且，若，
当中有一个元素时：
，；，；
当中有两个元素时：
，；，；，；，；
当中有三个元素时：
，；
当中有四个元素时：
，；
当中有五个元素时，集合不存在，
所以满足条件的不同的B的个数为8个，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B．“”是“”的既不充分又不必要条件
C．命题“，”的否定是“，”
D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【详解】是无理数，是有理数，A错；
时，，但；
反之，时，，但；
则“”是“”的既不充分又不必要条件，B正确；
“”的必要不充分条件是“”，则，
两个等号不同时取得．解得．D正确．
故选：BCD.
10．若集合满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过分析每个选项中集合之间的关系，利用已知的来判断其正确性.
【详解】对于A选项，因为，所以，A正确；
对于B选项，由于，所以，即，而不是，B错误；
对于C选项，因为，所以，C错误.
对于D选项，由C可得，，注意到，于是，D正确.
故选：AD.
11．对于的两个非空子集．定义运算，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
【答案】BD
【分析】根据运算逐个判断各个选项即可．
【详解】解：对于A，，故选项A错误；
对于B，，故选项B正确；
对于C，若，则，
故，故选项C错误；
对于D，，
又，则，故选项D正确．
故选：BD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是 ．
【答案】
【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得，
又是的充分不必要条件．
13．已知集合，，若，则实数的值为 ．
【答案】或.
【详解】因为的解集为，所以，又，所以，，所以，，所以，，解得或.
14．）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ．
【答案】
【分析】把2024写成2的自然数幂的和即可求解．
【详解】因为，
所以的第2024个子集是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知，．
(1)求、、．
(2)设且，求集合.
【答案】(1)，，．
(2)或
【分析】（1）根据交、并、补集的运算计算即可；
（2）结合（1），根据题意计算即可.
【详解】（1）因为，，
所以，，；
（2）因为，，
所以或.
16（15分）已知集合，，．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【分析】(1) 若是”的充分不必要条件
意味着A是B的真子集
(2) 若
分两种情况讨论：
（1）：当 时
此时，解不等式得 ，此时满足
（1）：当 时
此时2m < 1 - m，即
要满足，需满足
解得或
因此，当 时，
综合两种情况，取并集得m的取值范围为
17．（15分）
已知命题，均有，命题．
(1)写出，若为真命题，求的取值范围；
(2)若命题、一真一假，求实数的取值范围．
【答案】(1)，使；若为真命题，；
(2)或
【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围；
（2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围.
【详解】（1）根据题意，，使.
若为真命题，方程有实数解，，解得.
所以的取值范围为.
综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或.
18．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
18．(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论
【详解】（1）由题可知，
(1)当时， ，
(2) 当时，，
（3）当或时，
所以
（2）（1）当时，，
（2）当时，
（3）当或时，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或 或 ，
解得或（舍去）,
所以或.
19．（17分）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证:若，，则；
命题：若，，则必有；
命题：若，，且，则必有.
【答案】(1)集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析；(2)证明见解析；
(3)命题、均为真命题，理由见解析
【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”.因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”.
有理数集是“好集”. 理由： 因为，，对任意的，，有，且时，，
所以有理数集是“好集”.
（2）证明:因为集合是“好集”，所以，若，，则，即.所以，即.
（3）命题、均为真命题，理由如下：
对任意一个“好集”，任取，，若，中有0或1时，显然.若，均不为0，1，
由定义可知，，，所以，即，所以.由（2）可得，即.同理可得. 若或，则.若且，则.
所以，所以.由（2）可得，所以.
（附加题）
（1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和．
（2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，.
①若，则对任意，________；
②若对任意，，则A，B的关系为________．（要求写出解题过程）
【答案】（1）；（2）①0；②.
【分析】（1）根据给定的定义，求出及即可求和得解.
（2）①由题意分和两种情况讨论即可求得 的值；②对任意，则的值一个为0，另一个为1，可得时，必有，或时，必有 即可得出的关系.
【详解】（1）由及，得，
由，得，
所以集合中所有元素之和为.
（2）①由，得或，
当时，，；
当时，必有，则，，
所以.
②对任意，，则的值一个为0，另一个为1，
则且，或且，于是，且，
因此集合的关系为.2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．与集合相等的集合是（ ）
A． B． C． D．
3．设集合 , 若, 则的值为（ ）
A． B．-3 C． D．
4．已知，则与大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知均为实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．不确定
7．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
8．定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B．“”是“”的既不充分又不必要条件
C．命题“，”的否定是“，”
D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
10．若集合满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．对于的两个非空子集．定义运算，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是
13．已知集合，，若，则实数 的值为 ．
14．若规定由整数组成的集合，，的子集为的第
个子集，其中，则的第2024个子集是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知 ，．
(1)求、、．
(2)设且，求集合.
16（15分）已知集合，，．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
17．（15分）已知命题，均有，命题．
(1)写出，若为真命题，求的取值范围；
(2)若命题、一真一假，求实数的取值范围．
18．（17分）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
19．（17分）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证:若，，则；
命题：若，，则必有；
命题：若，，且，则必有.
（附加题）（此题不计入总分）
（1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和．
（2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，.
①若，则对任意， ；
②若对任意，，则A，B的关系为 ．

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