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广州市天河外国语学校 (
高
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班
考
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姓名：
考场
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密 封 线
) 2025学年第一学期月考试卷
高二年级 数学学科
一、单项选择题 ：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知空间向量，共线，m，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
8．如图，在棱长为2的正方体中，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．
选择题 ：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错的得0分。
A．若是空间任意四点，则有
B．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
10．在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（ ）
A．若点为的中点，则平面平面
B．
C．点到平面距离的最小值为
D．异面直线，所成角的取值范围是
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（ ）
A．平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形
B．向量在向量上的投影向量的模为
C．存在点P，使得
D．点P到棱距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ．
13．已知点，点，点，则点到直线的距离为 .
14．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．
(1)在轴、轴上的截距互为相反数；
(2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
16．（15分）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大．
(1)求直线的方程；
(2)若点在直线上，且，求的取值范围．
17．（15分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动.
(1)求证：直线平面；
(2)a为何值时，的长最小
(3)为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
（17分）如图，是矩形的对角线，以为折痕将折起，使点到达点的位置.
(1)若，证明：平面平面.
(2)若，二面角的大小为，
求直线与平面所成角的正弦值.
19．（17分）在空间直角坐标系中，已知向量（其中a、b、c不同时为0），点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，将其整理为一般式方程为，其中.
(1)已知直线的方程为，直线的方程为，求直线与所成角的余弦值；
(2)若直线与直线都在平面内，求平面的一般方程；
(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求实数m的值.广州市天河外国语学校 2025学年第一学期月考答案
高二年级 数学学科
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C C D A D B B AC BD AC
1．B【详解】因为直线与直线平行，
所以，即，解得或．
当时，两直线分别为，，不重合满足题意；
当时，两直线分别为，，不重合满足题意，
故由直线与直线平行可得或，
所以“直线与直线平行”不能推出“”，反之可以.
故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件.
2．C【详解】由题设有非零向量共线，则存在实数，使得，
故，故，故．
3．C
【详解】由题意，
在四面体中，是四面体 的棱的中点,
∴,
∴
∵，∴，∴，
4．D【详解】设直线的倾斜角为，
由题意，
因为，所以，所以，所以，即，
所以，即直线的倾斜角的取值范围是.
5．A【详解】由题意知，平面平面，如图，连接．
因为四边形是菱形，是的中点，所以，
又平面平面平面，所以平面，
又平面，所以，从而两两互相垂直．
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
令，则，，，，，，
则，．
设平面的一个法向量为，则，即，
取，则，得平面的一个法向量为．
易知平面的一个法向量为，则，
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
6．D【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），
设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2），∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为
7．B【详解】解：由条件，知．
即，，即，
所以二面角的大小为.
8．B【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，故，
设，则，，，
又，，整理得，
联立方程，则，可得，解得，
当时，；当时，，
记的中垂面为，又是内（包括边界）的动点，
在空间中满足，点的轨迹是平面与三角形的公共部分，
即点的轨迹为线段,则,
9．AC
B：因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
C：假设不是空间一个基底，所以有成立，
10．BD
【详解】以D为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图，
得：，
对于A，若点P为的中点，则，
设平面的法向量为，，，
由，取，得，
设平面的法向量为，，
由，取，得，
显然不平行，即平面平面不成立，故A错误；
对于B，设，则，，
则，故，故B正确；
对于C，设，，平面的一个法向量为，
则点P到平面距离为，
∵，，∴当时，取得最小值为，故C错误；
对于D，设，，
设异面直线所成角为，则，
由，得，则，
则，又，则，故D正确.
11．AC
【详解】对于A，如图直线与、的延长线分别交于、，
连接、分别交、于、，连接、，
则五边形即为所得的截面图形，故A正确；
对于B，，所以向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，所以，所以
所以向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量的模为，故B错
对于C，借助B选项， ，，，，
设，其中，所以，
又、、，
所以，，，
假设存在点，使得，
所以，整理得，
所以（舍去）或，故存在点，使得，故C正确；
对于D ，由上知，所以点在的射影为，
所以点到的距离为：，所以当时，，故D错误，
故选：AC．
12．
【详解】当时，，故直线不过原点，则直线一定通过三个象限，而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限，
得到，解得.
13．
【详解】因为点，点，点，所以，
取
则，
得点到直线的距离为：，
14．
【详解】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积，
因为，
因为点在正方体表面上运动，所以，故范围为
15．(1)或； (2)
【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得，
故，故，当且仅当，即时等号成立，
故此时面积最小为,故直线方程为，即
16．(1)； (2).
【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，
则的倾斜角为，可知的斜率，
所以的方程为，即；
（2）表示与点连线的斜率，
又是直线在部分上的动点，如下图示：
则，直线AB的斜率不存在，则，
即的取值范围为.
17．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）
如图1，在平面内，过点作，交于点，连接，
因为，所以.
由已知可得，，，
所以，，， 所以，，
所以，.
又，所以.
因为平面，，平面，
所以，平面.
同理可得，平面.
因为平面，平面，， 所以，平面平面.
因为平面，所以直线平面.
（2）由（1）可知，，， 所以，，
所以，. 同理可得，.
又平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面.
因为平面，所以. 因为，，所以.
所以，是直角三角形，
所以，
.
又，所以，即为线段中点时，有最小值，
所以，当时，的长度最小，最小值为.
（3）由（2）知，平面. 又，
如图2，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，，
所以，，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，则是平面的一个法向量.
因为.
设与平面所成的角为，
则.
当时，；
当时，
有
.
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，，，
所以，.
因为，所以.
综上所述，与平面所成角的正弦值的最大值为.
18．(1)证明见解析. (2)
【详解】（1）因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）过点作，垂足为，连接，则，
所以就是二面角的平面角.
因为，所以，
作，垂足为，则，
因为，平面，
所以平面，平面，所以，
又，，平面ABCD，
所以.
过作垂足为， 因为，所以，
所以，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则， 所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值是.
19．(1) (2) (3)
【详解】（1）由直线的方程为，
可知直线的一个方向向量坐标为，
由直线的方程为，可知的一个方向向量为，
设直线与所成角为， 所以，
即直线与所成角的余弦值为.
（2）由题意可知，直线的一个方向向量为，
直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，则，
解得，取，则，
易知直线过点，所以，平面的方程为.
即.
（3）因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量为，
则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为，
则，取，
由平面可知平面的一个法向量为，
由，则，解得.

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